Световод: уравнение, типы волн в световодах. 
Критические длины и частоты

Световод: уравнение, типы волн в световодах. Критические длины и частоты

1. Уравнение передачи по световоду

Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис. 1

b

n₂ n₁ a

Рис. 1

Для описания поведения электромагнитного поля в сердечнике (0

Для определения основных параметров световодов (критической частоты, волнового числа, скорости передачи и др.) воспользуемся основными уравнениями электродинамики — уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид:

(1)

Уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем эти уравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Z которой совместим с оптической осью световода:

(2)

Для решения инженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полей Е_z и H_z. Их можно получить следующим образом. Преобразуем первое из уравнений Максвелла (1) к виду

.

Тогда, используя соотношение, а также учитывая, что divH=0, получим

где — волновое число световода.

Поступая аналогично со вторым уравнением Максвелла (2), получим .

Отсюда следует, что продольные электромагнитные составляющие векторов E_z и H_z удовлетворяют уравнениям Где — оператор Лапласа.

Тогда для продольных составляющих E_z и H_z в цилиндричееской системе координат получим дифференциальные уравнения второго порядка:

(3)

Допустим, что напряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется по экспоненциальному закону, т. е., где, А — любая составляющая векторов Е или Н; jкоэффициент распространения. Тогда первая и вторая производные определятся

.

Для составляющей Е_z

.

Подставляя полученное значениe в уравнения (3), получим Введем обозначение — поперечное волновое число световода. Тогда для сердечника световода имеем

(4)

где (без учета затухания) — поперечное волновое число сердечника; k₁ — волновое число сердечника с коэффициентом преломления n₁, .

Решение уравнений (4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода — функции Бесселя, имеющие конечные значения при r=0. Поэтому можно написать

(5)

где А_n и В_n — постоянные интегрирования.

Воспользовавшись уравнениями (2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентами поля. В частности, для составляющей Е_r имеем Возьмем производную от второго выражения по

Учитывая, что, а, то

Тогда

или

Подставим данное выражение в уравнение для Е_r

или

.

Окончательно получим .

Аналогично можно установить связь между продольными и другими поперечными компонентами поля Воспользовавшись уравнениями (5) возьмем соответствующие производные Тогда выражения для поперечных составляющих электрического и магнитного полей в сердечнике световода, полагая, что, имеют вид (множитель не пишем):

(6)

Для оболочки имеем аналогичную систему уравнений:

где (без учета затухания) — поперечное волновое число оболочки световода; k₂ — волновое число оболочки с коэффициентом преломления n₂, .

Для решения данных уравнений, исходя из условия, что при поле должно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции третьего рода — функции Ганкеля:

где С_n, D_n — постоянные интегрирования.

Тогда для поперечных составляющих поля в оболочке можно написать следующие выражения:

(7)

Постоянные интегрирования А_n, В_n, С_n, D_n могут быть определены на основании граничных условий. Используем условия равенства тангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердечник-оболочка (при r=а):

Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения, после соответствующих преобразований получим следующее трансцендентное уравнение:

(8)

Полученные уравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуру поля в сердечнике и оболочке волоконного световода. В общем случае уравнения имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны или модой.

световод уравнение интегрирование волна

2. Типы волн в световодах

В сетоводах могут существовать два типа волн: симметричные E_0m, H_0m несимметричные дипольные EH_nm, HE_nm. В индексе n — число изменений поля по диаметру; m — число изменений поля по периметру. Симметричные волны электрические Е_0m и магнитные H_0m имеют круговую симметрию (n=0).

Раздельное распространение по световоду несимметричных волн типа невозможно. В световоде они существуют только совместно, т. е. имеются продольные составляющие Е и Н. Эти волны называются смешанными, дипольными и обозначаются через HЕ_nm, если поле в поперечном сечении напоминает поле Н, или EН_nm, если поле в поперечном сечении ближе к волнам Е.

Из всей номенклатуры смешанных волн в оптических кабелях наибольшее применение получила волна типа НЕ₁₁ (или ЕН₁₀). На этой волне работают одномодовые световоды, имеющие наибольшую пропускную способность Представляет интерес сопоставить указанную классификацию электромагнитных волн с лучевой классификацией.

Как уже отмечалось, по волоконным световодам возможна передача двух видов лучей: меридиональных и косых. Меридиональные лучи расположены в плоскости, проходящей через ось волоконного световода. Косые лучи не пересекают ось световода.

Меридиональным лучам соответствуют симметричные электрические Е_0m и магнитныеH_0m волны, косым лучам — несимметричные гибридные EН_nm и HЕ_nm волны.

Если точеченый источник излучения расположен по оси световода, то имеются только меридиональные лучи и соответственно симметричные волны Е_0m, H_0m. Если же точечный источник расположен вне оси световода или имеется сложный источник, то появляются одновременно как меридиональные, так и косые лучи и свойственные им симметричные Е_0m, H_0m и несимметричные гибридные (EН_nm и HЕ_nm) волны.

Несимметричные волны типа E_nm и H_nm в волоконных световодах существовать не могут. Эти волны возбуждаются только в металлических волноводах.

Основное уравнение передачи по волоконному световоду для случая может быть значительно упрощено применительно к различным типам волн.

