Теория вероятности

Теория вероятностей Вариант № 1

6. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго — 30%, с третьего — 50% деталей. Первый автомат даёт в среднем 0,2% брака, второй — 0,3%, третий — 0,1%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

Решение:

Обозначим через, А событие: поступившая на сборку деталь бракованная. Можно теперь сделать три предположения:

В₁ — деталь произведена первым автоматом;

В₂ — деталь произведена вторым автоматом;

В₃ — деталь произведена третьим автоматом.

Тогда соответствующие вероятности будут:

Р (В₁) = 0,2;

Р (В₂) = 0,3;

Р (В₃) = 0,5.

Условная вероятность того, что деталь будет бракованная, если она произведена первым автоматом: Р_В1(А) = Р₁ = 0,2.

Аналогично: Р_В2(А) = 0,3 и Р_В3(А) = 0,1.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной (общий процент брака) находим по формуле полной вероятности:

Р (А) = Р (В₁)Р_В1(А) + Р (В₂)Р_В2(А) + Р (В₃)Р_В3(А) =

= 0,2×0,2 + 0,3×0,3 + 0,5×0,1 = 0,04 + 0,09 +0,06 = 0,19.

7. Вероятность выигрыша по лотерейному билету будет р = 0,3. Имеется 4 билета. Определить вероятности всех возможных исходов для владельца этих билетов: а) ни один билет не выиграет; б) выиграет один билет; в) два билета выиграют; г) 3 билета выиграют; д) 4 билета выиграют.

Решение:

По формуле Бернулли: вероятность того, что в серии из n = 4 билетов, выиграет ровно k билетов (безразлично в какой последовательности)

P_n(k) = p^k q^{n - k} = p^k q^{n - k}, где q = 1 — p = 1 — 0.3 = 0.7.

Следовательно:

k = 0, Р (0) = 1×0.3⁰ х 0,7⁴ = 1×1×0,2401 = 0,2401;

k = 1, Р (1) = х 0,3×0,7³ = 4×0,3×0,343 = 0,4116;

k = 2, Р (2) = х 0,3² х 0,7² = 6×0,09×0,49 = 0,2646;

k = 3, Р (3) = х 0,3³ х 0,7 = 4×0,09×0,7 = 0,252;

k = 4, Р (4) = х 0,3⁴ х 0,7⁰ = 1×0,0081×1 = 0,0081.

8. При некотором технологическом процессе вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Определить наиболее вероятное число годных деталей в партии из 135 штук.

Решение:

Наивероятнейшее число k₀ благоприятных исходов определяем по формуле:

np — q k₀ np + р,

135×0,8 — 0,2 k₀ 135×0,8 + 0,8;

107,8 k₀ 135,8;

В нашем случае np — q дробное, значит существует одно наивероятнейшее число k₀. Так как np = 135×0,8 = 108 — целое, то искомое наивероятнейшее число:

случайный величина распределение вероятность

k₀ = np = 108 штук.

9. При массовом производстве шестерён вероятность брака при штамповке равна р = 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад выбранных шестерён 50 будут бракованными?.

Решение:

Найдём математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х — числа появления события, А (наугад выбранные шестерни) в 400 независимых испытаниях:

М (Х) = np = 0.1×400 = 40;

D (X) = npq = 0.1×400 x (1 — 0.1) = 36.

Найдём максимальную разность между заданным числом появлений события (50 штук) и математическим ожиданием:

? = 50 — 40 = 10.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме:

Р (/Х — М (Х)/ ?) 1 — D (X)/?².

После подстановок:

Р (/Х — 40/ 10) 1 — 36/100 = 0,64 — это и есть искомая вероятность.

10. Вероятность появления события на время испытаний р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз при 100 испытаниях.

Решение:

По условию р = 0,8; q = 0.2; k₁ = 75; k₂ = 90.

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

P_n(k₁; k₂) = Ф (х'') — Ф (х') = Ф[ - Ф[].

Подставляя данные задачи, получим Р (75; 90) = Ф] - Ф[ = Ф (2,5) — Ф (-1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х, Найти:

1) значение вероятности р₃, соответствующую значению х₃;

2) M (X); D (X); ?(X);

3) функцию распределения F (x) и построить её график;

4)Построить многоугольник распределения случайной величины Х.

Решение:

Общая вероятность? Р = 1, тогда 0,2 + 0,1 + р₃ + 0,3 = 1

Р₃ = 1 — 0,2 — 0,1 — 0,3 = 0,4.

Получаем распределение:

1. Математическое ожидание:

М (Х) = ?р_i x_i = 1×0.2 + 3×0.1 + 6×0.4 + 8×0.3 = 0.2 + 0.3 + 2.4 + 2.4 = 5.3

2. Дисперсия:

D (X) = M (X²) — (M (X))².

Закон распределения для Х²

Тогда М (Х²) = ?р_i = 1×0,2 + 9×0,1 + 36×0,4 + 64×0,3 = 0,2 + 0,9 + 14,4 + 19,2 = 34,7.

D (X) = 34.7 — 5.3² = 34.7 — 28.09 = 6.61

3. Среднее квадратическое отклонение:

?(Х) = = = 2.571

4. Функция распределения:

Построим график:

13. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,0002. Вычислить вероятность того, что контролёр, проверяющий качество 5 000 изделий, обнаружит среди них k = 4 бракованных.

Решение:

Вероятность изготовления бракованного изделия мала, p = 0.0002, а число изделий в партии велико, n = 5000, поэтому случайное число бракованных изделий имеет приближённо распределение Пуассона.

P_n (k) = ?^k e^-? / k!

Найдём? = np = 5000×0.0002 = 1

P₅₀₀₀(4) = 1⁴ e^-1 / 4! = 0.3679/24 = 0.0153

14. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

F (X) =

Найти:

1)функцию плотности вероятности;

2) M (X); D (X); ?(X);

3) вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение принадлежащее интервалу (¼; ¾).

Построить графики функций F (X), f (X).

Решение:

1.Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

f (x) = F'(x) =

2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможное значение которой принадлежит в заданном случае интервалу (0; 1):

М (Х) = = 2 = =.

Дисперсия непрерывной случайной величины:

D (X) = = - [M (x)]².

D (X) = 2 — = - = - = = = 0.055(5).

Среднее квадратическое отклонение:

?(Х) = = = 0.2357.

3. Bероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (¼; ¾), определяется как:

P (¼×¾) = = 2 = =? —? = ?.

Графики функции распределения и плотности:

15. Вероятность безотказной работы элемента распределена по показательному закону f (x) = 0.02e^-0.02t (t 0). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 50 часов.

Решение:

Показательным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

0, при х 0,

f (x) =

? е^-?х, при х 0.

Элемент проработает безотказно в течение 50 часов предполагает работу этого элемента в интервале времени от 0 до 50, поэтому искомая вероятность:

Р (0×50) = 0,02 е^-0,02t dt = 0.02 / (- 0.02) x [e^{-50 x 0.02} — e⁰] = -1 [0.3679 — 1] = 0.6321