Создание математической модели

Создание математической модели

Вторая половина XX века связана с появлением и широким распространением новой методологии исследования сложных объектов и систем. В ее основе лежит метод математического моделирования и реализованные на его основе вычислительные эксперименты. Математические модели использовались и раньше. Они позволяли уже тогда анализировать недоступные или несуществующие объекты и процессы. Например:

1) Планета Уран была открыта путем анализа возмущений орбит трех планет (Леверье).

2) К. Э. Циолковский показал, что для преодоления земного притяжения требуется первая космическая скорость, а не скорость света.

Однако считалось, что методы математического моделирования не пригодны для исследования сложных технических, экономических, биологических и социальных систем. В области техники отсутствие объективных математических методов привело, с одной стороны, к созданию многочисленных частных, так называемых инженерных методик расчета, носивших рецептурный характер, а с другой — к полному безраздельному господству эмпирики (натурных экспериментов).

Недостаточно полная проработка вариантов приводила к субъективным решениям.

Положение начало меняться во второй половине XX в. при развитии средств вычислительной техники, в частности современных ЭВМ, которое дало в руки исследователей новое эффективное средство моделирования сложных систем. В настоящее время не существует объектов, при изучении которых не применялись бы методы математического моделирования. Разработаны и активно используются математические модели технических устройств, модели разнообразных технологических процессов, экономические модели предприятий, регионов и целых государств, экологические модели, модели геологических и геофизических процессов, модели социальных систем, биологические и медицинские модели.

Передо мной встала задача создания математической модели непрерывно действующей противоточной сушилки.

Противоточные сушилки применяют в тех случаях, когда материал не чувствителен к высоким температурам или если сухой материал должен иметь очень низкую влажность. В таких сушилках для предотвращения разложения материала под действием высоких температур в качестве основной регулируемой величины нужно использовать температуру материала на выходе из сушилки и вносить регулирующие воздействия изменением расхода сушильного агента. Температура воздуха на входе в барабан регулируется изменением расхода теплоносителя, подаваемого в воздухоподогреватель, а влажность — изменением расхода рециркулирующего воздуха. Узлы регулирования расхода влажного материала и разрежения остаются такими же, как и в прямоточных сушилках. Наибольшее распространение получили барабанные противоточные сушилки (рисунок 1).

Рисунок 1 — Барабанная противоточная сушилка:

1 — барабан; 2 — бандаж; 3 — ролики; 4 — зубчатая передача; 5 — ролики; 6 — питатель; 7 — лопасти приемно-винтовой насадки; 8 — вентилятор; 9 — циклон; 10 — камера; 11 — разгрузочное устройство.

Эти сушилки широко применяются для сушки кусковых, зернистых и сыпучих материалов. Барабанная сушилка в соответствии с рисунком 1 имеет цилиндрический барабан 1, установленный с небольшим наклоном к горизонту (1/15−1/50) и опирающийся с помощью бандажей 2 на ролики 3. Барабан приводится во вращение электродвигателем через зубчатую передачу 4 и редуктор. Число оборотов барабана обычно не превышает 5−8 мин-¹; положение его в осевом направлении фиксируется упорными роликами 5. Материал подается в барабан питателем 6, предварительно подсушивается, перемешиваясь лопастями 7 приемно-винтовой насадки, а затем поступает на внутреннюю насадку, расположенную вдоль почти всей длины барабана. Насадка обеспечивает равномерное распределение и хорошее перемешивание материала по сечению барабана, а также его тесное соприкосновение при пересыпании с сушильным агентом — топочными газами. Газы и материал особенно часто движутся прямотоком, что помогает избежать перегрева материала. Чтобы избежать усиленного уноса пыли с газами последние просасываются через барабан вентилятором 8 со средней скоростью, не превышающей 2- 3 м/сек.

Перед выбросом в атмосферу отработанные газы очищаются от пыли в циклоне 9. У разгрузочного конца барабана имеется подпорное устройство в виде сплошного кольца или кольца, образованного кольцеобразно расположенными поворотными лопатками (в виде жалюзи). Назначение этого кольца — поддерживать определенную степень заполнения барабана материалом; как правило, степень заполнения не превышает 20%. Время пребывания обычно регулируется скоростью вращения барабана и резке — изменением угла его наклона. Высушенный материал удаляется из камеры 10 через разгрузочное устройство 11 с помощью которого герметизируется камера 10 и предотвращается поступление в нее воздуха извне.

