Составление схемы вала

Задание

Дано:

1. Ступенчатый вал с зубчатыми колесами І и ІІ передает постоянный момент.

2. Максимальное значение окружного усилия, действующего в зацеплении шестерни 1, F_t1=6 кН.

3. Поперечные размеры вала d, мм: d₁=40, d₂=50, d₃=60, d₄=50, d₅=45.

4. Длины участка вала l, мм: l₁=40, l₂=110, l₃=180, l₄=75, l₅=68.

5. Радиусы закруглений (галтелей): r₁/d₁=0,05, r₂/d₂=0,05, r₄/d₄=0,02, r₅/d₅=0,02.

6. Диаметры зубчатых колес, мм: d_w1=3,8· d₂=3,8·50=190, d_w2=5,4· 40=216.

7. Направление усилий в зацеплении зубчатых колес ц₁=45°, ц₂=60°.

8. Характеристики прочности материала: материал — углеродиста сталь, у_в=560 МПа, у_-1=260 МПа, ф_т=200 МПа.

9. Допускаемый угол закручивания [и]=2° на метр длины.

10. Угловая скорость вала щ=15 рад/с.

11. Эквивалентные моменты инерции для зубчатых колес: J_m1=60 кгм, J_m2=15 кгм.

12. Поверхность вала — гладкая полировка.

Требуется:

определить запас усталостной прочности для наиболее опасного из указанных в заданных сечений;

провести проверку вала на жесткость;

рассмотреть крутильные колебания вала и учесть их влияние на коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям.

Рис. 1. Исходные данные для расчета

1. Составление расчетной схемы вала

Для косозубых колес в зубчатом зацеплении возникает три составляющих усилия:

окружное F_t1=6,0 кН, F_t2=F_t1=6=5,28 кН, радиальное F_r1=0,4· F_t1= 2,40 кН, F_r2=0,4· F_t2=2,11 кН, осевое F_x1=0,25· F_t1= 1,5 кН, F_x2=0,25· F_t2= 1,32 кН.

Рис. 2. Расчетная схема вала

2. Приведение сил, действующих на зубчатые колеса, к геометрической оси вала

X₁=F_x1=1,75 кН;

Y₁=F_t1· cosц₁ — F_r1· sinц₁= 6· 0,707 — 2,4· 0,707 = 2,55 кН;

Z₁=F_r1· cosц₁+F_t1·sinц₁= 2,4· 0,707 + 6· 0,707 = 5,94 кН;

M_x1=F_t1· =6·=0,57 кНм;

M_y1=F_x1· ·cosц₁=1,5··0,707=0,10 кНм;

M_z1=F_x1· ·sinц₁=1,5··0,707=0,10 кНм;

X₂=F_x2=1,32 кН;

Y₂=F_t2· sinц₂ — F_r2· cosц₂ = 3,51 кН;

Z₂= F_t2· cosц₂+ F_r2· sinц₂ = 4,47 кН;

M_x2=F_t2· =6·=0,57 кНм;

M_y2=F_x2· ·sinц₂ = 0,12 кНм;

M_z2=F_x2· ·cosц₂ = 0,07 кНм.

3. Построение эпюр внутренних силовых факторов

Эпюра растяжение-сжатие Зубчатые колеса посажены на вал с гарантированным натягом и закрепляются гайкой от осевого смещения под действием осевой силы F_x.

Растягивающие усилия на валу принимаем равными F_x'= 5F_x.

Нормальная сила на участках вала будет:

N_I=F'_x2=6,6 кН (рассматриваем равновесие левой отсеченной части вала);

N_II=F'_x2+X₂=6,6+1,32=7,92 кН;

N_III=F'_x2+X₂ — F'_x2=6,6+1,32−6,6=1,32 кН;

N_VI=F'_x1 =7,5 кН (рассматриваем равновесие правой отсеченной части вала);

N_V=F'_x1+X₁ = 7,5+1,5 =9,0 кН;

N_IV=F'_x1+X₁ — F'_x1 = 7,5+1,5−7,5 =1,5 кН.

По полученным значением строим эпюру N.

Рис. 3. Эпюра N (кН).

