Система управления положением перевёрнутого маятника

Федеральное агентство по образованию Государственное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования Рязанский государственный радиотехнический университет Кафедра АИТУ.

Курсовая работа по дисциплине: " Теория автоматического управления" .

Тема работы: «Система управления положением перевёрнутого маятника».

Рязань 2008.

Описание объекта управления.

Объектом управления является перевернутый маятник, прикрепленный с помощью шарнира к тележке, способной перемещаться вдоль горизонтальных направляющих (рис. 1). данный объект управляется двигателем, который в определенный момент времени прикладывает к тележке силу, являющуюся входной переменной. Цель управления заключается в поддержании маятника в вертикальном положении, что достигается путем горизонтального перемещения (переменная s) тележки. Сила, приложенная к тележке, обозначается u, М — масса тележки, m — масса маятника (материальной точки), l — длина маятника. Трение оси маятника не учитывается.

Рис. 1 — Перевернутый маятник.

Исходные данные.

1. Уравнение, связывающее угловое отклонение маятника и перемещение оси шарнира S (t), имеет вид.

где J — момент инерции относительно центра тяжести; m — масса маятника, l — расстояние между осью и центром тяжести. Точками обозначена операция дифференцирования по времени.

2. Двигатель и привод описываются уравнением.

где U — напряжение, подводимое к двигателю; MT — масса тележки, H — коэффициент вязкого трения, CU — коэффициент пропорциональности.

3. Допустимая величина перерегулирования у, %.

4. Допустимое время регулирования tp, с.

5. Система управления должна обеспечить устойчивость не только по углу и, но и по перемещению S. Если система не будет устойчива по отношению к S, то последовательность случайных возмущений вызовет случайное блуждание положения тележки, в результате чего рано или поздно тележка, приблизившись к какомунибудь концу, сойдет с направляющих.

6. Численные значения данных приведены в таблице ниже:

Линеаризация уравнения маятника.

Большинство физических систем описывается нелинейными уравнениями. Однако только в первом приближении (при малых отклонениях от рабочей точки) эти уравнения можно заменить линейными уравнениями, что позволяет привлечь математический аппарат анализа и синтеза линейных систем. Например, широко распространенный метод описания свойств этих систем основан на использовании частотных характеристик и корневых годографов линейных стационарных систем. Методы современной теории управления, используемые в настоящей курсовой работе, такие как метод желаемого расположения полюсов замкнутой системы и нахождение вектора коэффициентов обратной связи по состоянию, являются методами синтеза линейных систем с постоянными параметрами.

Линеаризация — это процесс преобразования нелинейной математической модели элемента в линейную, эквивалентную ей при некоторых условиях.

Линеаризацию необходимо проводить потому, что в данной курсовой работе используются методы анализа и синтеза линейных систем, и, следовательно, модель объекта управления должна быть задана линейным дифференциальным уравнением.

В общем виде нелинейный динамический элемент описывается дифференциальным уравнением вида:

(1.1).

где F — нелинейная функция.

Если и, то уравнение (1.1) примет вид:

(1.2).

Уравнение (1.2) называют уравнением статики. Оно описывает состояние равновесия нелинейного элемента.

Уравнение, описывающее движение маятника, имеет следующий вид:

или.

(1.3).

Найдем рабочую точку элемента. Для этого подставим и в уравнение (1.3). Получим уравнение статики:

(1.4).

Очевидно, что положением равновесия перевернутого маятника будет положение .

Отклонения от состояния равновесия можно записать в виде Подставим эти выражения в формулу (1.3) и, учтя, что получим уравнение в отклонениях вида:

(1.5).

Функция F — однозначная и дифференцируемая по всем своим аргументам, следовательно, мы можем разложить ее в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки:

где — нелинейная часть разложения в ряд Тейлора. Если малы, то слагаемым можно пренебречь. Получим:

Обозначим. Тогда линеаризованное уравнение маятника запишется в виде:

или (1.6).

Формула (1.6) получена на основе общего подхода к линеаризации систем. Проверить полученный результат можно также из формулы (1.3), если учесть, что при.

Определение передаточной функции объекта управления.

