Целевая функция задачи нелинейного программирования

[Введите текст]

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Задача

по курсу «Методы оптимизации»

Донецк 2013 г.

Задача

В приведенной далее таблице 1 указаны значения параметров целевой функции задачи нелинейного программирования (ЗНП) и координаты вершин выпуклого многоугольника, задающего множество допустимых точек ЗНП, причем целевая функция задана в виде

, , ,

а ЗНП поставлена на максимум.

Выполнить следующие задания:

восстановить математическую модель ЗНП, воспользовавшись данными Таблицы 4;

выполнить две итерации методом линеаризации, взяв в качестве начальной точку .

Таблица 1

Решение Восстановить математическую модель ЗНП, воспользовавшись данными таблицы 1.

Поставим задачу нелинейного программирования max (f (x)), воспользовавшись данными таблицы.

Восстановим заданную квадратичную функцию по формуле:

где Q=, r =, p = 6.

Qx = ;

(Qx, x) = ;

(r, x) = .

Значит, f (x) = ;

f (x) — непрерывная, нелинейная, по крайней мере один раз непрерывно дифференцируема.

Наша задача будет выглядеть так:

max ();

xE2

Соединим данные точки на координатной плоскости так, чтобы получился выпуклый многоугольник.

Рис. 1

Для того, чтобы восстановить математическую модель ЗНП:

а) Найдем уравнения прямых:

А0А1: x1 = 0;

А0А5: x2 = 0;

А1А4:; 9= 6 — 18;

А4А3:; = 4 — 48;

А3А2:; = 5 — 65;

А2А5: = 15.

Исходя из положения полученного многоугольника относительно выше описанных прямых на координатной плоскости, выпишем ограничения ЗНП:

Так как известно, что задача поставлена на max, а также известны ограничения и целевая функция, можем поставить ЗНП. Она будет иметь вид:

max ();

Выполнить две итерации методом линеаризации, взяв в качестве начальной точку .

Будем решать поставленную ЗНП методом линеаризации. Проверим условия сходимости метода: очевидно, что f (x) непрерывна, имеет непрерывные частные производные по всем своим переменным первого порядка, а множество допустимых точек замкнуто и ограничено (обозначим его D).

Множество подходящих точек имеет вид:

В качестве начальной точки взяли .

;

;

;

;

() = ;

: () = 4 > 0 Щ? можем найти точку

, — оптимальный план.

Следуя методу линеаризации, поставим вспомогательную задачу и решим её графическим методом.

max ()

Рис. 2

Решением этой задачи является точка .

Тогда .

где

Для определения формируем выражение:

;

;

;

л=;

Рис. 3

? л = - точка максимума функции .

л =? [0;1]? ;

;

Проверим, Щ?

;

;

() = ;

: () = > 0 Щ Можем найти точку .

Поставим вспомогательную задачу:

max ()

линейный программирование задача уравнение Решим её графическим методом:

Рис. 4

Решением этой задачи является точка .

Тогда .

Найдем, где

Для определения формируем выражение:

;

;

;

л=;

Рис. 5

? л = - точка максимума функции .

л =? [0;1]? ;

;

Проверим, Щ?

;

;

() ;

: () = > 0 Щ.