Системы счисления

^{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ}

^{ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ}

^{ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ}

^{«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»}

^{КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ИНФОРМАТИКЕ}

^{Выполнил:}

^{студент группы УП-10}

^{Смирнова В.П.}

^{Проверила: к.т.н, доцент кафедры МиИТ}

^{Васильева С. А.}

^{Братск 2010 г.}

^{Задание 1}

Исходные данные:

Системы счисления

- основные понятия;

— двоичные системы счисления;

— перевод из одной системы в другую

1.1 Системы вычисления. Основные понятия

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Позиционные с/с — с/с, в которых величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Непозиционные с/с — с/с, в которых вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе.

Числа с фиксированной запятой (точкой) — естественная форма представления. Все числа представляются в виде последовательности с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Нормальная форма — числа с плавающей запятой (точкой).

Основание с/с — количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

1.2 Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием В этой систем запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. Общий вид числа:

A = anan-1…a2a1a0 е счисления числа записываются с помощью двух символов (1 и 0).

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции — номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Двоичная система счисления (Бинарная система счисления, binary) — позиционная система счисления с основанием 2. Для представления чисел используются символы 0 и 1.

Пример:

100 100 112=1? 27 + 0? 26 + 0? 25 + 1? 24 + 0? 23 + 0? 22 + 1? 21 + 1? 20 = 14 710

Соответствие первых двух десятков двоичной и десятичной систем счисления Десятичная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Двоичная 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001

Десятичная 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Двоичная 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10 000 10 001 10 010 10 011

Практическое применение двоичной системы затрудняется, во-первых, привычкой нашей к десятичной системе, приобретаемой с детства и, вероятно, отчасти унаследованной, и тем обстоятельством, что в двоичной системе для означения даже небольших чисел требуется гораздо большее число цифр, чем в десятичной. Так, например, 100 в десятичной системе будет изображаться 1 100 100 в двоичной, 1000 десятичной системы есть 1 111 101 000 в двоичной и т. д.

Чтобы написать какое-нибудь число в двоичной системе, должно делить его последовательно на 2 и писать подряд, справа налево, остатки от деления. Например, чтобы написать 400 в двоичной системе, делим это число на 2, первое частное 200, остаток 0, второе частное 100, остаток 0, третье частное 5 0, остаток 0, четвертое частное 25, остаток 0, пятое частное 12, остаток 1, шестое частное 6, остаток 0, седьмое частное 3, остаток 0, восьмое частное 1, остаток 1, девятое и последнее частное 0, остаток 1, и так 400 десятичной системы пишется 110 010 000 в бинарной.

Переход от числа, написанного в двоичной системе, к десятичной, совершается простым сложением степеней числа 2, означенных в числе. Так, напр., число 110 010 000 в двоичной системе есть сумма 8-й, 7-й и 4-й степени двух, т. е. 256, 128 и 16, т. е. 400, ибо, как сказано выше, единицы на различных местах в написанном числе означают разные степени 2-х, которые вместе составляют данное число.

1.3 Смешанная система счисления

Смешанная система счисления является обобщениемичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел и каждое число x представляется как линейная комбинация:

где на коэффициенты ak накладываются некоторые ограничения.

Записью числа z в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k, начиная с первого ненулевого.

Если для некоторого p, то смешанная система счисления совпадает с p-ичной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению секунд.

1.4 Применение теоремы о смешанных системах счисления

Если системы с основаниями Р и Q являются смешанными, то перевод чисел из одной такой системы счисления в другую осуществляется чрезвычайно просто. А если мы уже знаем представление каждой цифры Q-ичной системы в Р-ичной (здесь Q > Р), то перевод становится тривиальным, причем в обе стороны.

Одно из практических применений теоремы о смешанных системах счисления состоит в том, что арифметические действия над числами, записанными в любой системе счисления, можно выполнить в системе, смешанной с исходной, если последняя более удобна.

Например, вычисления в 100-ичной системе заменяются на десятичную арифметику (100-ичные числа переводятся в десятичную систему, а результат при необходимости может быть снова записан в 100-ичной), а действия с шестнадцатеричными или восьмеричными числами легко заменяются на двоичную арифметику (что активно используется в компьютерной арифметике).

Данную теорему можно также использовать для сокращения длины записи чисел, путем замены системы счисления с меньшим основанием, на систему с большим, но таким, чтобы эти системы являлись смешанными. Заметим, что это всегда возможно. Так, если мы имеем запись числа в Р-ичной системе, то мы можем переписать это же число в системе с основанием Q = Pm, уменьшив количество цифр в m раз (конечно, если их больше, чем m). Например, при использовании двоичной системы счисления сами числа можно представлять в 256-ричной, сократив количество цифр в записи числа в 8 раз (256 = 28).

Но и на этом применение теоремы не исчерпывается. Теорема о смешанных системах счисления может иногда сделать более рациональным решение задачи перевода чисел из одной системы в другую, даже если они непосредственно не являются смешанными.

Например, при переводе чисел из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот удобно сначала переписать число в двоичном виде (двоичная система является смешанной как с восьмеричной, так и с шестнадцатеричной).

