Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad
Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного… Читать ещё >
Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Курсовая работа
На тему:
«Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad»
Екатеринбург 2010
1. Краткие теоретические сведения
Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:
y(n) = f (x, y, y', y''… y(n-1))
Общее решение этого уравнения зависит от n-произвольных постоянных.
Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса.
Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального уравнения y(n) = f (x, y, y', y''… y(n-1)) в пространство Лапласа мы получаем изображение F (s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения.
Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0) = y0, причём известно, что f (x, у) — аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:
y (x) — y (x0) =
Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х0.
К численным методам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты).
Если a — точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a* называют величину Д (а*), которая определяется следующим образом:
|a*-a|? Д (a*)
Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом:
|(a*-a)/ a* |? д (a*)
Таким образом, эти две погрешности связаны между собой:
д (a*) = Д (a*) / |a*|
Относительную погрешность часто выражают в процентах. Числа a* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой.
2. Дифференциальное уравнение
Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения.
Дано:
2x''+5x'=29cos t
x (0)= -1
x'(0)=0
2.1 Точное решение операторным методом
Пусть X (s) изображение, а х (t) оригинал.
Продифференцируем левую часть уравнения:
2x''+5x'=5*(s2*X-s*x (0) — x'(0))+5*(s*X-x (0))
Подставим данные значения x (0) и x'(0) в уравнение и получим:
x''-3x'+2x= 2*(s2*X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s2+5s)+s*2+5
Преобразуем правую часть уравнения в пространство Лапласа
Найдем значение изображения:
Given
Сопоставим изображению оригинал:
Найдем значения функции, построим её график:
дифференциальный уравнение эйлер операторный
2.2 Приближенное решение с помощью рядов
Запишем функцию в виде ряда:
Найдем производные первого и второго порядков от этой функции:
Разложим в ряд правую часть уравнения:
Полученные ряды подставим в исходное уравнение:
Найдем значения коэффициентов
Подставим найденные значения в разложение функции в ряд и построим график функции:
2.3 Численное решение методом Эйлера
Перепишем условие следующим образом:
x'=z
z'+ 5z=29cos t
z'=29cos t — 5z
Задаём начальные данные:
Находим значение x и x'
Для сравнения решим это дифференциальное уравнение с шагом 0,01. Построим график.
2.4 Численное решение методом Рунге-Кутты четвертого порядка
Определяем функцию D, задающую производные и находим значения функции. Строим график функции:
2.5 Расчет погрешности приближенного и численных методов
Таблица 1 — Значения функции
Заданный интервал | Точное решение | Приближенное с помощью рядов | Метод Эйлера (шаг 0,1) | Метод Эйлера (шаг 0,01) | Метод Рунге Кутты | |
— 1,0 | — 1,0 | — 1,0 | — 1,0 | — 1,0 | ||
0,1 | — 0,933 240 | — 0,933 240 | — 1,0 | — 0,938 953 | — 0,933 221 | |
0,2 | — 0,753 725 | — 0,753 766 | — 0,855 000 | — 0,762 488 | — 0,753 695 | |
0,3 | — 0,488 339 | — 0,488 787 | — 0,601 974 | — 0,498 255 | — 0,488 302 | |
0,4 | — 0,159 271 | — 0,161 707 | — 0,270 096 | — 0,168 991 | — 0,159 232 | |
0,5 | 0,214 972 | 0,205 973 | 0,117 337 | 0,206 412 | 0,215 012 | |
0,6 | 0,618 801 | 0,592 753 | 0,541 466 | 0,612 091 | 0,618 840 | |
0,7 | 1,38 952 | 0,975 227 | 0,986 812 | 1,34 588 | 1,38 989 | |
0,8 | 1,464 038 | 1,326 187 | 1,440 495 | 1,462 384 | 1,464 072 | |
0,9 | 1,884 213 | 1,612 712 | 1,891 659 | 1,885 536 | 1,884 245 | |