Подсосы воздуха привели бы к бесполезному увеличению производительности и энергии, потребляемой вентилятором 5.

Устройство внутренней насадки барабана зависит от размера кусков и свойств высушиваемого материала.

Подъемно-лопастная насадка используется для сушки крупнокусковых и склонных к налипанию материалов, а секторная насадка — для малосыпучих и крупнокусковых материалов с большой плотностью. Для мелкокусковых, сильно сыпучих материалов широко применяются распределительные насадки. Сушка тонкоизмельченных, пылящих материалов производится в барабанах, имеющих перевалочную насадку с закрытыми ячейками. Иногда используют комбинированные насадки, например подъемно-лопастную (в передней части аппарата) и распределительную.

Типы промышленных барабанных сушилок разнообразны: сушилки, работающие при противотоке сушильного агента и материала, с использованием воздуха в качестве сушильного агента, контактные барабанные сушилки и др.

Постановка задачи

Определить расход воздуха, расход и необходимое давление греющего пара для непрерывно действующей противоточной сушилки, работающей по нормальному сушильному варианту.

Производительность сушилки по влажному материалу: G_н = 350 кг/ч;

Начальная влажность материала: u_н = 42%;

Конечная влажность материала: u_к = 11%;

Температура материала, поступающего на сушку: ₁ = 18є С;

Температура материала, выходящего из сушилки: ₂ = 47є С;

Характеристика состояния воздуха:

— до калорифера: t₀ = 15є C, ц₀ = 70%;

— после сушилки: t₂ = 45є C, ц₂ = 60%;

Теплоёмкость высушенного (u_к = 11%) материала: c_k = 2,35*10³ Дж/кг*град;

Масса транспортирующего устройства (стальной транспортёр): G_тр = 600 кг;

Тепловые потери сушилки в окружающую среду Q_пот = 12% от суммы всех остальных слагаемых теплового баланса;

Влажность греющего пара: 6%.

Решение

Количество испаренной в сушилке влаги определим по уравнению:

(1)

Где G_н — производительность сушилки по влажному материалу, кг/ч;

u_н — начальная влажность материала, %;

u_к — конечная влажность материала, %.

Расход сухого воздуха в сушилке на испарение W кг влаги в час находим по уравнению:

(2)

Где W — количество испаренной в сушилке влаги, кг/ч;

x₀ — влагосодержание воздуха до калорифера;

x₂ — влагосодержание воздуха, выходящего из сушилки;

Расход тепла в теоретической сушилке определяем из уравнения:

Q_т = L*(I₂ — I₀), (3)

Где L — расход сухого воздуха в сушилке на испарение W кг влаги в час, кг/ч;

I₂ — теплосодержание воздуха, выходящего из сушилки, кДж/кг;

I₀ — теплосодержание воздуха, до калорифера, кДж/кг.

Общее количество тепла, которое должно быть подведено в калорифер, с учетом потерь в окружающую среду определим по формуле:

Q_р = ((Q_т + G_к* c_k*(₂ — ₁) + G_тр* c_тр*(₂ — ₁)) — W* ₁* c_в) *1,12, (4)

Где Q_т — расход тепла в теоретической сушилке, вт;

G_к — производительность сушилки по сухому материалу, кг/ч;

c_k — теплоёмкость высушенного (u_к = 11%) материала, Дж/кг*град;

₂ — температура материала, выходящего из сушилки, є С;

₁ — температура материала, поступающего на сушку, є С;

W — количество испаренной в сушилке влаги, кг/ч;

c_в — теплоёмкость влажного материала, Дж/кг*град.

(5)

Где Q_р — общее количество тепла, которое должно быть подведено в калорифер, с учетом потерь в окружающую среду, вт;

L — расход сухого воздуха в сушилке на испарение W кг влаги в час, кг/ч;

I₀ — теплосодержание воздуха, до калорифера, кДж/кг.

t_гр.п = t₁ + ?t, (6)

где t₁ — температура воздуха после калорифера, є С;

?t — разница температур на выходе воздуха из калорифера, є С.

Расход греющего пара:

D = Q_р/r * xґ, (7)

где xґ - паросодержание;

r — теплота конденсации пара при t_гр.п.

Удельный расход пара:

d = D/W, (8)

где D — расход греющего пара, кг/ч;

W — количество испаренной в сушилке влаги, кг/ч.

