Уравнения линейной регрессии

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Экономические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

http: //www. . ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Тула — 2010 г.

Содержание

Задача 1

Задача 2 (а, б)

Задача 2 в

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.

Табл. 1.1.

Х

33

17

23

17

36

25

39

20

13

12

Y

43

27

32

29

45

35

47

32

22

24

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (б=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

1. Линейная модель имеет вид:

Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам

Расчет значения параметров представлен в табл. 2.

Табл. 1.2.

t

y

x

yx

1

43

33

1419

1089

42,236

0,764

0,584

90,25

88,36

0,018

2

27

17

459

289

27,692

-0,692

0,479

42,25

43,56

0,026

3

32

23

736

529

33,146

-1,146

1,313

0,25

2,56

0,036

4

29

17

493

289

27,692

1,308

1,711

42,25

21,16

0,045

5

45

36

1620

1296

44,963

0,037

0,001

156,25

129,96

0,001

6

35

25

875

625

34,964

0,036

0,001

2,25

1,96

0,001

7

47

39

1833

1521

47,69

-0,69

0,476

240,25

179,56

0,015

8

32

20

640

400

30,419

1,581

2,500

12,25

2,56

0,049

9

22

13

286

169

24,056

-2,056

4,227

110,25

134,56

0,093

10

24

12

288

144

23,147

0,853

0,728

132,25

92,16

0,036

?

336

235

8649

6351

12,020

828,5

696,4

0,32

Средн.

33,6

23,5

864,9

635,1

Определим параметры линейной модели

Линейная модель имеет вид

Коэффициент регрессии показывает, что выпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн руб. при увеличении объема капиталовложений Х на 1 млн руб.

2. Вычислим остатки, остаточную сумму квадратов, найдем остаточную дисперсию по формуле:

Расчеты представлены в табл. 2.

Рис. 1. График остатков е.

3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.

Табл. 1.3.

0,584

2,120

0,479

0,206

1,313

6,022

1,711

1,615

0,001

0,000

0,001

0,527

0,476

5,157

2,500

13,228

4,227

2,462

0,728

31,337

12,020

d1=0,88; d2=1,32 для б=0,05, n=10, k=1.

,

значит, ряд остатков не коррелирован.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (б=0,05).

для н=8; б=0,05.

Расчет значения произведен в табл. 2. Получим:

Так как, то можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.

5. Найдем коэффициент корреляции по формуле

Расчеты произведем в табл. 2.

Значит,. Т.о. связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к..

Коэффициент детерминации найдем по формуле. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Fтаб=5,32, т.к. k1=1, k2=8, б=0,05

т.к. F значительно больше Fтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Расчеты произведены в табл. 2.

,

значит, линейную модель можно считать точной, т.к. Е< 5%/

6. С помощью линейной модели осуществим прогноз Y при б=0,1 и х=0,8хmax

Определим границы прогноза. t0,1; 8=1,86

Найдем границы интервала:

7. Представим графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

Рис. 2. Фактические данные, линейная модель и результаты прогнозирования.

8. а) Составим уравнение гиперболической модели. Гиперболическая модель имеет вид

;

Проведем линеаризацию переменной путем замены.

Расчеты произведем в табл. 3.

Модель имеет вид:

Табл.1.4.

t

y

x

Х

уХ

1

43

33

0,030

1,290

0,001

36,870

6,130

37,577

0,143

2

27

17

0,059

1,593

0,003

32,135

-5,135

26,368

0,190

3

32

23

0,043

1,376

0,002

34,683

-2,683

7,198

0,084

4

29

17

0,059

1,711

0,003

32,135

-3,135

9,828

0,108

5

45

36

0,028

1,260

0,001

37,289

7,711

59,460

0,171

6

35

25

0,040

1,400

0,002

35,260

-0,260

0,068

0,007

7

47

39

0,026

1,222

0,001

37,644

9,356

87,535

0,199

8

32

20

0,050

1,600

0,003

33,600

-1,600

2,560

0,050

9

22

13

0,077

1,694

0,006

29,131

-7,131

50,851

0,324

10

24

12

0,083

1,992

0,007

28,067

-4,067

16,540

0,169

?

