Решение задач по эконометрике
Следовательно, при увеличении оборота капитала (x1) на 1% чистый доход (y) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% от своего среднего уровня. Следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее… Читать ещё >
Решение задач по эконометрике (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 1
Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (y — стоимость квартиры (тыс. у.е.), x — размер общей площади (м2)). Данные приведены в табл. 1.4.
Таблица 1
Месяц | |||||||||||||
у | 22,5 | 25,8 | 20,8 | 15,2 | 25,8 | 19,4 | 18,2 | 21,0 | 16,4 | 23,5 | 18,8 | 17,5 | |
х | 29,0 | 36,2 | 28,9 | 32,4 | 49,7 | 38,1 | 30,0 | 32,6 | 27,5 | 39,0 | 27,5 | 31,2 | |
Задание:
1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий
и .
2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
5. С помощью F-статистики Фишера (при) оцените надежность уравнения регрессии.
6. Рассчитайте прогнозное значение, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .
7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.
Решение
Составим таблицу расчетов 2.
Все расчеты в таблице велись по формулам
.
Таблица 2
х | х2 | у | ху | у2 | А (%) | |||||||||
29,0 | 841,0 | 22,5 | 652,5 | 506,3 | 2,1 | — 4,5 | 4,38 | 20,33 | 18,93 | 3,57 | 12,75 | 15,871 | ||
36,2 | 1310,4 | 25,8 | 934,0 | 665,6 | 5,4 | 2,7 | 29,07 | 7,25 | 21,28 | 4,52 | 20,40 | 17,506 | ||
28,9 | 835,2 | 20,8 | 601,1 | 432,6 | 0,4 | — 4,6 | 0,15 | 21,24 | 18,90 | 1,90 | 3,62 | 9,152 | ||
32,4 | 1049,8 | 15,2 | 492,5 | 231,0 | — 5,2 | — 1,1 | 27,13 | 1,23 | 20,04 | — 4,84 | 23,43 | 31,847 | ||
49,7 | 2470,1 | 25,8 | 1282,3 | 665,6 | 5,4 | 16,2 | 29,07 | 262,17 | 25,70 | 0,10 | 0,01 | 0,396 | ||
38,1 | 1451,6 | 19,4 | 739,1 | 376,4 | — 1,0 | 4,6 | 1,02 | 21,08 | 21,90 | — 2,50 | 6,27 | 12,911 | ||
30,0 | 900,0 | 18,2 | 546,0 | 331,2 | — 2,2 | — 3,5 | 4,88 | 12,31 | 19,26 | — 1,06 | 1,12 | 5,802 | ||
32,6 | 1062,8 | 21,0 | 684,6 | 441,0 | 0,6 | — 0,9 | 0,35 | 0,83 | 20,11 | 0,89 | 0,80 | 4,256 | ||
27,5 | 756,3 | 16,4 | 451,0 | 269,0 | — 4,0 | — 6,0 | 16,07 | 36,10 | 18,44 | — 2,04 | 4,16 | 12,430 | ||
39,0 | 1521,0 | 23,5 | 916,5 | 552,3 | 3,1 | 5,5 | 9,56 | 30,16 | 22,20 | 1,30 | 1,69 | 5,536 | ||
27,5 | 756,3 | 18,8 | 517,0 | 353,4 | — 1,6 | — 6,0 | 2,59 | 36,10 | 18,44 | 0,36 | 0,13 | 1,923 | ||
31,2 | 973,4 | 17,5 | 546,0 | 306,3 | — 2,9 | — 2,3 | 8,46 | 5,33 | 19,65 | — 2,15 | 4,62 | 12,277 | ||
402,1 | 13 927,8 | 244,9 | 8362,6 | 5130,7 | 0,0 | 0,0 | 132,7 | 454,1 | ; | ; | 79,0 | 129,9 | ||
Среднее значение | 33,5 | 1160,7 | 20,4 | 696,9 | 427,6 | ; | ; | ; | ; | ; | ; | 6,6 | 10,8 | |
6,43 | ; | 3,47 | ; | ; | ||||||||||
41,28 | ; | 12,06 | ; | ; | ||||||||||
Тогда
и линейное уравнение регрессии примет вид: .
Рассчитаем коэффициент корреляции:
.
Связь между признаком и фактором заметная.
Коэффициент детерминации — квадрат коэффициента или индекса корреляции.
R2 = 0,6062 = 0,367
Средний коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.
Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации:
допустимые значения которой 8 — 10%.
Вычислим значениекритерия Фишера.
где
— число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной);
— объем совокупности.
.
По таблице распределения Фишера находим
.
Так как, то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии отклоняется.
Так как, то можно сказать, что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.
Выберем в качестве модели уравнения регрессии, предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения:. Получим линейную модель регрессии .
Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3.
Таблица 3
y | yU | y2 | А (%) | |||||||||||
5,385 | 29,0 | 22,5 | 121,17 | 506,25 | 1,640 | — 0,452 | 2,69 | 0,20 | 13,74 | 8,76 | 76,7 | 38,92 | ||
6,017 | 36,2 | 25,8 | 155,23 | 665,64 | 4,940 | 0,180 | 24,40 | 0,03 | 14,01 | 11,79 | 139,0 | 45,70 | ||
5,376 | 28,9 | 20,8 | 111,82 | 432,64 | — 0,060 | — 0,461 | 0,004 | 0,21 | 13,74 | 7,06 | 49,9 | 33,95 | ||
5,692 | 32,4 | 15,2 | 86,52 | 231,04 | — 5,660 | — 0,145 | 32,04 | 0,02 | 13,87 | 1,33 | 1,8 | 8,72 | ||
7,050 | 49,7 | 25,8 | 181,89 | 665,64 | 4,940 | 1,213 | 24,40 | 1,47 | 14,42 | 11,38 | 129,5 | 44,11 | ||
6,173 | 38,1 | 19,4 | 119,75 | 376,36 | — 1,460 | 0,336 | 2,13 | 0,11 | 14,07 | 5,33 | 28,4 | 27,45 | ||
5,477 | 30,0 | 18,2 | 99,69 | 331,24 | — 2,660 | — 0,360 | 7,08 | 0,13 | 13,78 | 4,42 | 19,5 | 24,27 | ||
5,710 | 32,6 | 21,0 | 119,90 | 0,140 | — 0,127 | 0,02 | 0,02 | 13,88 | 7,12 | 50,7 | 33,89 | |||
5,244 | 27,5 | 16,4 | 86,00 | 268,96 | — 4,460 | — 0,593 | 19,89 | 0,35 | 13,68 | 2,72 | 7,4 | 16,58 | ||
6,245 | 39,0 | 23,5 | 146,76 | 552,25 | 2,640 | 0,408 | 6,97 | 0,17 | 14,10 | 9,40 | 88,3 | 39,98 | ||
58,368 | 343,4 | 208,600 | 1228,71 | 4471,02 | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | 313,567 | ||
Среднее значение | 5,837 | 34,34 | 20,860 | 122,871 | 447,10 | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | 31,357 | |
0,549 | ; | 3,646 | ; | ; | ; | ; | ||||||||
0,302 | ; | 13,292 | ; | ; | ; | ; | ||||||||
Рассчитаем параметры уравнения:
,
,
.
Коэффициент корреляции
.
Коэффициент детерминации
,
следовательно, только 9,3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .
,
,
следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.
Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии
.
Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т. е.
.
.
Определим ошибки .
,
,
,
,
,
.
Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.
Рассчитаем
.
Тогда
.
Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность) и достаточно точен, т.к. .
Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии
.
Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т. е.
.
.
Определим ошибки .
,
,
, ,
, .
Следовательно, и не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.
1., следовательно, качество модели не очень хорошее.
2. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.
Рассчитаем. Тогда .
3. Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность) и достаточно точен, т.к. .
Задание 2
Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.
Известны — чистый доход (у), оборот капитала (х1), использованный капитал (х2) в млрд у.е.
Таблица 4
у | х1 | х2 | |
1,5 | 5,9 | 5,9 | |
5,5 | 53,1 | 27,1 | |
2,4 | 18,8 | 11,2 | |
3,0 | 35,3 | 16,4 | |
4,2 | 71,9 | 32,5 | |
2,7 | 93,6 | 25,4 | |
1,6 | 10,0 | 6,4 | |
2,4 | 31,5 | 12,5 | |
3,3 | 36,7 | 14,3 | |
1,8 | 13,8 | 6,5 | |
2,4 | 64,8 | 22,7 | |
1,6 | 30,4 | 15,8 | |
Задание:
1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.
2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (б=0,01).
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.
5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.
6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Решение
Результаты расчетов приведены в табл. 5.
