Численное интегрирование и дифференцирование функций

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет Механико-технологический факультет Курсовая работа по дисциплине Информационные технологии и программирование

Тема:

Численное интегрирование и дифференцирование функций

• Минск 2010
• СОДЕРЖАНИЕ
• 1. Постановка задачи
• 2. Исходные данные
• 3. Описание методики расчёта
• 4 Алгоритм решения задачи
• 5 Программа и её описание
• 6. Результаты расчётов и графики функций
• Список использованных источников
• Приложение
• 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
• Разработать алгоритм и программу, обеспечивающую вычисление:
• 1. Максимального (Y'''max) значения функции на заданном отрезке.
• 2. Максимального (Y'max) и минимального (Y'min) значений первой производной f `(x) заданной функции в интервале x принадлежит (-1;1) и соответствующих им значений аргумента (dXmax) и (dXmin);
• 2. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
• 2.1 Многочлены: (x⁷+2x⁶-5x⁵-3x²+27) и (x⁵-4x⁴+x³-2x+3);
• 2.2 Область значений аргумента: x? [-3,3]:
• 2.3 Шаг изменения аргумента: ?x=0,5;
• 3. ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ РАСЧЁТА
• Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f'(x) или дифференциала df=f'(x)dx функции f (x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f (x) требуется найти такую функцию F (x), что F'(х)=f (x) или dF (x)=F'(x)dx=f (x)dx.
• Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F (x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.
• Функция F (x),, называется первообразной для функции f (x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F'(x)=f (x) или dF (x)=f (x)dx.
• Совокупность F (x)+C всех первообразных функции f (x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
• В формуле (1) f (x)dx называется подынтегральным выражением, f (x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования, а С — постоянной интегрирования.
• Если существует конечный передел интегральной суммы
• при л>0, не зависящий от способа разбиения ф_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек о_k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f (x) на отрезке [a; b] и обозначают:
• Если указанный предел существует, то функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f (x)dx называется подынтегральным выражением, f (x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования, a и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
• Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения л стремится к нулю.
• программа функция производный график
• 4. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

• Алгоритм подпрограммы Vivod

• Алгоритм подпрограммы Summa
• Алгоритм подпрограммы Proizv
• Алгоритм основной программы
• 1 — вывод текста;
• 2 — выполнение процедуры summa;
• 3 — выполнение процедуры vivod;
• 4 — выполнение процедуры proizv;
• 5 — вывод текста;
• 6 — выполнение процедуры vivod;
• 7 — выполнение процедуры poiskl;
• 8 — выполнение процедуры readln.
• Алгоритм подпрограммы Vivod
• 9- оператор повторения for;
• 10- оператор условия if;
• 11 — вывод текста;
• Алгоритм подпрограммы Summa
• 12 — очистка экрана;
• 13 — вывод условия на экран;
• 14 — расчет коэффициэнтов многочлена;
• Алгоритм подпрограммы Proizv
• 15 — максимальная степень многочлена;
• 16 — оператор повторения для вычисления производной н-ной степени;
• 17 — пара операторов for для попеременной замены элементов ;
• 18 — замена старых коэффициэнтов новыми;
• Алгоритм подпрограммы Poisk
• 19 — ввод начала исследуемого отрезка на оси x;
• 20 — ввод вспомогательной переменной xn;
• 21 — оператор повторения while;
• 22 — расчет значения функции при определенном оператором x;
• программа функция производный график
• 5. ПРОГРАММА И ЕЁ ОПИСАНИЕ
• 5.1 Текст программы, написанный на языке программирования Turbo Pascal

uses crt, graph;

var

n, i, j:integer;

a, b, c:array [0.99] of integer;

x, xmax, f, fmax:real;

procedure vivod;

begin

for i:=7 downto 0 do begin

if (c[i]>0) and (i<7) and (c[i+1]<>0) then write ('+');