Численный пример

Количество испаренной в сушилке влаги определим по уравнению:

По диаграмме 1 — x находим влагои теплосодержание воздуха до калорифера и воздуха, выходящего из сушилки:

x₀ = 0,0077 x₂ = 0,038

I₀ = 35 кДж/кг I₂ = 145 кДж/кг

Расход сухого воздуха в сушилке на испарение W кг влаги в час находим по уравнению:

Расход тепла в теоретической сушилке определяем из уравнения:

В действительной сушилке тепло расходуется на подогрев материала

а также на нагрев транспортирующих устройств. В условиях нашей задачи последнее количество тепла:

где 0,5*10³ — теплоёмкость стали, Дж/(кг*град).

Из общего количества тепла, которое необходимо подать в сушилку, надо вычесть количество тепла, вносимое влагой, находящейся во влажном материале:

Тогда общее количество тепла, которое должно быть подведено в калорифер, с учетом потерь в окружающую среду составит:

Q_р = (123 000 +4300+2420−2560)*1,12 = 142 500 вт

Сравнивая расходы тепла в теоретической и действительной сушилке, можно видеть, что в последней расход тепла выше лишь на 15%.

Так как

Q_р = L*(I₁ — I₀) = 142 500 вт

то

Следовательно

I₁ = 127,5 * 10³ + I₀ = 127,5 *10³ + 35 *10³ = 162,5 *10³ Дж/кг сухого воздуха

Этому значению I₁ соответствует температура воздуха после калорифера t₁? 138є C (по диаграмме I — x).

Таблица 1 — Зависимость I — x

Принимаем на выходе воздуха из калорифера:

?t = t_гр.п — t₁ = 10 град

Тогда

t_гр.п = 138+10 = 148є С

чему соответствует необходимое давление греющего пара p_абс? 4,7 атм

Таблица 2 — Зависимость давления греющего пара от температуры

Расход греющего пара:

D = Q_р/r * xґ = 142 500/2124 *10³ * 0,94 = 0,0715 кг/сек = 257 кг/ч

где xґ - паросодержание;

r — теплота конденсации пара при 148є C.

Удельный расход пара:

d = D/W = 257/122 =2,1 кг / кг испаряемой влаги

Листинг — программы

Sub Polina ()

'Описание переменных'

Dim Gn As Integer, un As Integer, uk As Integer, R1 As Integer, R2 As Integer, t0 As Integer, _

j0 As Integer, t2 As Integer, j2 As Integer, ck As Integer, Gtr As Integer, x0 As Single, x2 As Single, _

I0 As Long, I2 As Long, t1 As Integer, dt As Integer, tgrp As Integer, x11 As Integer, _

I1 As Long, W As Long, L As Long, Qt As Long, Qr As Long, D As Single, dm As Single, _

ctr As Single, cv As Integer, r As Single, p As Single, I As Long, Qp As Double, Qtr As Single, Qw As Double

'Ввод данных'

Gn = InputBox («Введите Gn =», «350»)

un = InputBox («Введите un =», «42»)

uk = InputBox («Введите uk =», «11»)

R1 = InputBox («Введите R1 =», «18»)

R2 = InputBox («Введите R2 =», «47»)

t0 = InputBox («Введите t0 =», «15»)

j0 = InputBox («Введите j0 =», «70»)

t2 = InputBox («Введите t0 =», «45»)

j2 = InputBox («Введите j2 =», «60»)

ck = InputBox («Введите ck =», «2350»)

Gtr = InputBox («Введите Gtr =», «600»)

x0 = InputBox («Введите x0 =», «0,0077»)

I0 = InputBox («Введите I0 =», «35 000»)

x2 = InputBox («Введите x2 =», «0,038»)

I2 = InputBox («Введите I2 =», «145 000»)

ctr = InputBox («Введите ctr =», «500»)

cv = InputBox («Введите cv =», «4190»)

r = InputBox («Введите r =», «2 124 000»)

x11 = InputBox («Введите x11 =», «0,94»)

Количество испаренной в сушилке влаги'

W = Gn * ((un — uk) / (100 — uk))

Расход сухого воздуха в сушилке на испраение W кг влаги в час'

L = W / (x2 — x0)

Расход тепла в теоретической сушилке'

