Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Π°, ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π°
![Π Π΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ: Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Π°, ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π°](https://gugn.ru/work/1345491/cover.png)
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ n-ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Fn (x1, …, Ρ N, t), ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ FiN) (Ρ 1, …, xN, t), Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π±ΡΠ» Π½Π°ΠΌΠΈ Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ «Π½Π°ΡΠΈΠ»ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ», ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (7), ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Fn Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (7… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Π°, ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π° (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π°
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Π°, ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌΡ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Ρ, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΈΠΌ. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ (ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠΉ) Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ, Π²ΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ f (r, v, t) Π°Π΄Π΄ΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π§Π»Π΅Π½Ρ vi df/dxi ΠΈ wi df/dvi Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠΈ Π³Π°Π·Π°, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ Π²ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ° ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ». Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³Π°. ΠΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ , Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π΅ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π±Π΅ΡΡΡΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° r, Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ» ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΡ ΠΈ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ». ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Π° ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ», ΠΈ Π½Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΏΡΠ°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ , ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ». ΠΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΡΡ Π³Π°Π·ΠΎΠ².
Π ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΄Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ±Π΅Π³Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π³Π°Π·Π°
(— ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠΉ).
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ°: — ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΠΏΠ»ΠΎΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ, — ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ·ΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏ ΠΈ, ΡΡΠ°Π»ΠΎ Π±ΡΡΡ, ΠΎΡ Π΄Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄
Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ, Π Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ , ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΈ Π — Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΈ Ρ. Π΄. ΡΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΠΎΠ±Π΅Π³Π° ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡΡΡ Π²ΠΈΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΠΏΠ°, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡ Π² ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Π°Π·Π°.
Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΉΡΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ. ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°, ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π. Π. ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²ΡΠΌ, ΠΊ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ.
ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ· N ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ 2N Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ri, vi. Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ri, ΠΈ vi ΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ xi, Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ d3rid3vi — ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ dxi.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ F (N)(x1, …, xN, t) Π² Π-ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π±N-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π-ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ. ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
F{N)(Ρ 1, Ρ 2, …, xN, t) dx1dx2 … dxN
Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π² Π-ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ΅ dx1, dx2 … dxN, Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ F (N) Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ
F{N)(Ρ 1, Ρ 2, …, xN, t) dx1dx2 … dxN=1. (1)
ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ U (rik) = ΡΠΈ (rik). ΠΠ»Ρ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π», ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ, a =V/N ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΠ°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π½Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
(2)
Π³Π΄Π΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ
(3)
ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ wi, k = -Π΄ΠΈ (ri, k)/dri — ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ i-ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ k-ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ (Ρ, q) ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ F{N) (ri, vi, t) ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ½Ρ, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, F (N) (xi, t) ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ.
1. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ F (N) (Ρ 1, Ρ 2, …, xN, t) Π»ΠΈΡΡ «Π½Π°ΡΠΈΠ»ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ» Π±ΡΠ»Π° Π½Π°ΠΌΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π΅Π΅ Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ri, vi, Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π°Π½ΡΠ°ΠΌΠ±Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ — Π°Π½ΡΠ°ΠΌΠ±Π»Ρ ΠΠΈΠ±Π±ΡΠ°.
ΠΠ½Π°ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ t = 0 ΠΌΡ «ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΡΠΎΠ²Π»ΡΠ΅ΠΌ» Π°Π½ΡΠ°ΠΌΠ±Π»Ρ, Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ «Π²ΡΡΡΠΏΠ°Π΅ΠΌ» ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ F{N) {x1, …, xN, 0). Π Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈ «Π²ΡΡΡΠΏΠ°Π½Π½ΡΠ΅» ΡΠΎΡΠΊΠΈ «ΠΏΠ»ΡΠ²ΡΡ» ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΡΠΌ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2) Π²ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΡ, Π° Π½Π΅ΡΠ΅Ρ Π² ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ.
2. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΠΎ-ΠΎΠ±ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ F (N)(Ρ 1, …, xN, t). ΠΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π΅Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ F (N) (Ρ 1, …, xN, 0) ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ Π±ΡΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ F (N)(xi, t).
3. ΠΠ°ΠΊ ΠΈ Π²ΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΠΎ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ t Π½Π°t ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½Π°ΡΡΠ΄Ρ Ρ «ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ» Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ·Π΅ΠΌΠΏΠ»ΡΡΠΎΠ² Π°Π½ΡΠ°ΠΌΠ±Π»Ρ, ΡΡΠΎΠ»Ρ ΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈ «ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅» Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
4. Π ΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, Ρ. Π΅. Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ. Π€ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (2) ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄
ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°
.
Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ «ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΈΡΡ» Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½ΡΠ°ΠΌΠ±Π»Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅, Ρ. Π΅. «Π²ΡΡΡΠΏΠ°ΡΡ» Π²ΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΠΎΡΠΊΡ ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°. Π ΡΠΈΠ»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ ΠΏΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π°ΡΡΠ΄Ρ Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°, ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°, ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½Π° ΠΈ ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½Π°Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ — ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΡΠΎΠ»Ρ ΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄Π΅Π½ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Ρ ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π½ΡΠΆΠ΅Π½, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅, Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌ.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΡ n-ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
. (4)
ΠΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½Π΅Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ· (1) ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ:
(5)
ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ F (N) (Ρ 1,…, xN, t),
ΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΈ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡ (N) Π² ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ F (nN). ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΏ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (Π° Π½Π΅ Π°Π½ΡΠ°ΠΌΠ±Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ!) ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ (ri, ri + dri), (vi, vi + dvi).
ΠΡΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2) Π½Π° ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (3):
(6)
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΡΡΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΡΡΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅Π΄ΡΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΎΡ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ²Π΅ΡΠ³Π΅Π½ΡΠΈΠΈ: ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ — Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ»Ρ i, ΡΠ΅ΡΡΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅Π΄ΡΠΌΠΎΠ΅ —Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ»Ρ i. ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΠ°ΡΡΡΠ° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΏΠΎ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Fn ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π³Π°Π·Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΌ Π½Π° Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠΎΠ½ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π½ΠΊΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ΄Π° ΠΈ, Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Fn ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΎΡ Π΄ΠΈΠ²Π΅ΡΠ³Π΅Π½ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΏΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² (6) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ. ΠΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΏΠΎ k ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
. (7)
ΠΡΠ° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² Π·Π°ΡΡΠ±Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΠΠΠΠ-ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ (ΠΠΎΡΠ½, ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ², ΠΠΈΡΠΊΠ²ΡΠ΄, ΠΡΠΈΠ½, ΠΠ²ΠΎΠ½). ΠΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Ρ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π΅Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π΅Π΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π°. Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (7) Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ· ΠΏ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ. Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ «Π·Π°ΡΠ΅ΠΏΠ»ΡΡΡΠ΅ΠΉΡΡ», ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Fn ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Fn+1. Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΡ Π½Π΅Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΡΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΈΠ· n ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ» (n
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (7) Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Fn ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΡΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ (2). Π‘ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (7) ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ Π±Ρ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡ Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, Π½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ N — 1 ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅ n-ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ (4), ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ FN (x1, …, xN, t), ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π»Π° Π±Ρ Π½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ, ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π½Π΅Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌΡΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ Π½Π΅ Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ FN, Π° Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ F1 ΠΈ ΠΏΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ «ΠΎΠ±ΠΎΡΠ²Π°ΡΡ» ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Fn+1 ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π» ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Fl (ln), ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ «ΠΎΠ±ΡΡΠ²» ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (7) ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ, ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π» ΠΎΡ F1 (x1, t) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ F2 (Ρ 1, Ρ 2, t), ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ F1 (xl, t), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Π° ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π€ΠΎΠΊΠΊΠ΅ΡΠ°-ΠΠ»Π°Π½ΠΊΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡ ΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ F1 (xl, t) ΠΈ F2 (xl, x2, t) ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌ. Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ Π³Π°Π·ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ: ΡΡΠ΅Π΄Π½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡ n (r, t), ΡΡΠ΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ° ΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΈ (r, t), ΡΡΠ΅Π΄Π½ΡΡ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΡ 3/2T (r, t), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
(8)
(9)
(10)
Π Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ Π³Π°Π·ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡ Π²ΡΠ·ΠΊΠΈΡ ΡΠΈΠ», ΠΏΠΎΡΠΎΠΊ ΡΠ΅ΠΏΠ»Π° ΠΈ Ρ. Π΄., Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. Π ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅, Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΡΠΊΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠ².