if (i>0) and (c[i]<>1) and (c[i]<>0) then write (c[i],'x^', i);

if (i>0) and (c[i]=1) and (c[i]<>0) then write ('x^', i);

if i=0 then write (c[i])

end;

end;

procedure summa;

begin

clrscr;

writeln;

writeln (' summa mnogo4lenov (x⁷+2x⁶−5x⁵−3x²+27) i

(x⁵−4x⁴+x³−2x+3) ravna');

writeln;

a[7]: =1; a[6]: =2; a[5]: =-5; a[4]: =0;

a[3]:=0; a[2]: =-3; a[1]: =0; a[0]: =27;

b[7]:=0; b[6]: =0; b[5]: =1; b[4]: =-4;

b[3]:=1; b[2]: =0; b[1]: =-2; b[0]: =3;

for i:=7 downto 0 do begin

c[i]: =a[i]+b[i];

end;

end;

procedure proizv;

begin

n:=7;

for j:=1 to 3 do begin

for i:=n downto 0 do

c[i]: =(i)*c[i];

for i:=0 to n do

c[i]: =c[i+1];

end;

end;

procedure poisk;

begin

x:=-3;

xn:=1;

writeln;

while x<=3 do

begin

f:=210*x*x*x*x+240*x*x*x-240*x*x-96*x+6;

writeln (' pri x=', x:3:1,' f''''''=', f:3:2);

if f>fmax then begin fmax:=f; xmax:=x end;

x:=x+0.5;

end ;

writeln;

writeln (' maksimalnoe zna4enie f'''''' =', fmax:3:2,' pri x=', xmax:3:2);

end;

begin

summa;

write (' ');

vivod;

writeln;writeln;

proizv;

writeln (' f'''''' imeet vid'); writeln;

write (' f''''''(x)=');

vivod;

readln;

poisk;

readln;

end.

5.2 Описание программы Написанная программа демонстрирует пример нахождения производной функции и максимальной точки в определенных условием местах разбиения.

В самом начале программы подключается стандартный модуль: Сrt.

Затем описываются следующие глобальные переменные:

n, i, j:integer; - целые переменные для использования в качестве счетчиков;

a, b, c:array [0.99] of integer; - элементы массива целых чисел для подсчета коэффициэнтов многочлена; целый

x:real; - значение x; вещественный;

xmax, fmax; - максимальное значение функции при значении x; вещественный;

f:real; - значение производной, используемое в расчетах. вещественный;

Следующим в программе идёт описание процедур:

Процедура vivod. Используется для вывода на экран текущей расчетной функции. Далее с помощью оператора if проверяется каждое значение коэффициента для грамотного вывода фукнкции на экран.

Процедура Summa суммирует коэффициенты нескольких многочленов Процедура Proizv. В ней находится производная нужного нам порядка Процедура Poisk путем перебора заданных нам значений x находится максимальное значение производной 3-й степени на заданном участке и полученная информация выводится на экран.

В головной программе последовательно вызываются процедуры Summa, vivod, proizv, vivod и poisk, между которыми используются процедуры вывода на экран для удобочитаемости результатов.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЁТОВ И ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

Результатом выполнения данной программы будет выведенная на экран информация о значениях производной на всех точках разбиения и результат работы программы, как-то максимальное значение производной, и при каком x это значение обнаруживается.

Наглядно функция и ее производная 3-й степени показана при помощи таблиц excel

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Чичко А. Н., Е. А. Дроздов. Учебно-методическое пособие по курсу информатика. — Минск, 2000 — 273с.

2. Курант Р. Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва. Изд. Наука, 1970. — стр. 673.

3. Кузнецов Л. А. Сборник задач по высшей математике: типовые расчёты. — Москва. Высшая школа 1983. — стр. 176.

4. Рафальский И. В., Юркевич Н. П., Мазуренок А. В. Учебно-методическое пособие по курсу «Информатика». — Минск. БГПА, 2000.