Экономико-математическое моделирование

По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.1)

Таблица 1.1

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, показательной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Используя пакет Excel, построим поле корреляции (рис. 1). По полученному полю корреляции достаточно сложно судить о наличии определенной связи между х и у. Можно выдвинуть гипотезу как о наличии линейной связи, так и обратной, степенной, показательной.

Рисунок 1.

Для характеристики зависимости у от х рассчитаем параметры линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

А) Найдем параметры, а и b линейной регрессии, используя МНК.

Для этого решим систему уравнений относительно a и b:

.

По исходным данным произведем все необходимые расчеты и оформим их в таблице 1(Приложение, таблица 1).

Таким образом, получили систему уравнений:

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Б) Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения .

Пусть, тогда

Рассчитываем и b по формулам:

Все необходимые расчеты представлены в таблице 2 (Приложение, таблица 2).

Получим линейное уравнение:

Потенцируя уравнение (*), имеем:

В) Для того, чтобы построить показательную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения .

Пусть, ,, тогда

.

Рассчитаем и по формулам:

.

Все необходимые расчеты представим в таблице 3 (Приложение, таблица 3).

Получим линейное уравнение:

.

Потенцируя уравнение (**) имеем:

.

Г) Полулогарифмическая функция линеаризуется при замене, тогда .

Найдем параметры и, используя МНК.

Для этого решим систему уравнений относительно и :

Все необходимые расчеты представим в таблице 4 (Приложение, таблица 4).

Таким образом, получили систему уравнений:

отсюда

Итак, получим уравнение:

.

Д) Обратная функция линеаризуется с помощью замены, тогда .

Для этого решим систему уравнений относительно и :

Итак, получим уравнение:

.

Е) Уравнение гиперболы линеаризуется при замене, тогда

Найдем параметры и, используя МНК.

Для этого решим систему (1), учитывая, что .

Все необходимые расчеты представим в таблице 6 (Приложение, таблица 6).

Таким образом, получили систему уравнений:

отсюда

Итак, получим уравнение:

Оценим тесноту связи между результативным фактором (потребительскими расходами на душу населения) и факторным признаком (средней заработной платой и выплатами социального характера) с помощью коэффициента корреляции (для линейной модели), индекса корреляции (для нелинейных моделей) и коэффициента детерминации, которые рассчитываются по следующим формулам:

Все расчеты представим в таблице 9.

Найдем средний коэффициент эластичности по формулам, представленным в таблице 7.

Таблица 7.

Все расчеты представим в таблице 9.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

где .

Необходимые расчеты приведены в таблицах 1−6, а также в таблице 9.

Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера:

.

Для линейной модели построим таблицу дисперсионного анализа (таблица 8).

Таблица 8.

Таблица 9.

Из итоговой таблицы видно, что коэффициент корреляции наибольший для линейной регрессии, коэффициент детерминации максимален, а коэффициент аппроксимации минимален, поэтому можно сделать вывод: наиболее сильное влияние средняя заработная плата и выплаты социального характера оказывает на средний размер потребительских расходов на душу населения при использовании в качестве аппроксимирующей функции линейную функцию.

Для степенной, показательной, полулогарифмической, обратной, гиперболической моделей, следовательно, эти модели являются статистически незначимыми.

Для линейной модели, значит уравнение регрессии статистически значимо.

С помощью t-критерия Стьюдента оценим значимость параметров a и b линейной функции и коэффициент корреляции r. Определим случайные ошибки m_b, m_a, m_r по формулам:

;

;

;

;

;

.

;

Таким образом, значит, параметры a, b, r являются статистически значимыми.

Рассчитаем доверительные интервалы для a, b, r. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

т.е.

(округляем), т. е.

т.е.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a, b, r, находясь в указанных интервалах, не принимают нулевых значений, т. е. не являются статистическими незначимыми и существенно отличны от нуля.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для получения прогноза. Если прогнозное значение средней заработной платы в среднем на потребительские расходы в месяц увеличится на 10% от его среднего уровня, тогда прогнозное значение среднего размера потребительских расходов составит:

Рассчитаем ошибку прогноза по формуле:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительные интервалы прогноза:

заработный плата потребительский регрессия Вывод:

Целью данной контрольно-курсовой работы было определение количественной взаимосвязи между средней заработной платы и выплат социального характера и потребительских расходов на душу населения на основе статистических данных. Для этого были построены уравнения линейной, степенной, показательной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

В ходе проведенного исследования выяснилось, что можно использовать линейную функцию в качестве модели для описания взаимосвязи между анализируемыми параметрами. Данная линейная функция имеет вид .

При выполнении расчетов выяснилось, что средний коэффициент эластичности для линейной модели составляет 0,1468, т. е. с увеличением размера средней заработной платы на 1%, потребительские расходы увеличиваются в среднем на 0,1468%.

Коэффициент детерминации для линейной модели составил 0,3157. Это означает, что уравнением регрессии объясняется 31,57% дисперсии результативного признака (средний размер потребительских расходов), а на долю прочих факторов приходится 68,43%, следовательно, линейная модель не очень хорошо аппроксимирует исходные данные, однако, ей можно пользоваться для прогноза значений результативного признака.

Так, полагая, что размер средней заработной платы может составить 223,8924 тыс. руб., то прогнозное значение для среднего размера потребительских расходов окажется 211,43 тыс. руб., при этом с вероятностью 0,95 можно утверждать, что доверительные интервалы прогноза индивидуального значения результативного признака составят 211,4319,1267, т. е. .

Приложение Таблица 1 (линейная) Таблица 2 (степенная) Таблица 3 (показательная)

Таблица 4 (полулогарифмическая) Таблица 5 (обратная) Таблица 6 (гиперболическая)