336

235

0,495

15,138

0,029

297,985

1,445

Средн

33,6

23,5

0,050

1,514

0,003

Найдем индекс корреляции по формуле

,

значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к..

Индекс детерминации найдем по формуле. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 57,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F> Fтабл (10,692> 5,32),

значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения y для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 14,45%.

8. б) Построим степенную модель, которая имеет вид

Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Расчет неизвестных параметров произведем в табл. 5.

Табл. 1.5.

t

y

x

Y

Х

1

43

33

1,633

1,519

2,481

2,307

42,166

0,834

0,696

0,019

2

27

17

1,431

1,23

1,760

1,513

27,930

-0,930

0,865

0,034

3

32

23

1,505

1,362

2,050

1,855

33,697

-1,697

2,880

0,053

4

29

17

1,462

1,23

1,798

1,513

27,930

1,070

1,145

0,037

5

45

36

1,653

1,556

2,572

2,421

44,507

0,493

0,243

0,011

6

35

25

1,544

1,398

2,159

1,954

35,488

-0,488

0,238

0,014

7

47

39

1,672

1,591

2,660

2,531

46,775

0,225

0,051

0,005

8

32

20

1,505

1,301

1,958

1,693

30,896

1,104

1,219

0,035

9

22

13

1,342

1,114

1,495

1,241

23,644

-1,644

2,703

0,075

10

24

12

1,380

1,079

1,489

1,164

22,498

1,502

2,256

0,063

?

336

235

15,127

13,380

20,422

18,192

12,296

0,346

Cредн

33,6

23,5

1,513

1,338

2,042

1,819

Получим

Перейдем к исходным переменным путем потенцирования данного уравнения.

Найдем индекс корреляции.

,

значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к..

Индекс детерминации найдем по формуле. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F> Fтабл (436,448> 5,32), значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения y для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,46%. Модель точная.

8. в) Составим показательную модель, уравнение которой имеет вид:

Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Табл. 1.6.

t

y

x

Y

Yx

1

43

33

1,633

53,889

1089

42,343

0,657

0,432

0,015

2

27

17

1,431

24,327

289

27,220

-0,220

0,048

0,008

3

32

23

1,505

34,615

529

32,126

-0,126

0,016

0,004

4

29

17

1,462

24,854

289

27,220

1,780

3,168

0,061

5

45

36

1,653

59,508

1296

46,001

-1,001

1,002

0,022

6

35

25

1,544

38,600

625

33,950

1,050

1,102

0,030

7

47

39

1,672

65,208

1521

49,974

-2,974

8,845

0,063

8

32

20

1,505

30,100

400

29,571

2,429

5,900

0,076

9

22

13

1,342

17,446

169

24,374

-2,374

5,636

0,108

10

24

12

1,380

16,560

144

23,710

0,290

0,084

0,012

?

336

235

15,127

365,107

6351

26,233

0,399

Средн

33,6

23,5

1,513

36,511

635,1

Перейдем к исходным переменным, выполнив потенцирование уравнения.

Найдем индекс корреляции.

,

значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к..

Индекс детерминации найдем по формуле. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 96,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F> Fтабл (202,528> 5,32),

значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения y для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,99%. Модель точная.

9. Сравним полученные модели.

Табл. 1.7.

Модель регрессии

F-критерий

Линейная

0,992

0,984

492

3,2

Гиперболическая

0,756

0,572

10,692

14,45

Степенная

0,991

0,982

436,448

3,46

Показательная

0,981

0,962

202,528

3,99

Наилучшей моделью является линейная модель (по максимуму критерия корреляции, детерминации, F-критерия и минимальной средней ошибке аппроксимации).

Рис. 3. Построенные уравнения регрессии.

Задача 2 (а, б)

Для каждого варианта даны по две СФМ, которые записаны в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Табл. 2.1.