Бывает также необходимо перевести число из десятичной системы счисления сразу в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Сначала следует определить, перевод в какую из перечисленных систем является для вас наиболее простым и удобным. С одной стороны, перевод в шестнадцатеричную систему путем последовательного деления на 16 выполняется меньшим числом действий, а, следовательно, вероятность сделать ошибку уменьшается, однако операцию деления на 16 тривиальной не назовешь. С другой стороны, при переводе в двоичную систему могут применяться и действия, отличные от деления на 2 с остатком, например, выделение максимальной степени двойки, кому-то наиболее простым покажется перевод в восьмеричную систему. Если вы получили шестнадцатеричное представление исходного числа, то, переписав его в двоичной системе, затем также легко сможете представить его и в восьмеричной. В случае, когда первичным является двоичное представление, шестнадцатеричную и восьмеричную форму записи можно получить из него непосредственно. Однако наряду с удобством подобный подход имеет и подводные камни: если ошибка будет сделана при переводе исходного числа в наиболее «удобную» из перечисленных систем, то она будет «растиражирована» и для двух других систем счисления.

^{арифметический счисление знак двоичный}

1.5 Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции. Перевод целых чисел

Пусть Aццелое десятичное число. Тогда в его разложении отсутствуют коэффициенты с отрицательными индексами, и его можно представить в виде:

Aц=an-1*2n-1+an-2*2n-2+…+a0*20

Разделим число Aц на 2. Частное будет равно

an-1*2n-2+…+a1

а остаток равен a0

Полученное неполное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a1

Если продолжить процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр

a0, a1, a2…, an-1

которые входят в двоичное представление числа Aц и совпадают с остатками при последовательном делении данного числа на 2. Но мы их получили в порядке, обратном порядку расположения числа Aц:

Aц=an-1an-2…a1a0

Пример: Перевести десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так.

Записывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим:1110=10 112

1.6 Перевод дробных чисел

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основе новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример: Перевести десятичную дробь 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей.

Отсюда: 0.187 510=0.112=0.148=0.316

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно.

При переводе в восьмеричную систему счисления двоичное число разбиваем на группы по 3 цифры справа налево начиная с младшего разряда.

Затем каждую тройку цифр заменяем соответственно цифрой восьмеричной системы счисления.

Дробную часть разбиваем от запятой вправо на группы по 3 цифры.

Обратный переход — от восьмеричной системы счисления к двоичной — осуществляется заменой каждой восьмеричной цифры ее двоичным эквивалентом (тремя двоичными цифрами).

Для шестнадцатеричной системы счисления — четырьмя двоичными цифрами.

Таблицы переводов. Двоичная — восьмеричная

Двоичная — шестнадцатеричная

Примеры:

1) Переведите двоичные числа в восьмеричную ситему счисления.

a)

б)

2) Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления.

a)

б)

1.7 Перевод смешанных чисел

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой). Пример: Перевести десятичное число 315,1875 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления. Из рассмотренных выше примеров следует: 315.187 510=473.148=13B.316.

1.8 Основные арифметические операции

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

1.9 Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16+716+316

Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110 012 = 318= 1916.

Проверка:

110 012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25,

318 = 3*81 + 1*80 = 24 + 1 = 25,

1916 = 1*161 + 9*160 = 16+9 = 25.

1.10 Вычитание

Пример 1. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016

Пример 2. Вычтем число 59,75 из числа 201,25

Ответ: 201,2510 — 59,7510 = 141,510 = 10 001 101,12 = 215,48 = 8D, 816.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10 001 101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2−1 = 141,5;

215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8−1 = 141,5;

8D, 816 = 8*161 + D*160 + 8*16−1 = 141,5.

1.11 Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример1. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 3010 = 111 102 = 368.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

111 102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;

368 = 3*81 + 6*80 = 30.

1.12 Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Задание 2

2.1 Исходные данные

Найти сумму ряда с точностью Е=10^-2

2.2 Схема алгоритма

+ ;

Таблица данных

2.3 График функции

1. Информатика / под ред. Макаровой Н. В. — 3-е изд., перераб. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 768с.

2. Информатика. Практикум по технологии работы на компьютере: Учеб. пособие для вузов / под ред. Макаровой Н. В. — 3-е изд., перераб. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 255с.

1. Информатика: Учебник для вузов / Н. В. Макарова, Л. А. Матвеев, В. Л. Бройдо и др.; под ред. Макаровой Н. В. — 3-е изд., перераб. — М.: Финансы и статистика, 2004. — 768с.

2. Острейковский В. А. Информатика: Учебник для вузов. — М.: Высш. шк., 2000. — 511 с.

3. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователей / НПО информатика и компьютеры. — М.: Финансы и статистика, 1994. — 654с.

4. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователей. Краткий курс. — 7-е изд. — М.: ИНФРА М., 2001. 479.

5. Шафрин Ю. А. Информационные технологии. — М.: Лаб. Базовых знаний, 1998. 704с.

6. Могилев А. В. Информатика: Учеб. пособие для вузов / А. В. Могилев, Н. И. Пак, Е. К. Хеннер; под ред. Е. К. Хеннера. — М.: Академия, 200. 810 с.

7. Информатика. Базовый курс: Учеб. пособие для вузов / Под ред. С. В. Симоновича. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2004. — 639с.