Таблица 5
y | x1 | x2 | yx1 | yx2 | x1x2 | x12 | x22 | y2 | ||
1,5 | 5,9 | 5,9 | 8,85 | 8,85 | 34,81 | 34,81 | 34,81 | 2,25 | ||
5,5 | 53,1 | 27,1 | 292,05 | 149,05 | 1439,01 | 2819,61 | 734,41 | 30,25 | ||
2,4 | 18,8 | 11,2 | 45,12 | 26,88 | 210,56 | 353,44 | 125,44 | 5,76 | ||
35,3 | 16,4 | 105,90 | 49,20 | 578,92 | 1246,09 | 268,96 | ||||
4,2 | 71,9 | 32,5 | 301,98 | 136,50 | 2336,75 | 5169,61 | 1056,25 | 17,64 | ||
2,7 | 93,6 | 25,4 | 252,72 | 68,58 | 2377,44 | 8760,96 | 645,16 | 7,29 | ||
1,6 | 6,4 | 16,00 | 10,24 | 64,00 | 100,00 | 40,96 | 2,56 | |||
2,4 | 31,5 | 12,5 | 75,60 | 30,00 | 393,75 | 992,25 | 156,25 | 5,76 | ||
3,3 | 36,7 | 14,3 | 121,11 | 47,19 | 524,81 | 1346,89 | 204,49 | 10,89 | ||
1,8 | 13,8 | 6,5 | 24,84 | 11,70 | 89,70 | 190,44 | 42,25 | 3,24 | ||
2,4 | 64,8 | 22,7 | 155,52 | 54,48 | 1470,96 | 4199,04 | 515,29 | 5,76 | ||
1,6 | 30,4 | 15,8 | 48,64 | 25,28 | 480,32 | 924,16 | 249,64 | 2,56 | ||
32,4 | 465,8 | 196,7 | 1448,33 | 617,95 | 10 001,03 | 26 137,30 | 4073,91 | 102,96 | ||
Средн. | 2,7 | 38,8 | 16,4 | 120,69 | 51,50 | 833,42 | ; | ; | 65,80 | |
1,2 | 27,1 | 8,8 | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ||
1,4 | 732,4 | 77,2 | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ||
Рассматриваем уравнение вида:
.
Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:
Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:
где
— стандартизированные переменные,
— стандартизированные коэффициенты:
Коэффициенты определяются из системы уравнений:
;
;
;
;
;
;
;
.
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
.
Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:
.
Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:
.
Следовательно, при увеличении оборота капитала (x1) на 1% чистый доход (y) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% от своего среднего уровня.
Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения определяются следующим образом:
.
Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле
.
Коэффициент множественной детерминации .
где
— объем выборки,
— число факторов модели.
В нашем случае
.
Так как, то и потому уравнение незначимо.
Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.
Для этого рассчитаем частныестатистики.
.
Так как, то и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .
.
Так как, то следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .
Результаты расчетов позволяют сделать вывод :
1) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии;
2) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии.
Задание 3
1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.
2. Определите тип модели.
3. Определите метод оценки параметров модели.
4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.
5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.
Модель денежного и товарного рынков:
Rt = a1+b12Yt+b14Mt+1,
Yt = a2+b21Rt+ b23It+ b25Gt+2,
It = a3+b31Rt+3,
где
R — процентные ставки;
Y — реальный ВВП;
M — денежная масса;
I — внутренние инвестиции;
G — реальные государственные расходы.
Решение
1. Модель имеет три эндогенные (RtYtIt) и две экзогенные переменные (MtGt).
Проверим необходимое условие идентификации:
1-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H — уравнение идентифицировано.
2-е уравнение: D=1, H=1, D+1=2 — уравнение сверхидентифицировано.
3-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H — уравнение идентифицировано.
Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.
Проверим достаточное условие:
В первом уравнении нет переменных It, Gt
Строим матрицу:
It | Gt | ||
2 ур. | b23 | b23 | |
3 ур. | |||
det M = det, rank M =2.
Во втором уравнении нет переменных Mt
det M 0
В третьем уравнении нет переменных Yt, Mt, Gt
Строим матрицу:
det M /
Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.
Система точно идентифицируема.
2. Найдем структурные коэффициенты модели.
Для этого:
Запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы:
Rt-b12Yt=a1+b12Mt
Yt-b21Rt-b23It=a2+b25Gt
It-b31Rt=a3
откуда
и, ,, .
Решаем систему относительно:. Найдем
где ;
алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , — минор, т. е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
.
Поэтому В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим из второго уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы примет вид:, откуда,. Из третьего уравнения системы находим и подставляем во второе уравнение системы, получим:, решая его совместно с уравнением и, исключая, получим. Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы получим. Выражая из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3.2), получим. Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы, получим .
Задание 4
Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6.
Таблица 6
День | Глазное отделение | |
Требуется:
1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.
2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.
3. Сделать выводы.
4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.
Решение Определим коэффициент корреляции между рядами и. Ррасчеты приведены в таблице 7:
год | |||||||||||||||
; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ||||
; | — 6,14 | 1,64 | 37,73 | 2,70 | ; | ; | ; | ; | 10,09 | ; | |||||
— 9,14 | — 6,36 | 83,59 | 40,41 | — 9,36 | 1,23 | 87,56 | 1,51 | 58,12 | 11,52 | ||||||
— 0,14 | — 9,36 | 0,02 | 87,56 | — 0,36 | — 6,77 | 0,13 | 45,82 | 1,34 | 2,42 | ||||||
— 4,14 | — 0,36 | 17,16 | 0,13 | — 4,36 | — 9,77 | 18,98 | 95,44 | 1,48 | 42,57 | ||||||
— 10,14 | — 4,36 | 102,88 | 18,98 | — 10,36 | — 0,77 | 107,27 | 0,59 | 44,19 | 7,97 | ||||||
6,86 | — 10,36 | 47,02 | 107,27 | 6,64 | — 4,77 | 44,13 | 22,75 | 71,02 | 31,68 | ||||||
0,86 | 6,64 | 0,73 | 44,13 | 0,64 | — 10,77 | 0,41 | 115,98 | 5,69 | 6,92 | ||||||
11,86 | 0,64 | 140,59 | 0,41 | 11,64 | 6,23 | 135,56 | 38,82 | 7,62 | 72,54 | ||||||
5,86 | 11,64 | 34,31 | 135,56 | 5,64 | 0,23 | 31,84 | 0,05 | 68,19 | 1,30 | ||||||
2,86 | 5,64 | 8,16 | 31,84 | 2,64 | 11,23 | 6,98 | 126,13 | 16,12 | 29,68 | ||||||
0,86 | 2,64 | 0,73 | 6,98 | 0,64 | 5,23 | 0,41 | 27,36 | 2,27 | 3,36 | ||||||
6,86 | 0,64 | 47,02 | 0,41 | 6,64 | 2,23 | 44,13 | 4,98 | 4,41 | 14,82 | ||||||
— 5,14 | 6,64 | 26,45 | 44,13 | — 5,36 | 0,23 | 28,70 | 0,05 | 34,16 | 1,24 | ||||||
— 1,14 | — 5,36 | 1,31 | 28,70 | — 1,36 | 6,23 | 1,84 | 38,82 | 6,12 | 8,46 | ||||||
; | ; | ; | 0,00 | 0,00 | 547,71 | 549,21 | 3,36 | 0,00 | 507,94 | 518,31 | 330,84 | 234,47 | |||
Средн. | 28,14 28,36 | 28,36 | 28,77 | ||||||||||||
Результат говорит о заметной зависимости между показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции.
Определим коэффициент автокорреляции второго порядка:
Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: .
Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 8.
Таблица 8
— 7,00 | |||||||||||
— 6,00 | |||||||||||
— 5,00 | |||||||||||
— 4,00 | |||||||||||
— 3,00 | |||||||||||
— 2,00 | |||||||||||
— 1,00 | |||||||||||
0,00 | |||||||||||
1,00 | |||||||||||
2,00 | |||||||||||
3,00 | |||||||||||
4,00 | |||||||||||
5,00 | |||||||||||
6,00 | |||||||||||
7,00 | |||||||||||
Средн. | 8,00 | 28,27 | 82,67 | 835,73 | 234,6 | ; | ; | ||||
.
Уравнение тренда примет вид:, коэффициент корреляции
.
Расчетное значение критерия Фишера равно ,
уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл.
Айвазян С.А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. — М.: ЮНИТИ, 1998.
Катышев П.К., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. — М.: Дело, 1999.
Магнус Я.Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: начальный курс. — М.: Дело, 2000.
Практикум по эконометрике. Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001.
Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. — М.: ЮНИТИ, 1997.
Эконометрика. Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001.