2,290 920 | 1,794 271 | 2,331 055 | 2,295 416 | 2,290 950 | ||
Таблица 2 — Локальная, абсолютная и относительная погрешность
Абсолютная погрешность | Относительная погрешность | ||||||||
Решения с помощью рядов | метода Эйлера (шаг 0,1) | метода Эйлера (шаг 0,01) | метода Рунге Кутты | Решения с помощью рядов | метода Эйлера (шаг 0,1) | метода Эйлера (шаг 0,01) | метода Рунге Кутты | ||
Локальная погрешность | 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,000 | |
0,0 | 0,66 760 | 0,5 713 | — 0,19 | 0,0 | — 6,7 | — 0,6 | 0,002 | ||
0,41 | 0,101 275 | 0,8 763 | — 0,30 | 0,0 | — 11,8 | — 1,1 | 0,004 | ||
0,448 | 0,113 635 | 0,9 916 | — 0,37 | — 0,1 | — 18,9 | — 2,0 | 0,008 | ||
0,2 436 | 0,110 825 | 0,9 720 | — 0,39 | — 1,5 | — 41,0 | — 5,8 | 0,024 | ||
0,8 999 | 0,97 635 | 0,8 560 | — 0,40 | 4,4 | 83,2 | 4,1 | — 0,019 | ||
0,26 048 | 0,77 335 | 0,6 710 | — 0,39 | 4,4 | 14,3 | 1,1 | — 0,006 | ||
0,63 725 | 0,52 140 | 0,4 364 | — 0,37 | 6,5 | 5,3 | 0,4 | — 0,004 | ||
0,137 851 | 0,23 543 | 0,1 654 | — 0,34 | 10,4 | 1,6 | 0,1 | — 0,002 | ||
0,271 501 | — 0,7 446 | — 0,1 323 | — 0,32 | 16,8 | — 0,4 | — 0,1 | — 0,002 | ||
0,496 649 | — 0,40 135 | — 0,4 496 | — 0,30 | 27,7 | — 1,7 | — 0,2 | — 0,001 | ||
2.6 Совместное графическое решение
Рисунок 1 — Совместное графическое решение
Из всех методов наиболее точным оказался метод Рунге-Кутты, его максимальная относительная погрешность 0,024%, относительная погрешность приближенного метода составила 27,7%. Метод Эйлера с шагом 0,1 имеет наибольшую погрешность 83,2%, однако при уменьшении шага в до 0,01 его погрешность составляет всего 5,8%. Это подтверждает то, что погрешность метода Эйлера сильно зависит от принятого шага. Проанализировав графическое решение делаем вывод о том, что методы Эйлера и Рунге-Кутты повторяют форму кривой точного решения, а график приближенного решения с увеличением аргумента всё сильнее отклоняется от искомого графика — свидетельство того, что погрешность решения с помощью рядов зависит от количества членов ряда. Характер кривой также говорит о том, что точность приближенного решения с помощью рядов удовлетворительна только вблизи некоторой точки.
3. Система дифференциальных уравнений
Решить систему дифференциальных уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента), численное решение методом Эйлера, Рунге-Кутты. Представить графическое совместное решение, рассчитать локальную, относительную и абсолютную погрешность решения.
Дано:
dx/dt=3x + y
dy/dt=5/2x — y + 2
x (0)=0
y (0)=1
3.1 Точное решение операторным методом
Пусть X (s) изображение, для оригинала x (t), Y (s) изображение для оригинала y (t). Перейдем от оригинала к изображению:
Найдем значения изображений:
Найдем значения функции и построим её график:
3.2 Приближенное решение с помощью рядов
Преобразуем систему таким образом что, получим дифференциальное уравнение второго порядка, зависящее только от x:
x''-2x'-11/2x-2=0
Алгоритм решения такой же, как и при решении дифференциального уравнения с правой частью специального вида, но без необходимости раскладывать правую часть.
Выводы
Наименьшую погрешность имеет метод Рунге-Кутты четвертого порядка — для функции x (t) относительная погрешность на десятом шаге составляет 0,036%, для функции y (t) 0,0297%. Наибольшая погрешность у метода Эйлера с шагом 0,1 — для функции x (t) 70,8%, для функции y (t) 51,4%. При изменении шага до 0,01 погрешность существенно уменьшается до 6,6% и 5,3% соответственно. Вывод о влиянии шага на погрешность в методе Эйлера совпадает с выводами решения дифференциального уравнения — большую роль в точности этого метода играет шаг. Можно еще раз подтвердить вывод о том, что точность приближенного метода решения сильно зависит от того, на сколько членов будет разложена дифференциальная функция.