Эпюра крутящих моментов (М_К).

Крутящий момент на валу постоянен и равен М_К=M_X1=M_X2=0,57 кНм.

Рис. 4. Эпюра М_К (кНм).

Прямой изгиб в плоскости xy

Рис. 5. Эпюра Q_y, M_z.

Для построения эпюр Q_y и M_z определяем сначала реакции опор А_y и B_y.

отсюда кН,

отсюда Проверяем:

Строим эпюры Q_y и M_z.

Прямой изгиб в плоскости xz.

Для построения эпюр Q_z и M_y определяем сначала реакции опор А_y и B_y.

отсюда

Рис. 6. Эпюра Q_z, M_y.

отсюда Проверяем:

Строим эпюры Q_y и M_z.

4. Определение в сечениях (1-1) … (6-6) продольной силы, результирующих изгибающих моментов и учет основных факторов, влияющих на предел выносливости материала при переменном изгибе.

Крутящий момент на валу постоянный М_к=0,57 кНм.

Сечение 1−1.

N=7,92 кН; M_z=-0,07 кНм; M_y=0,097 кНм;

кНм.

В сечении действуют концентраторы в виде шпоночного паза и посадки с натягом зубчатого колеса на вал. Кроме этого необходимо учесть масштабный фактор. Материал вала — углеродистая сталь, поверхность вала — гладкая полировка.

Эффективные коэффициенты концентрации составляют:

для концентратора в виде шпоночного паза k_у= 1,86 [1, рис. 13], масштабный коэффициент е_у=0,9 [1, рис. 9], k_у/е_у=2,07;

для концентратора в виде посадки с натягом k_у/е_у=3,0 [1, табл. 1].

Выбираем для дальнейших расчетов их двух отношений большее k_у/е_у=3,0.

Сечение 2−2.

N=7,92 кН; M_z= -0,02 кНм; M_y=0,153 кНм;

кНм.

В сечении действует концентратор в виде галтели, k_у= 1+ж (k₀^у-1),

где k₀^у= 1,8 [1, рис. 10], ж= 0,8 [1, рис. 12]. Тогда k_у= 1+0,8 (1,8−1)=1,64.

Масштабный коэффициент е_у=0,87 [1, рис. 9],

эффективный коэффициент концентрации k_у/е_у= 1,64/0,87 =1,88;

Сечение 3−3.

N=1,5 кН; M_z= 0,09 кНм; M_y=0,44 кНм;

кНм.

В сечении действует концентратор в виде галтели, k_у= 1+ж (k₀^у-1),

где k₀^у= 1,8 [1, рис. 10], ж= 0,85 [1, рис. 12]. Тогда k_у= 1+0,85 (1,8−1)=1,68.

Масштабный коэффициент е_у=0,82 [1, рис. 9],

эффективный коэффициент концентрации k_у/е_у= 1,68/0,82 =2,05;

Сечение 4−4.

N=9,0 кН; M_z=-0,17 кНм; M_y=0,609 кНм;

кНм.

В сечении действует концентратор в виде галтели, k_у= 1+ж (k₀^у-1),

где k₀^у= 2,3 [1, рис. 10], ж= 0,8 [1, рис. 12]. Тогда k_у= 1+0,8 (2,3−1)=2,04.

Масштабный коэффициент е_у=0,82 [1, рис. 9],

эффективный коэффициент концентрации k_у/е_у= 2,04/0,82 =2,49;

Сечение 5−5.

N=9,0 кН; M_z=-0,20 кНм; M_y=0,627 кНм;

кНм.

В сечении действуют концентраторы в виде шпоночного паза и посадки с натягом зубчатого колеса на вал. Кроме этого необходимо учесть масштабный фактор. Материал вала — углеродистая сталь, поверхность вала — гладкая полировка.

Эффективные коэффициенты концентрации составляют:

для концентратора в виде шпоночного паза k_у= 1,86 [1, рис. 13], масштабный коэффициент е_у=0,9 [1, рис. 9], k_у/е_у=2,07;

для концентратора в виде посадки с натягом k_у/е_у=3,26 [1, табл. 1].