Объект управления состоит из тележки с прикрепленным к ней с помощью шарнира маятником. Тележка перемещается под действием подводимого к двигателю напряжения u (t), и в зависимости от передвижения тележки s (t) меняется угловое положение маятника и (t).

Найдем передаточную функцию W (p) данного объекта управления, считая входом напряжения u (t), а выходом — аппроксимированное угловое положение точки маятника, находящейся на расстоянии J/ml от оси.

Для этого подвергнем преобразованию Лапласа уравнение, описывающее двигатель и привод, и линеаризованное уравнение маятника (1.6). Будем иметь:

(2.1).

Из первого уравнения выразим s (p):

и подставим во второе уравнение, тогда получим:

откуда:

Так как, то:

После несложных преобразований получим:

(2.2).

Передаточная функция объекта управления определяется как:

(2.3).

После подстановки данных получаем:

С помощью функции roots системы MATLAB найдем корни знаменателя передаточной функции объекта управления:

>> W=[1 1.5 -11.65 -17.475 0].

W =.

1.0000 1.5000 -11.6500 -17.4750 0.

>> roots (W).

ans =.

3.4132.

— 3.4132.

— 1.5000.

Тогда передаточная функция W (p) имеет вид.

(2.4).

Один из полюсов передаточной функции является правым, следовательно, объект управления является неустойчивым.

Найдем передаточную функцию объекта управления W1(p), связывающую входное напряжение u (t) и угловое положение маятника и (t), а также передаточные функции привода WUS (p) и перевернутого маятника WSи (p). Из формулы (2.1) найдем:

(2.5).

(2.6).

Передаточная функция W1(p) находится как передаточная функция последовательного соединения звеньев, описываемых уравнениями (2.5), (2.6):

(2.7).

Подставив численные значения, получаем:

(2.8).

Определение математической модели объекта в переменных состояния.

Объект управления описывается двумя уравнениями второго порядка (2.1), поэтому необходимо использовать четыре переменных состояния. В качестве переменных состояния удобно принять:

Преобразовав эти выражения по Лапласу, получим.

(3.1).

Преобразуем формулы (2.1), разделив второе уравнение на p и учтя соотношения (3.1). Получим:

Переходя к оригиналам, имеем:

Здесь и далее для удобства не показана зависимость переменных от времени. Заметим, что, тогда.

(3.2).

(3.3).

Объединяя все уравнения в одно векторно-матричное уравнение, получим математическую модель объекта управления, записанную в стандартной форме:

(3.4).

где — вектор состояния,.

— системная матрица,.

— матрица входа,.

— матрица выхода.

По имеющимся уравнениям объекта управления можно построить его структурную схему (рис.2).

Рис. 2.

Определение матриц управляемости и наблюдаемости объекта управления.

Для того, чтобы можно было создать систему управления перевернутым маятником, описываемым уравнениями (3.4), объект управления должен быть полностью управляем. Линейная стационарна система (3.4) называется управляемой, если можно найти входной сигнал u (t), который переводил бы систему из начального состояния x (0) в начало координат пространства состояний x (t0)=0 за конечное время t0. Это обеспечивается, если матрица управляемости имеет себе обратную.

Для поиска матрицы управляемости воспользуемся функцией ctrb (A, B) системы MATLAB.

>> A=[0 0 11.65 -1.19;0 0 0 1;1 0 0 0;0 0 0 -1.5].

A =.

0 0 11.6500 -1.1900.

0 0 0 1.0000.

1.0000 0 0 0.

0 0 0 -1.5000.

>> B=[0;0;0;50].

B =.

>> U=ctrb (A, B).

U =.

0 -59.5000 89.2500 -827.0500.

0 50.0000 -75.0000 112.5000.

0 0 -59.5000 89.2500.

50.0000 -75.0000 112.5000 -168.7500.

Матрица U имеет себе обратную, если ее определитель det (U) отличен от нуля. Вычислим определитель этой матрицы:

>> det (U).

ans =.

— 1.0311e+008.

Таким образом, определитель отличен от нуля, следовательно, система является полностью управляемой.

Другим важным свойством любого объекта управления является его наблюдаемость.

Линейная стационарная система (3.4) является наблюдаемой, если по значениям выходной функции y (t),, где t1 — конечное время, можно определить начальное состояние x (0). Можно показать, что система является наблюдаемой, если матрица имеет себе обратную.

