Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Курсовая работа

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Введение

На практике в большинстве случаев найти точной решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.

В настоящей курсовой работе рассмотрена важная, с точки зрения прикладных задач: метод Крамера для решения системы линейных уравнений.

1. Создение С #

Зачастую слишком многого требований от инструментов, с которыми работаем, особенно, когда это касается языков программирования. Хотя таких языков существует великое множество, но только некоторые из них по-настоящему сильны. Эффективность языка заключается в его мощности и одновременно — в гибкости. Синтаксис языка должен быть лаконичным, но ясным. Он должен способствовать созданию корректного кода и предоставлять реальные возможности, а не ультрамодные (и, как правило, тупиковые) решения. Наконец, мощный язык должен иметь одно нематериальное качество: вызывать ощущение гармонии. Как раз таким языком программирования и является С#. Созданный компанией Microsoft для поддержки среды .NET Framework, язык С# опирается на богатое наследие в области программирования. Его главным архитектором был ведущий специалист в этой области — Андерс Хейлсберг (Anders Hejlsberg).

С# —- прямой потомок двух самых успешных в мире компьютерных языков: С и C++. От С он унаследовал синтаксис, ключевые слова и операторы. Он позволяет построить и усовершенствовать объектную модель, определенную в C++. Кроме того, С# близко связан с другим очень успешным языком: Java. Имея общее происхождение, но различаясь во многих важных аспектах, С# и Java — это скорее «двоюродные братья». Например, они оба поддерживают программирование распределенных систем и оба используют промежуточный код для достижения переносимости, но различаются при этом в деталях реализации. Опираясь на мощный фундамент, который составляют унаследованные характеристики, С# содержит ряд важных новшеств, поднимающих искусство программирования на новую ступень. Например, в состав элементов языка С# включены такие понятия, как делегаты (представители), свойства, индексаторы и события. Добавлен также синтаксис, который поддерживает атрибуты; упрощено создание компонентов за счет исключения проблем, связанных с COM (Component Object Model — модель компонентных объектов Microsoft — стандартный механизм, включающий интерфейсы, с помощью которых объекты предоставляют свои службы другим объектам).

И еще. Подобно Java язык С# предлагает средства динамического обнаружения ошибок, обеспечения безопасности и управляемого выполнения программ. Но, в отличие от Java, C# дает программистам доступ к указателям. Таким образом, С# сочетает первозданную мощь C++ с типовой безопасностью Java, которая обеспечивается наличием механизма контроля типов (type checking) и корректным использованием шаблонных классов (template class). Более того, язык С# отличается тем, что компромисс между мощью и надежностью тщательно сбалансирован и практически прозрачен (не заметен для пользователя или программы).

На протяжении всей истории развития вычислительной техники эволюция языков программирования означала изменение вычислительной среды, способа мышления программистов и самого подхода к программированию. Язык С# не является исключением. В непрекращающемся процессе усовершенствования, адаптации и внедрения нововведений С# в настоящее время находится на переднем крае. Это — язык, игнорировать существование которого не может ни один профессиональный программист.

2. Постановка задачи

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики [1,2].

(1)

Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде таблицы:

Запишем систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.

Данная таблица n² элементов, состоящая из n строк и n столбцов, называется квадратной матрицей порядка n. Если подобная таблица содержит nm элементов, расположенных в n строках и m столбцах, то она называется прямоугольной матрицей.

Используя понятие матрицы А, систему уравнений (3) можно записать в векторно-матричном виде:

или, в более компактной записи, где х и b — вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно.

3. Метод Крамера Алгоритм Крамера, согласно [1,2], выражается формулами где

…,

При этом необходимым и достаточным условием существование единственного решения, является не равенство нулю главного определителя системы .

Блок-схема алгоритма представлена на рисунке.

Схема 1

4. Текст программы

Программа, реализующая метод Крамера, была протестирована на следующий тестовых примерах:

1.Решить систему второго порядка решением системы является вектор

.

2.Решить систему третьего порядка решением системы является вектор

.

Заключение

В работе, мною был программно реализован метод Крамера для решения системы линейных уравнений. Использовалось необходимое условие существования решения, т. е. не равенство нулю главного определителя системы.

Отличительная черта этого метода заключается в неоднократном вычислении определителя матрицы. С вычислительной точки зрения это трудоемкая операция с ростом количества элементов. В работе была рассмотрена система n-го порядка, а определители вычислялись непосредственно.

алгебраический уравнение крамер программирование

Список используемых источников

1. Турчак Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 304 с.

2. Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. — М.: Наука, 1967. 368 с.

3. Высшая математика для экономистов: Уч. Для вузов/Н.Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман.-М.:Банки и биржи, 1998.-471 с.

4. Мохика Х. Язык С#: разработка Web-приложений на ASP.NET / Х. Мохика; пер. с англ. А. А. Слинкина. — М.: НТ Пресс, 2006. — 464 с. — (Quick Start).

5. Либерти Дж. Программирование на C#: пер. с англ. / Дж. Либерти. — 2-е изд. — СПб.: Символ, 2003. — 688 с.: ил.

6. С#: пер. с англ. / К. Ватсон, М. Беллиназо, О. Корнс и др. — СПб.: Питер, 2006. — 861 с.

7. Галисеев Г. В. Программирование на языке С#: самоучитель / Г. В. Галисеев. — М.: Вильямс, 2006. — 368 с.: ил.