Выбираем для дальнейших расчетов их двух отношений большее k_у/е_у=3,26.

Сечение 6−6.

N=7,5; M_z= -0,04 кНм; M_y=0,237 кНм;

кНм.

В сечении действует концентратор в виде галтели, k_у= 1+ж (k₀^у-1),

где k₀^у= 2,3 [1, рис. 10], ж= 0,62 [1, рис. 12]. Тогда k_у= 1+0,62 (2,3−1)=1,81.

Масштабный коэффициент е_у=0,87 [1, рис. 9],

эффективный коэффициент концентрации k_у/е_у= 1,81/0,87 =2,08;

Полученные значения внутренних силовых факторов и коэффициентов k_у и е_у сведем в таблицу 1.

Таблица 1. Значения внутренних силовых факторов и коэффициентов kу и еу

5. Определение запаса усталостной прочности вала

Проверочный расчет валов состоит в определении коэффициентов запаса прочности n по формуле Гафа и Полларда.

где и — коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

Коэффициенты запаса прочности по нормальным напряжениям (определяем по формуле:

;

где у_-1=2,6· 10⁸ Па — предел выносливости для симметричного цикла;

у_в=5,6· 10⁸ Па — временное сопротивление материала на растяжение;

е_n — коэффициент, учитывающий состояние поверхности (для полированного вала е_n=1);

у_а=M/W=32M/рd³ — амплитуда цикла;

у_m=N/F=4N/рd² — среднее напряжение цикла;

Коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям определяем по пределу текучести как:

n_T=ф_T/ф_m*,

где ф_m* = М_к/W_p= 16 М_к/рd^3;

ф_T = 200 МПа — предел текучести.

При определении касательных напряжений учитываем возникновение местных напряжений в сечениях 1−1…6−6. Вследствие этого значения ф_m, увеличиваем на величину коэффициента k^t, значения которого для сечений, в которых концентраторы — шпоночные канавки — берем из табл. 5.1 [1]; для сечений, концентраторы в которых — галтели — выбираем по рис. 14 для заданных отношений r/d.

ф_m= ф_m* · k^t, n_T=ф_T/ф_m.

Полученные значения коэффициентов запаса, и n для заданных сечений сводим в таблицу 2.

Таблица 2. Значения коэффициентов запаса n_у, n_ф и n для заданных сечений

Из приведенных в таблице значений видно, что наиболее опасным сечением является сечение 5, где коэффициент запаса усталостной прочности наименьший и равняется n=1,37.

6. Проверка жесткости вала

Условие жесткости вала:

где — допускаемый угол закручивания,

— относительный угол закручивания.

Принимаем =2°/м.

Полный угол закручивания:

где J_p= рd⁴ /32 — полярный момент инерции поперечного сечения;

l_i — длина i-го участка вала.

Таблица 3. Значения J_p, l_i

Таким образом,

5,48· 10^-3 рад, или ц = 5,48· 10^-3·180/р =0,31°.

Полная длина вала L=47,25 см, поэтому относительный угол закручивания на метр длины вала И=0,31· 100/47,25=0,665°? [И]. Условие жесткости обеспечено.

7. Расчет крутильных колебаний

Коэффициент податливости рассчитаем как

9,6· 10^-6.

Круговая частота колебаний

рад/с.

частота колебаний

Гц.

Максимальное значение угла взаимного поворота колес при крутильных колебаниях:

рад.

С учетом колебаний угол закручивания вала равен:

рад.

Касательные напряжения с учетом крутильных колебаний:

.

В наиболее нагруженном сечении вала 5−5 ф_{m max}=53,44 МПа

МПа.

Определяем коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям с учетом крутильных колебаний вала:

.

Ранее коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям составлял. Таким образом, учет крутильных колебаний приведет к снижению коэффициента запаса прочности на

%.

вал зубчатый прочность ось

1. Методические указания к курсовой работе.

2. А. Г. Горшков, В. Н. Трошин, В. И. Шалашилин. Сопротивление материалов. М., Изд. ФИЗМАЛИТ, 2002 г.

3. А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. Сопротивление материалов. М., В.Ш., 2003 г.