Специальная теория относительности

Контрольная работа Тема Специальная теория относительности

Введение

релятивистский физика динамика относительность

После введения понятия поля и создания электромагнитной теории Максвелла, возник вопрос, каким образом в вакууме передаются взаимодействия. Например, электромагнитная волна распространяется в вакууме, переносит энергию, но сам механизм распространения волны и переноса энергии остается открытым. Каким образом поле тяготения Солнца действует на Землю, и Земля издали ощущает изменения, происходящие на Солнце? В рамках теории дальнодействия это объяснить нельзя, пришлось создавать теорию близкодействия. Согласно этой теории, предполагалось, что весь мир заполнен неким упругим эфиром, и тела движутся в этом эфире. Распространение электромагнитных волн — это колебания эфира.

Однако, попытки обнаружить движение Земли относительно эфира закончились неудачей: лучи света, направленные вдоль линии движения Земли и поперек, имели одну и ту же скорость распространения, хотя скорость Земли (30 км/c) была достаточно большой, чтобы ее можно было обнаружить. Правило сложения скоростей не выполнялось. Объяснить эти эксперименты в рамках классической физики не удалось. Была создана новая релятивистская физика, окончательное завершение которой было дано в работах А. Эйнштейна. Понятие эфира оказалось лишним и от него пришлось отказаться.

1. Преобразования Галилея Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью v = const, т. е. две инерциальные системы. Неподвижную систему назовем системой К, а движущуюся — системой К'.

При этом нештрихованная система считается неподвижной, а штрихованная движется со скоростью v так, как показано на рисунке. Связь между координатами определяется формулами В классической механике предполагалось, что время во всех системах течет одинаково .

Полученные преобразования координат называются преобразованиями Галилея. Если продифференцировать координаты по времени, то получим формулу сложения скоростей

которую называют правилом сложения скоростей в классической физике.

Продифференцировав скорости по времени, получим

т.е. ускорения в обеих системах одинаковые. Учитывая, что в уравнение движения входит только ускорение, можно сказать, что законы динамики во всех инерциальных системах одинаковые. Говорят, что законы динамики инвариантны по отношению к преобразованиям координат в инерциальных системах отсчета. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом, носит название принципа относительности Галилея. С позиций этого принципа никакими механическими опытами нельзя установить, покоится данная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно. Подчеркнем, что принцип относительности Галилея относится к механическим явлениям. Электромагнитные и оптические явления могут не подчиняться принципу относительности Галилея.

2. Преобразования Лоренца Классическая физика хорошо описывает движение тел с малыми скоростями (v<

1. Принцип относительности: Никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Подчеркнем, что здесь речь идет обо всех без исключения физических явлениях (механика, электродинамика, оптика и пр.). Этот постулат иногда называют принципом относительности Эйнштейна, в отличие от принципа относительности Галилея. Все законы природы в инерциальных системах протекают одинаково. С точки зрения наблюдателя, расположенного в системе координат (x, y, z, t), показанной на рисунке, можно говорить, что система (x', y', z', t') движется со скоростью v вправо, а с точки зрения наблюдателя, расположенного в системе координат (x', y', z', t'), что система (x, y, z, t) движется со скоростьюv влево. C позиции принципа относительности оба наблюдателя правы.

2. Принцип инвариантности скорости света: Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Фактически оба принципа утверждают наличие инвариантов, т. е. физических параметров или некоторых утверждений, которые остаются неизменными в любой инерциальной системе координат. Первый принцип утверждает, что все физические законы остаются неизменными во всех инерциальных системах координат — инвариантность физических законов. Второй постулат утверждает, что скорость света является инвариантом. Используя эти постулаты можно показать, что преобразования координат должны иметь вид

.

Эти преобразования называются преобразованиями Лоренца. Если сравнить их с преобразованиями Галилея то нетрудно видеть, что при малых скоростях (v<

Важным фактором является то, что время в различных системах координат меняется по-разному. При этом пространственные и временные координаты связаны между собой и как бы перемешаны. Из преобразований Лоренца вытекает, что пространство и время взаимосвязаны и образуют единое 4-мерное пространство-время. Учитывая, что должно выполняться условие, приходим к выводу о том, что движение тел со скоростями, превышающими скорость света, физически не может существовать.

3. Некоторые эффекты теории относительности

1. Длительность событий в различных системах отсчета. Пусть в некоторой точке х неподвижной системы К происходит событие, длительность которого

.

Найдем длительность этого события в движущейся системе К'. Имеем

.

Получается, что с точки зрения неподвижного наблюдателя в движущейся системе время как бы замедляется: движущиеся часы идут медленнее неподвижных. Эффект замедления времени получил экспериментальное подтверждение в случае элементарных частиц. Короткоживущие элементарные частицы живут дольше, если они двигаются с большими скоростями. При этом понятие одновременности событий зависит от выбора системы координат. Если в системе К два события А₁ и А₂ происходят одновременно (, но в различных точках, то в этой системе время между событиями

.

В системе К' интервал времени между событиями определяется выражением

т.е. события будут неодновременными. При этом может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от знака v. Это означает, что в некоторых системах событие А₁ может происходить раньше, чем А₂, а в некоторых, наоборот, позже.