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ n-ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Fn (x1, …, Ρ N, t), ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ FiN) (Ρ 1, …, xN, t), Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π±ΡΠ» Π½Π°ΠΌΠΈ Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ «Π½Π°ΡΠΈΠ»ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ», ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (7), ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Fn Ρ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (7) Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ , Π° Π½Π΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ΅ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°, ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΠΈΠ½Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ½Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ — Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π·Π°ΠΌΠΈ ΡΡΠ³ΡΠ±ΠΎ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ°. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ²Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ F1 ΠΈ F2, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ; ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΡ ΠΎΡΠ±ΡΠΎΡΠΈΠΌ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ (N — n)/V, Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ Π² (7) ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ n=1, 2:
(11)
(12)
Π³Π΄Π΅, (13)
(14)
ΠΠ΅Π·ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π°. Π€Π°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π°. ΠΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π½Π° ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ — Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Π°Π·Π° ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΠ»Π°Π±ΠΎΠΌ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ Π³Π°Π·Π° — Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡΡ ΡΠ»Π°Π±ΡΠΌ, ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ n-ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ, Ρ. Π΅. ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
. (15)
ΠΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ n-ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Gn (x1, …, Ρ ΠΏ, t), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅.
ΠΠ»Ρ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
F2(0) (Ρ 1, Ρ 2, t) = F1 (Ρ 1, t) F1 (Ρ 2, t), (16)
F2 (x1, x2, t) = F2(0) (x1, x2, t) + G2 (x1, x2, t). (17)
ΠΠ»Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ;
F3(0) (Ρ 1, Ρ 2, x3, t) = F1 (Ρ 1, t) F1 (Ρ 2, t) F1 (Ρ 3, t), (18)
(19)
ΠΈ Ρ. Π΄.
Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π³Π°Π·Π° ΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π°Π±ΠΎΡΡΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ. ΠΡΡΡΡ r0 — ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ» ΠΈ U0 — Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ. Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Π°Π·Π° ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ r0 ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ Ρ1/3, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°. Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠ»Π°Π±ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΡ ΠΌΠ°Π»Π° ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ ~ Π’. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²= U0/T.
ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π°Π±ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Gn (x1, …, Ρ ΠΏ, t) ΠΌΠ°Π»ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌ, Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π° Π² ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ , Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (7) Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅
(20)
Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π² ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ
(21)
(22)
(23)
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ (20) Π±Π΅Π·ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ, Π²ΡΠ±ΡΠ°Π² Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ r0, ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ, ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΌΡ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π±Π΅Π·ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ (20) Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ
(24)
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ (19) Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈ Fn (x1, …, Ρ N, t), ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Fn ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π±Π΅Π·ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ
(25)
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Π° (20) ΠΏΡΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
(26)
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Fn Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ,
Fn (0) = F1 (Ρ 1, t) F1 (Ρ 2, t)…F1(xn, t), ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ F1 (xi, t) N ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π―ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΠΌΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Π°Π·Π° () ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ Π½Π΅ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (26) Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ wik = 0. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Π°Π·Π° ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΠΏΡΠ΅Π½Π΅Π±ΡΠ΅Π³Π°ΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. Π‘ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°ΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Π°Π·Π°, Π° << 1 «Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌ» ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π΅ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌΠΎ Ρ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ. ΠΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΎΠ»ΡΡΠΌΠ°Π½Π° ΠΏΠΎ ΠΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠ²Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ F2 Π² «Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠΌ».