Вычисляем матрицу Q и ее определитель средствами системы MATLAB. Для этого необходимо использовать функцию obsv (A, C):

>> A=[0 0 11.65 -1.19;0 0 0 1;1 0 0 0;0 0 0 -1.5].

A =.

0 0 11.6500 -1.1900.

0 0 0 1.0000.

1.0000 0 0 0.

0 0 0 -1.5000.

>> C=[1 1.19 0 0].

C =.

1.0000 1.1900 0 0.

>> Q=obsv (A, C).

Q =.

1.0000 1.1900 0 0.

0 0 11.6500 0.

11.6500 0 0 0.

0 0 135.7225 -13.8635.

>> det (Q).

ans =.

— 2.2391e+003.

Так как определитель Q отличен от нуля, то перевернутый маятник является полностью наблюдаемой системой.

Построение корневого годографа системы с пропорциональным управлением.

Корневой годограф представляет собой траекторию корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра системы. Обычно в качестве такого параметра выступает коэффициент усиления разомкнутой системы (рис.3).

Рис. 3.

Для одноконтурной системы, представленной на рисунке, характеристическое уравнение определяется как.

D (s)=1+KW (s)=0,.

где K — варьируемый параметр.

Корневой годограф системы можно построить с помощью инструмента sisotool пакета MATLAB.

Для построения корневого годографа в sisotool необходимо задать передаточную функцию объекта управления W (p) (формула (2.4)) в поле plant и передаточную функцию обратной связи Wос=k в поле compensator.

Результат построения годографа приведен на рис. 4.

Рис. 4 — Корневой годограф системы с пропорциональным управлением Проведем аналитическое построение корневого годографа.

Передаточная функция объекта управления имеет вид:

.

где — характеристический полином замкнутой системы.

Число полюсов n=4, число нулей m=0, следовательно, число ветвей корневого годографа, уходящих в бесконечность, n-m=4. Асимптоты ветвей, уходящих в бесконечность, имеют одну точку пересечения с вещественной отрицательной полуосью с абсциссой, которая находится по следующей формуле:

.

Асимптоты проходят под углами, где .

Ветви годографа совпадают с вещественной осью на отрезках, слева от которых находится нечетное число полюсов (т.е. отрезки [0;+б1] и [-б1;-б], где б1=±3.41, б=-1.5.

Рис. 5.

Точки «отрыва» (x) ветвей годографа, уходящих в, определяются по следующей формуле:

. Пусть.

Тогда x=2.723.

Комплексные части годографа попарно сопряжены и ветви симметричны относительно вещественной оси.

Таким образом, корневой годограф имеет вид, представленный на рис. 5.

Анализ корневого годографа позволяет сделать вывод о том, что система, включающая объект управления с пропорциональным управлением, является неустойчивой при любом значении коэффициента k.

Выбор желаемой передаточной функции системы управления.

Задача слежения, решаемая с помощью аналитического синтеза, предъявляет к желаемой системе следующие требования:

1) к точности воспроизведения задающего воздействия (коэффициенты ошибок ci);

2) к качеству переходного процесса (перерегулирование у% и время регулирования tр при 2% допустимой ошибке).

В соответствии с этими требованиями должны быть выбраны нули и полюса желаемой системы.

В качестве желаемой выберем передаточную функцию двухполюсной системы:

(6.1).

В динамическом отношении двухполюсная система эквивалентна колебательному звену. Поэтому для нее будут справедливы следующие формулы:

(6.2).

При заданных перерегулировании у%=30% и времени регулирования tр=0.65с, можно найти коэффициенты.

о=0.36, щ0=12.82 с-1, c0=0, c1=0.056.

Тогда передаточная функция желаемой системы примет вид:

(6.3).

С помощью функций MATLAB вычислим характеристику звена с передаточной функцией Фж (p), обеспечивающей желаемое расположение полюсов проектируемой системы, и определим полученные значения у% и tр при 2% допустимой ошибке.

>> Fg=tf (164,[1 9 164]).

Transfer function:

———————;

s² + 9 s + 164.

>> step (Fg).

Рис. 6 — Переходная характеристика желаемой системы.