Следует заметить, что сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинно-следственная связь. Причинно связанные события, например, рождение матери (событие А₁) и рождение сына (событие А₂) ни в одной системе координат не могут быть одновременными. При этом событие А₁ всегда предшествует событию А₂. Можно показать, что неизменность знака интервала времени для причинно связанных событий обусловлена тем, скорость движения тела не может быть больше скорости света (v

2. Длина тел в различных системах отсчета. Рассмотрим стержень, длина которого в неподвижной системе отсчета К

.

С позиции наблюдателя, расположенного в движущейся системе отсчета К', длина стержня

.

Полагая

получим связь между длиной стержня в движущейся и неподвижной системах координат

т.е. с позиции неподвижного наблюдателя стержень как бы сжимается. Это изменение называют лоренцовым сокращением длины. На самом деле никакого сокращения длины нет. Просто, длина является относительным понятием и зависит от выбора системы координат.

Отметим, что поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Форма тела в различных системах отсчета может быть разной: шар может превратиться в эллипсоид. Т.о. форма тела также является относительным понятием.

3. Релятивистский закон сложения скоростей. Используя формулы преобразования координат Лоренца, можно получить релятивистское правило сложения скоростей. Если в неподвижной системе К координат компоненты скорости определяются формулами

, ,

то в движущейся системе К' имеем

, .

Дифференцируя преобразования Лоренца, получим

, , .

Отсюда получим

, .

Соответственно, при переходе от системы К к К' получим

, .

Рассмотрим упрощенный вариант, когда в неподвижной системе координат К точка движется вдоль оси х со скоростью и. Тогда скорость этой точки в движущейся системе K' определится формулой

.

Решая это уравнение относительно и, найдем В частности, если и' =с, то

т.е. скорость света в обеих системах равна с.

4. Основной закон релятивистской динамики В рамках классической механики масса тела считается величиной постоянной. В рамках специальной теории относительности масса зависит от скорости движения тела. Обозначим массу тела в неподвижной системе координат К через т₀ (масса покоя). Используя постулаты СТО и полагая, что законы сохранения энергии и импульса остаются справедливыми и в рамках СТО, можно показать, что в движущейся системе отсчета К' масса тела определяется формулой

т.е. масса тела в движущейся системе возрастает. Массу т называют релятивистской массой, в отличие от — массы покоя. Отметим, что масса т не является инвариантом.

Импульс материальной точки в движущейся системе координат определяется формулой

.

Вектор р, определяемый этой формулой, называют релятивистским импульсом.

Основной закон движения материальной точки в релятивистской динамике принимает вид

или .

Выполняя дифференцирование в последней формуле, можно после преобразований получить выражение для ускорения

.

Отсюда видно, что в общем случае направление вектора ускорения не совпадает с направлением вектора силы F. Возможны два частных случая, когда направления, а и F совпадают:

1) v||F .

Используя формулу для а, получим

.

2) .

Из формулы для ускорения получим

.

Если под р понимать релятивистский импульс, то основной закон динамики выглядит одинаково в классической и релятивистской механике. Можно показать, что это релятивистское уравнение движения инвариантно относительно преобразований Лоренца, т. е. переход к новой системе координат, движущейся относительно исходной, не меняет вида этого уравнения.

Установим связь между массой и энергией движущейся материальной точки. Считая, что изменение кинетической энергии равно произведенной работе

или ,

можно записать

.

Это выражение можно преобразовать к виду

.

Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя т₀. Проинтегрируем полученное уравнение

.

Следовательно, кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

.

Используя известную математическую формулу приближенного вычисления, справедливую при малых х

получим для малых скоростей

что совпадает с классическим выражением для кинетической энергии.

Эйнштейн предположил, что выражение dT = c²dm справедливо для любого вида энергии

и пришел к универсальной зависимости между массой и энергией

.

Это соотношение выражает фундаментальный закон природы — закон взаимосвязи массы и энергии. Учитывая условие Т=(т — т₀)с², последнюю формулу можно записать в виде

откуда следует, что покоящееся тело обладает энергией

которую называют энергией покоя.

Найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы Или

.

Соотношение Е=тс² применимо ко всем видам энергии. Например, электромагнитное излучение, которое не обладает массой покоя, имеет массу, связанную с энергией электромагнитного поля

.

Связь между массой и энергией лежит в основе ядерных реакций и различных превращений элементарных частиц. При этих реакциях часть энергии, существовавшая в виде массы покоя, превращается в кинетическую энергию движения — происходит превращение различных видов энергии. Так, при взрыве атомной бомбы всего лишь несколько граммов массы покоя урана или плутония превращаются в энергию движения.

5. Основные формулы релятивистской механики

Приведем основные формулы релятивистской механики. Рассмотрим неподвижную и движущуюся системы координат

Преобразования Галилея

Преобразования Лоренца

.

Длительность событий

,

;

— события произошли в одной точке системы .

Длина отрезка

,

.

Сложение скоростей

.

Масса

.

Импульс

.

Энергия

.

Кинетическая энергия

.

Связь между полной энергией и импульсом

.

Список использованной литературы и источников

1. Трофимова Т. И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.

2. Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304с

3. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с.

4. Трофимова Т. И., Павлова З. Г. Сборник задач по курсу физики с решениями, М.: Высшая школа, 1999, 592 с.

5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В. С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

6. Красильников О. М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

7. Супрун И. Т., Абрамова С. С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.