Qt = (L * (I2 — I0)) / 3600

Общее количество тепла, которое должно быть подведено в калорифер, с учетом потерь в окружающую среду:'

Qp = ((Gn — W) * ck * (R2 — R1)) / 3600

Qtr = (Gtr * ctr * (R2 — R1)) / 3600

Qw = (W * R1 * cv) / 3600

Qr = (Qt + Qp + Qtr — Qw) * 1.12

I1 = Qr / (L + I0)

If I = 162 500 Then

t1 = 138

ElseIf I = 16 000 Then

t1 = 135

Else

t1 = 141

End If

Разница температур на выходе из калорифера:'

dt = 10

tgrp = t1 + dt

If tgrp = 148 Then p = 4.7 Else If tgrp = 145 Then p = 4.238 Else p = 4.855

Расход греющего пара:'

D = Qr / (r * x11)

Удельный расход пара:'

dm = D / W

MsgBox «Расход сухого воздуха в сушилке, кг/ч» & L

Cells (1, 1) = «Расход сухого воздуха в сушилке, кг/ч»

Cells (1, 2) = L

MsgBox «Расход греющего пара, кг/сек» & D

Cells (2, 1) = «» Расход греющего пара, кг/сек

Cells (2, 2) = D

MsgBox «Давление греющего пара, атм» & p

Cells (3, 1) = «Давление греющего пара, атм»

Cells (3, 2) = p

End Sub

Многофакторный эксперимент

Определить зависимость расхода сухого воздуха в непрерывно действующей противоточной сушилке от испарения влаги (W) и влагосодержания (x).

сушилка программа давление противоточный

Таблица 9.1

Таблица 9.2 — Карта проведения эксперимента

Рассчитаем построчное среднее по следующей формуле:

(9)

где j — число повторных опытов

;

Определим построчные дисперсии — дисперсии воспроизводимости:

(10)

= 4,5.

Рассчитаем сумму построчных дисперсий:

(11)

S²_? = 2 + 32 + 15 + 4,5 = 53,5

Проверим воспроизводимость опыта по критерию Кохрена:

(12)

= 0,598

Табличное значение при N=4, y=2, G_t = 0,906, p=0,95

Опыты равноточны, так как G_r < G_t

Определим коэффициенты уравнения регрессии:

Проверим значимость коэффициентов регрессии, то есть проверяем дисперсию эксперимента:

(14)

Также рассчитаем усреднённую дисперсию эксперимента:

S²_y = S²_y / 2 = 13,375/2 = 6,6875

Определим дисперсию и среднеквадратичную ошибку коэффициентов регрессии:

(15)

(16)

Находим значение доверительного интервала для коэффициентов регрессии:

?b_i = ±t * S_bi, (17)

где t — значение коэффициента Стьюдента, выбранного в зависимости от числа степеней свободы.

Определим степень свободы:

f = N * (j — 1), (18)

f = 4*(2−1) = 4;

Выбранный уровень значимости: 0,95.

Сравним полученные коэффициента с доверительным интервалом:

b₀ = 4028,25 — значимый;

b₁ = 1,5 — незначимый;

b₂ = 2,75 — значимый;

b₁₂ = -3 — значимый.

Определим адекватность модели по критерию Фишера:

F_р < F_т — модель адекватна;

F_р = S²_ад / S²_y = S²_ад / 6,6875, (19)

где S²_ад — это дисперсия адекватности (остаточная дисперсия);

S²_y — усредненная дисперсия эксперимента с учетом повторных опытов

(20)

где y_u — рассчитанное по полученному уравнению значение выхода;

y_u — усредненное значение выхода параметра оптимизации, полученное при реализации повторных опытов для каждой строки;

k — число варьируемых факторов

F_т рассчитывается в зависимости от степени свободы:

f₁ = N-k-1 = 4−2-1=1;

f₂ = N*(j-1) = 4* (2−1) = 4;

Для определения S²_ад вычисляем:

y₁ = 4028,5 + 2,75*(-1) -3*(+1) = 4022,75;

y₂ = 4028,5 +2,75*(-1) -3*(-1) = 4028,75;

y₃ = 4028,5 +2,75*(+1) -3*(-1) = 4034,25;

y₄ = 4028,5 +2,75*(+1) -3*(+1) = 4028,25;

F_р = 9,25/6,6875 = 1,38;

F_т = 7,71

Так как 1,38<7,71, то есть F_р< F_т — модель является адекватной.