Для симметричных волн правая часть уравнения (8) равна нулю, тогда имеем два различных уравнения для электрической Е_0m и магнитной Н_0m волн:

для Е_0m

(9)

для Н_0m

Для смешанных дипольных волн можно получить следующие приближенные уравнения:

для НЕ_nm

(10)

для ЕН_nm

Для области часто, далеко отстоящих от критической частоты, можно воспользоваться более простыми выражениями:

для НE_nm

для ЕH_nm

Данные выражения позволяют определять структуру поля, параметры волн и характеристики волоконного световода при различных типах волн и частотах.

Каждый тип волны (мода) имеют свою критическую частоту и длину волны. Наличие критической частоты в волоконных световодах объясняется тем, что при очень высоких частотах почти вся энергия концентрируется внутри сердечника световода, а с уменьшением частоты происходит перераспределение поля и энергия переходит в окружающее пространство. При определенной частоте f_o — критической, или частоте отсечки, поле больше не распространяется вдоль световода и вся энергия рассиевается в окружающим пространстве.

Ранее были приведены следующие соотношения:

где — коэффициент фазы в световоде;

k₁ и k₂ — волновое число соответственно сердечника и оболочки световода:

g₁ и g₂ — поперечное волновое число соответственно для сердечника и оболочки.

а — радиус сердечника волокна.

Учитывая, что получим .

Полагая, что r=a, произведем сложение левых и правых частей приведенных выражений Для определения критической частоты f_o надо принять g₂=0. При всех значениях g₂>0 поле концентрируется в сердечнике световода, а при g₂=0 оно выходит из сердечника и процесс распространения по световоду прекращается. По закону геометрической оптики условие g₂=0 соответствует углу полного внутреннего отражения, при котором отсутствует преломленная волна, а есть толь падающая и отраженная волны. Тогда при g₂=0 имеем

Подставив в эту формулу значение, получим, откуда критическая частота световода. (11)

Умножив числитель и знаменатель на параметр, а (радиус сердечника), получим значение критической частоты

(12)

и критической длины волны

(13)

где g₁a — корни бесселевых функций.

Так как световоды изготавливаются из немагнитных материалов (), то

.

Принципиально аналогичный результат можно получить лучевым методом непосредственно из законов геометрической оптики путем сопоставления падающей, отраженной и преломленной волн на границе сердечник-оболочка световода.

Анализируя полученные соотношения, можно сказать, что чем толще сердечник световода и чем больше отличаются, тем больше критическая длина волны и соответственно ниже критическая частота волоконного световода. Из формул видно также, что при равенстве оптических характеристик, в первую очередь диэлектрической проницаемости сердечника и оболочки, т. е. при, критическая длина волны, а критическая частота и передача по такому световоду невозможна. Это имеет свое логическое обоснование: как уже сказано, волоконный световод работает на принципе многократного отражения от границы оптических несоответствий сердечника и оболочки, и эта граница является направляющей средой распространения электромагнитной энергии. При световод перестает действовать как направляющая система передачи.

Для определения критических частот различных типов волн рассмотрим корни ранее полученного выражения бесселевых функций J_0m(g₁a) для симметричных и J_nm(g₁a) для несимметричных волн. Эти равенства дают бесконечное число корней, значения которых приведены в табл. 1.

Таблица 1

Рассмотрим физический смысл приведенных в табл. 1 корней бесселевых функций g₁a. Поскольку при отсечке g₂=0, т. е., то из выражения имеем Последнее выражение обратно пропорционально, т. е. прямо пропорционально критической частоте f₀. Кроме того, оно включает в себя исходные параметры волокна: а, n₁, n₂. Данное выражение носит название нормированной частоты и в этом виде часто используется в световодной технике. Таким образом, нормированная частота

где — длина волны в вакууме.

При такой трактовке табл. 1 содержит нормированные частоты для волн, тип которых указан в правой колонке таблицы, а индекс nm составлен из чисел левого столбца и верхней строки соответствующей клетке, в которой находится данная величина. Каждой соответствует критическая частота f₀.

При < имеем f0, т. е. частота меньше критической и волна по сердечнику волокна не распространяется, другими словами не существует. Область существования волны, имеющей нормированную частоту отсечки > составляет f>f₀.

Из табл. 1 видно, что для несимметричной волны НЕ₁₁ значение =0; следовательно, эта волна не имеет критической частоты и может распространяться при любой частоте и диаметре сердечника. Все другие волны не распространяются на частотах ниже критической. Табл.1 можно преобразовать и привести к следующему виду (табл. 2)

Таблица 2

Из табл. 2 следует, что с увеличением частоты появляются новые типы волн. Так, начиная с =2,405 появляются волны H₀₁, E₀₁, HE₂₁, при =3,832 возникают дополнительные волны HE₁₂, EH₁₁, HE₃₁ и т. д.

Итак, интервал значений =g₁a, при которых в световоде распространяется лишь один тип волн НЕ₁₁, находится в пределах 0<<2,405, поэтому при выборе частоты передачи или толщины сердечника одномодового световода исходят из этого условия:

. (14)

Одномодовый режим практически достигается при применении очень тонких волокон, равных по диаметру длине волны. Кроме того, надо стремиться к уменьшению разницы между показателями преломления сердечника и оболочки .

Диаметр сердечника волоконного световода для одномодовой передачи может быть определен из следующей формулы:

. (15)

Пример: для световода из стекловолокна с показателем преломления сердечника 1,48 и показателем преломления оболочки 1,447 при волне Е₀₁ длиной 1,55 мкм для одноволновой передачи получим

мкм