Определение передаточной функции главной обратной связи.

Найдем передаточную функцию главной обратной связи, обеспечивающую желаемое расположение полюсов проектируемой системы, основываясь на моделях типа «вход-выход», то есть при использовании передаточных функций применительно к системам с одним выходом.

Структурная схема проектируемой системы имеет вид, представленный на рис. 7.1.

Рис. 7.

где W1(p) — передаточная функция объекта управления, W2(p) — передаточная функция прямой связи, Wв (p) — передаточная функция обратной связи.

Так как задающее воздействие V (p)=0, то стоит задача определения только передаточной функции Wв (p). Алгоритм аналитического синтеза заключается в следующем. Исходная информация включает в себя:

— модель объекта, определяемую передаточной функцией.

W1(p)=к1(p)/D1(р);

— характеристический многочлен наблюдателя Д0(p);

— вид и параметры желаемой передаточной функции.

Предполагается, что исходные данные удовлетворяют условиям Шаг 1. Разложить k1(p) и kж (p) на множители:

где k1+(p) — многочлен с коэффициентами при старшей степени, равным единице, все нули которого являются правыми. Заметим, что те нули многочлена k1+(p), которые имеют достаточно малую отрицательную вещественную часть, то есть нули близко расположенные к мнимой оси, целесообразно включать в многочлен k1-(p), чтобы избежать излишней колебательности процессов. Если этого не сделать, то в результате неизбежных изменений параметров объекта упомянутые нули могут оказаться в правой половине комплексной плоскости, что повлечет за собой неустойчивость системы.

Шаг 2. Решить уравнение относительно и и выбрать решение, удовлетворяющее равенствам:

Шаг 3. Искомое управление имеет вид Заметим, что, а следовательно, имеет при старшей степени коэффициент, равный единице.

Передаточная функция объекта управления имеет вид:

deg k1=0, deg D1=4.

Желаемая передаточная функция имеет вид:

deg kж=0, deg Дж=2.

Условие физической осуществимости закона управления выглядит следующим образом:

Подставим соответствующие значения:

2 — 0? 4 — 0.

Условие физической осуществимости не выполняется, поэтому за передаточную функцию объекта управления примем передаточную функцию:

(7.1).

Тогда deg k1=1, deg D1=3 и условие осуществимости будет выполняться:

.

Пусть н=1, то есть в систему вводится один интегратор.

1) Разложим числители передаточных функций и на сомножители:

Пусть, и.

Выберем порядок характеристического многочлена наблюдателя системы из условия:

D0(p)=.

2) Решаем уравнение синтеза:

.

Решения этого уравнения должны удовлетворять условиям:

Запишем искомые числитель и знаменатель в виде многочленов с неопределенными коэффициентами:

Уравнение синтеза примет вид:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левых и правых частях уравнения, получим систему уравнений:

Решая полученную систему уравнений, имеем:

Таким образом, получим следующие многочлены:

Многочлен Д2(p) можно найти по формуле:

3) Передаточная функция главной обратной связи будет иметь вид:

(7.2).

Рассмотрим устойчивость замкнутой системы относительно.

Структурная схема системы с обратной связью по углу имеет вид:

Рис. 8.

В этой схеме.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Для определения устойчивости замкнутой системы по построим переходную характеристику этой системы, зная её передаточную функцию. Для этого в m-файле задаем передаточную функцию замкнутой системы и вызываем функцию Step (W), осуществляющую построение переходной характеристики.

>> W=tf ([-60 -84 999 0 0],[1 1418 38 353 776 380 7 004 846 51 660 000]).

Transfer function:

— 60 s³ — 84 999 s².

——————————————————————————-;

s⁵ + 1418 s⁴ + 38 353 s³ + 776 380 s² + 7.005e006 s.

+ 5.166e007.

Рис. 9 — Переходная характеристика замкнутой системы по.

Делаем вывод: замкнутая система устойчива по .

Рассмотрим устойчивость по перемещению S.

Структурная схема имеет вид:

Рис. 10.

Аналогично строим переходную характеристику:

>> W=tf ([50 70 825 -582.5 -825 110],[1 1418 38 353 776 380 7 004 846 51 660 000]).

Transfer function:

50 s³ + 70 825 s² — 582.5 s — 825 110.

——————————————————————————-;

s⁵ + 1418 s⁴ + 38 353 s³ + 776 380 s² + 7.005e006 s.

+ 5.166e007.

>> step (W).

Рис. 10 — Переходная характеристика замкнутой системы по S.

Делаем вывод: замкнутая система устойчива по S.

Реализация закона управления.

Реализуем найденный в п. 7 закон управления, считая измеримыми.

Структурная схема имеет вид:

Рис. 11.

Реализацию закона управления можно упростить, если ввести две обратные связи: первую — по углу, описываемую уравнением:

и вторую — по перемещению S, описываемую уравнением:

.

где d — взятый со знаком «+» полюс передаточной функции управляющего устройства по углу .

d=1416.5.

Тогда структурная схема примет вид, представленный на рис. 12.

Рис. 12.

Тогда.

. (8.1).

Преобразуем записанные выше формулы:

.

Исходя из этого, можно записать передаточные функции:

. (8.2).

Найдем :

Обозначим для простоты: k=0.8, f=-9.7, тогда.

.

Используем формулу (8.1):

Нетрудно видеть, что:

Решим эту систему:

Теперь можно получить, используя формулы (8.2):

Структурная схема примет вид, представленный на рис. 13.

Рис. 13.

Решение задачи регулирования. Определение параметров обратной связи по состоянию.

Векторно-матричные формы представления математических моделей позволяют использовать специфический вид обратной связи, так называемой обратной связи по состоянию.

Математическая модель объекта управления задается уравнениями переменных состояния:

(9.1).

Критерий качества задается с помощью характеристического многочлена желаемой системы. Цель управления заключается в стабилизации управляемой величины на нулевом уровне. При этом задающее воздействие v (t)=0.

Допустимый закон управления можно записать в следующем виде:

(9.2).

— векторный коэффициент обратной связи по состоянию.

Для синтезируемой в данном разделе системы управления требуется построить кривые переходных процессов y (t), s (t) при следующих начальных условиях:

Синтез обратной связи по состоянию проведем с помощью системы MATLAB.

Введем в командном окне MATLAB матрицы A, B, C и вектор корней желаемого полинома pp:

, ,.

Поскольку объект управления имеет четвертый порядок, необходимо ввести два дополнительных полюса, но так, чтобы они существенно не повлияли на характер переходного процесса, определяемого полиномом. Выберем два дополнительных полюса из условия:

Введем в командном окне MATLAB вектор корней желаемого полинома:

>> pp=[-4.5+12i -4.5−12i -45 -45].

Для вычисления вектора К используем формулу Аккермана:

(9.3).

где — матричный полином, образованный путем использования коэффициентов желаемого характеристического уравнения:

Выражение (9.3) для матрицы К может быть вычислено в системе MATLAB с помощью следующей функции:

K=acker (A, B, pp).

В результате имеем:

K = [-530.4335 -570.9979 -574.1319 1.9500].

Моделирование работы системы проведем в пакете SIMULINK системы MATLAB. Соберем схему моделирования, представленную на рис. 14.

Рис. 14 — Схема моделирования Модель объекта управления представлена блоком State-Space. Для того, чтобы на выходе данного блока формировался вектор X, необходимо в качестве матрицы С использовать единичную матрицу.

которая в MATLAB образуется с помощью оператора C=eye (4). Вектор D вводится в блок State-Space в следующем виде: В блоке Step необходимо установить значение параметра Final value =0. Устанавливая в блоке State-Space вектор начального состояния в виде:

наблюдаем результаты моделирования в блоках Scope, Scope1, Scope2.

Рис. 15.

1) Для первого случая () результаты моделирования представлены на рис. 15 (а, б), 16.

Рис. 16.

2)Для второго случая () результаты моделирования представлены на рис. 17 (а, б, в).

Рис. 17.

Из результатов моделирования видно, что значения выходной переменной y (t) и переменных состояния x1 и x2 по завершении переходного процесса становятся равными нулю, что свидетельствует о решении задачи регулирования.

Расчет системы с учетом инерционности датчика скорости.

Определим параметры обратной связи по состоянию для случая, когда датчик скорости тележки обладает инерционностью. Упрощенная операторная модель, позволяющая определить оценку скорости тележки представлена на рис. 18.