Номер варианта

Номер уравнения

Задача 2а

Задача 2б

переменные

переменные

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

6

1

-1

b12

b13

a11

a12

0

0

-1

0

b13

a11

a12

0

a14

2

b21

-1

b23

a21

0

0

a24

b21

-1

0

a21

0

a23

a24

3

0

b32

-1

a31

a32

a33

0

b31

0

-1

a31

a32

0

a34

Решение

a) CФМ имеет вид:

Проверим систему на идентифицируемость. Для этого проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х3, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации

Для проверки на достаточное условие идентификации составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

уравнение

Отсутствующие переменные

х3

х4

2

0

а24

3

а33

0

Составим матрицу из коэффициентов

Определитель матрицы не равен 0, ранг равен 2. достаточное условие идентификации выполняется и 1-е уравнение точно идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3); отсутствуют экзогенные х2, х3 (D=2).

2+1=3 -- необходимое условие идентификации выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

уравнение

Отсутствующие переменные

х2

х3

1

а12

0

3

а32

а33

Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2, достаточное условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенные переменные y2, y3 (Н=2); отсутствует 1 экзогенная х4 (D=1).

1+1=2 -- необходимое условие идентификации выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

уравнение

Отсутствующие переменные

у1

х4

1

-1

0

3

b21

а24

Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2-м, достаточное условие идентификации выполняется. 3-е уравнение точно идентифицируемо.

Т. о, если все 3 уравнения идентифицируемы, то и СФМ идентифицируема.

б) СФМ имеет вид:

Проверим систему на идентифицируемость, для этого проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1).

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

уравнение

Отсутствующие переменные

у2

х3

2

-1

а23

3

0

0

Достаточное условие не выполнено, уравнение не идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y2 (Н=2). Отсутствующая экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

уравнение

Отсутствующие переменные

у3

х2

1

b13

а12

3

-1

a32

Необходимое условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется. Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

уравнение

Отсутствующие переменные

у2

х3

1

0

0

2

-1

a23

Достаточное условие не выполняется. 3-е уравнение не идентифицируемо.

Т.к. 1-е и 3-е уравнения не идентифицируемы, то и вся СФМ не является идентифицируемой.

Ответ: а) СФМ идентифицируема; б) СФМ не является идентифицируемой.

Задача 2 в

По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

Табл. 2.2.

Вариант

n

y1

y2

x1

x2

6

1

77,5

70,7

1

12

2

100,6

94,9

2

16

3

143,5

151,8

7

20

4

97,1

120,9

8

10

5

63,6

83,4

6

5

6

75,3

84,5

4

9

Решение

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения используем систему нормальных уравнений.

Расчеты произведем в табл. 2.3.

Табл. 2.3.

n

y1

y2

x1

x2

1

77,5

70,7

1

12

77,5

1

12

930

144

70,7

848,4

2

100,6

94,9

2

16

201,2

4

32

1609,6

256

189,8

1518,4

3

143,5

151,8

7

20

1004,5

49

140

2870

400

1062,6

3036

4

97,1

120,9

8

10

776,8

64

80

971

100

967,2

1209

5

63,6

83,4

6

5

381,6

36

30

318

25

500,4

417

6

75,3

84,5

4

9

301,2

16

36

677,7

81

338

760,5

?

557,6

606,2

28

72

2742,8

170

330

7376,3

1006

3128,7

7789,3

средн.

92,933

101,033

4,667

12

Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений.

Решение этих уравнений дает значения d11=5,233; d12=5,616.

1-e уравнение ПФМ имеет вид:

Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения используем следующую систему нормальных уравнений

Расчеты произведем в табл. 2.3.

Подставив полученные значения в систему нормальных уравнений, получим

Решение этой системы дает значения d21=9,288; d22=4,696.

2-е уравнение ПФМ имеет вид

Для перехода от ПФМ к СФМ найдем х2 из второго уравнения.

Подставив это выражение в 1-е уравнение, найдем структурное уравнение.

т.о. b12=1,196; a11=-5,875.

Найдем х1 из 1-го уравнения ПФМ

Подставив это выражение во 2-е уравнение ПФМ, найдем структурное уравнение.

т.о. b21=1,775; a22=-5,272

Свободные члены СФМ находим из уравнений

линейный регрессия детерминация аппроксимация квадрат

Ответ: окончательный вид СФМ таков

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой