Составление выражения для передаточной функции замкнутой системы

Составить выражение для передаточной функции замкнутой системы, исследовать её на устойчивость, используя критерии Гурвица и Михайлова.

Звенья 1, 2 соединены параллельно:

Звенья 3, 4 и 5 соединены последовательно:

Звенья 12, 345 соединены последовательно:

Звенья 6 и 7 соединены параллельно:

С учетом обратной связи:

Таким образом, результирующая передаточная функция замкнутой системы:

Критерий Гурвица:

Для оценки устойчивости применим наиболее распространенный из алгебраических критериев — метод Гурвица. Для этого необходимо найти характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии. Полином знаменателя в выражении, приравненный к нулю. Это и есть характеристическое уравнение системы:

А (p) = a₃ · p³ + a₂ · p² + a₁ · p + a₀ = 0

Согласно критерию Гурвица, для того, чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы при а₀ > 0 были положительны все определители Гурвица:

?1 > 0, ?2 > 0, …, ?n > 0,

где n — степень характеристического уравнения системы. В данном случае n = 3, следовательно, должны быть положительны все определители Гурвица до третьего порядка.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a_n до a₁;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали снизу вверх;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули Тогда согласно критерию Гурвица:

Так как все определители Гурвица больше 0, система устойчива.

Если характеристическое уравнение заданной САУ записать в виде:

A (щ) = a₀ · (jщ)ⁿ + a₁· (jщ)^n-1 +…+ a_n-1· jщ + a_n= 0,

то его можно заменить эквивалентной суммой вещественной и мнимой частей, обозначив действительную часть через U (щ), а мнимую — через V (щ):

U (щ) +jV (щ) =А (jщ),

где U (щ) = Rе А (jщ) = a_n — a_n-2 · (щ)² + …+a_n-4· (щ) ⁴+ a₀ · (щ)ⁿ ,

V (щ) = Im А (jщ) = a_n-1 — a_n-3 · щ + …+a_n-5 · щ³+ a₁ · щ^n-1

Для характеристического уравнения исходной САУ аналитические выражения вещественной и мнимой частей имеют вид:

передаточный функция замкнутый гурвиц

U_А(щ) = 2.729 — 0.5374 · щ²

V_А(щ) = 22.2675 · щ — 0.0163 · щ³.

Изменяя щ в пределах от 0 до ?, получим кривую — годограф Михайлова. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении щ от 0 до начинался на вещественной оси в точке a₃ и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к в n-ом квадранте.

Следуя выше приведенному алгоритму, получим годограф Михайлова, представленный на рисунке. Находим значения вещественной и мнимой части.

Строим по точкам годограф:

Для уточнения пересечения с осями найдем решения:

V_А(щ) = 22.2675 · щ — 0.0163 · щ³ = 0

щ (22.2675 — 0.0163 · щ²) = 0

щ = 0 щ = 36.9608

U (0) = 2.729 U (36.9608) = -68.4701

U_А(щ) = 2.729 — 0.5374 · щ²

щ = 2.2535

V (2.2535) = 49.9933

Из таблицы видно, что пересечение с осями происходит в правильном порядке.

Или в MathCAD

Годограф Михайлова начался на действительной оси и прошел 3 квадранта против часовой стрелки. Согласно критерию система устойчива.