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ Π² = U0/T <<; 1,, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π³ΠΎΡΡΡΠ΅ΠΌΡ Π³Π°Π·Ρ ΡΠΎ ΡΠ»Π°Π±ΡΠΌ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΡΠΌ. Π€Π°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΏΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π³Π»ΡΠ±ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΌΡ U0~ (10−1 — 10−2) ΡΠ² U0/T<<1 Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°Ρ . Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π½Π΅Π·Π°ΡΠ΅ΠΏΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
(27)
Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Ρ 1,…, Ρ ΠΏ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ. ΠΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ F1(0)(r, v, t) ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
(28)
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊ
(29)
Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (28) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
(30)
Π³Π΄Π΅ Ρ (r, v, t) — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌΠ°Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠ· Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (30) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ F1(0)(r, v, t) ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ Π² ΠΌ-ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ»Π°Π±ΠΎ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Fn ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
(31)
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ΅ Π½Π°ΠΉΡΠΈ F1, ΡΠ΅ΡΠ°Ρ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — Π½Π°ΠΉΡΠΈ G2 ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, F2 ΠΈ Ρ. Π΄.
ΠΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (30) ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π³Π°Π·Π° Π² ΠΏΡΡΡΠΎΡΡ. ΠΡΡΡΡ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ t = 0 Π³Π°Π· Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠ²Π΅Π»Π»ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ Ρ <0. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅Π½ΠΊΠ° Ρ = 0 ΡΠ΄Π°Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈ Π³Π°Π· Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΡΡΡΡ.
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ f (r, v, 0) Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ
(32)
Π³Π΄Π΅ Ρ (Ρ ) — ΡΡΡΠΏΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (r, v, t) ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π° Ρ F1 (r, v, t) ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ f = F1n = F1/Ρ).
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ (30) ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (Ρ , v, 0) Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ
(33)
ΠΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t ΡΠ°Π²Π½Π°
(34)
ΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π³Π°Π·Π° u (x, t) ΡΠ°Π²Π½Π°
(35)
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏ (Ρ , t) ΠΈ ΠΈ (Ρ , t) Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ x/t, ΡΠΎ ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π³Π°Π·Π°, ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΠΌ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠ΅Π±Π΅, Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ Ρ .
Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π² Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ (27) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ, ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ, Π° Π½Π΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ «Π½Π°ΡΠΈΠ»ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ». ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (27). ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (32) ΠΏΡΠΈ t = t0 ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π·Π° Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Ρ Π½Π° x+vxt, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠ² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ, ΡΠΎ ΡΠΏΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ t0 ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ (32). Π ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π³Π°Π· ΡΠ°ΠΌΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΆΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΡΡΡΡ, ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ.
Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
1. ΠΠ°Π·Π°ΡΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ΅ΡΠΌΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΠΊΠ° / ΠΠ°Π·Π°ΡΠΎΠ² Π. Π., ΠΠ΅Π²ΠΎΡΠΊΡΠ½ Π. Π., ΠΠΈΠΊΠΎΠ»Π°Π΅Π² Π. Π. — Π., 1989 — 240 Ρ.
2. ΠΡΡΠ΅Π²ΠΈΡ Π. Π. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΠΊΠΈ / ΠΡΡΠ΅Π²ΠΈΡ Π. Π. — Π. 1940 — 245 Ρ.
3. ΠΠΈΡΡΠΈΡ, Π. Π., ΠΠΈΡΠ°Π΅Π²ΡΠΊΠΈΠΉ, Π. Π. Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΠΊΠ° / ΠΠΈΡΡΠΈΡ, Π. Π., ΠΠΈΡΠ°Π΅Π²ΡΠΊΠΈΠΉ, Π. Π. — Π.: Π€ΠΈΠ·ΠΌΠ°ΡΠ»ΠΈΡ, 2007. — 536 Ρ.