U1(p)U2(p)U U3(p).

Рис. 18.

где.

Как следует из рис.10:

Таким образом, связь между переменными и определяется передаточной функцией апериодического звена 1-го порядка с постоянной времени Т. По операторной структурной схеме определим дифференциальное уравнение, связывающее переменные и :

Окончательно получим:

(10.1).

По заданию на проектирование величину d необходимо взять из п. 8 настоящей работы. В данном случае d=1416.5. Составим математическую модель объекта управления. Введем новую переменную состояния Тогда из выражения (10.1) имеем:

Добавим полученное уравнение к математической модели (3.4), полученной ранее. Тогда будем иметь:

(10.2).

маятник годограф датчик скорость Уравнения (10.2) можно представить в векторно-матричной форме:

Вектор коэффициентов обратной связи по состоянию найдем аналогично предыдущему пункту с помощью функций MATLAB.

Вектор корней желаемого полинома зададим в следующем виде:

pp=[-4.5+12i -4.5−12i -45 -45 -45].

С помощью функции acker найдем коэффициенты обратной связи по состоянию:

k=acker (A, B, pp).

k =-17.2405 -18.1397 -22.4600 -25.4800 25.5537.

Схема моделирования для определения переходных процессов y (t) и s (t) при различных начальных условиях представлена на рис. 19.

Рис. 19 — Схема моделирования.

Модель объекта управления представлена блоком State-Space. Для того, чтобы на выходе данного блока формировался вектор X, необходимо в качестве матрицы С использовать единичную матрицу.

которая в MATLAB образуется с помощью оператора c Вектор D вводится в блок State-Space в следующем виде: В блоке Step необходимо установить значение параметра Final value =0. Устанавливая в блоке State-Space вектор начального состояния в виде:

наблюдаем результаты моделирования в блоках Scope, Scope1, Scope2.

1) Для первого случая () результаты моделирования представлены на рис. 21(а, б, в).

Рис. 20.

2) Для второго случая () результаты моделирования представлены на рис. 22(а, б, в).

Рис. 21.

Из результатов моделирования видно, что значения выходной переменной y (t) и переменных состояния x1 и x2 по завершении переходного процесса становятся равными нулю, что свидетельствует о решении задачи регулирования c учетом инерционности датчика скорости.

Вывод: Так как используемый датчик скорости обладает достаточно малой инерционностью (Т=1/d = 1/1416.5 = 0.0007), он не оказывает заметного влияния на свойства спроектированной системы.

Построение корневого годографа спроектированной системы.

Построим корневой годограф спроектированной системы с использованием средства SISOTOOL (рис. 22). В блок С вводим передаточную функцию обратной связи (7.2). В блок G вводим передаточную функцию объекта управления (7.1).

Рис. 22.

Рис. 23.

Заключение.

В настоящей курсовой работе была спроектирована система управления положением перевернутого маятника. Задача управления в такой системе заключается в стабилизации углового положения маятника на нулевом уровне. Данная цель достигается с помощью определенным образом управляемого электрического привода. Синтез системы управления произведен на основе аналитического метода, а также с использованием метода пространства состояний. Результаты моделирования подтвердили правильность теоретических расчетов. Экспериментальные исследования системы проведены моделированием в пакете SIMULINK системы MATLAB.

Библиографический список.

1. Бобиков А. И., Карташева Л. П. Аналитические методы синтеза систем управления. Уч. пособие. Рязань: РГРТА, 1993.

2. Бобиков А. И. Использование пакета Simulink/MATLAB для исследования систем управления (Построение блок-схем): Уч. пособие. Рязань: РГРТА, 2003. 64 с.

3. Бобиков А. И., Никитин А. М. Проектирование линейных систем управления с SISO DESING TOOL/MATLAB: Учеб. пособие. Рязань: РГРТА, 2004. 88 с.

4. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 632 с.

5. Дебни Дж., Харман Т. Л. Simukink 4. Секреты мастерства. Пер. с англ. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. 403 с.

6. Бобиков А. И. Теория автоматического управления. Методические указания к курсовой работе. Рязань: РГРТА, 1994. 44 с.