Теорема Кастильяно

Теорема Кастильяно:

Если потенциальная энергия деформации U упругой системы представлена в виде функции статически независимых внешних сил Р, то частные производные этой функции относительно любой из этих сил дают действительные перемещения точки приложения этой силы по линии ее действия. Это и есть общеизвестная теорема Кастильяно.

1. Постановка задачи

К балке пролётом 2l, защемлённой левым концом, на правом конце приложена сила F. Диаметр одной части балки d₁, другой — d₂.

Определить прогибы балки f при различных значениях силы F (весом балки пренебречь).

Исходные данные:

l=0,6 м

d₁=0,13 м

d₂=0,1 м

Е=0,49*10⁵МПа, F₁=1000H

F₂=2000H

F₃=5000H

Количество участков разбиения интервалов [0, l] и [l, 2l] n=30

2. Математическая модель решения задачи

Для определения прогиба используем теорему Кастильяно: частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщённой силе равна соответствующей обобщённой координате.

Для консольной балки, на свободный конец которой действует сосредоточенная сила, обобщённой координатой является прогиб ѓ, равный

где Е — модуль упругости, J — момент инерции площади поперечного сечения балки.

Т.к., , то .

Выражение для величины искомого прогиба балки переменного сечения имеет следующий вид:

где J₁ — момент инерции первого поперечного сечения, J₂ — момент инерции второго поперечного сечения.

Для первого пролёта с интервалом [0, l]:

Разобьём отрезок интегрирования [0, l] на n равных участков длиной. Полученные точки разбиения пронумеруем от 1 до n+1. Используем переменную i для определения номера промежуточной точки. Для i=1,…, n+1, найдём x1_i по формуле:

;

Находим значения функций y1_i:

;

Затем задаём Int1:

Int1=0;

Находим Int1 для i=2, …, n+1 для пролёта:

;

Для второго пролёта с интервалом [l, 2l]:

Разобьём отрезок интегрирования [l, 2l] на n равных участков длиной. Полученные точки разбиения пронумеруем от 1 до n+1. Используем переменную i для определения номера промежуточной точки. Для i=1,…, n+1, найдём x2_i по формуле:

;

Находим значения функций y2_i:

;

Затем задаём Int2:

Int2=0;

Находим Int2 для i=2, …, n+1 для пролёта:

;

Подставляем полученные значения в начальную формулу и находим прогибы балки при различных значениях силы F для i=1…3:

3. Алгоритм решения задачи

1. Ввод исходных данных l, d₁, d₂, E, n.

2. Вводим массив F.

3. Вычисляем J1 и J2 по формуле:

и .

4. Разобьём отрезок интегрирования [0, l] на n равных участков длиной:

.

5. Для первого пролёта i=1,…, n+1:

5.1. Найдём x1_i по формуле:

;

5.2. Находим y1_i:

;

6. Затем задаём Int1:

Int1=0;

7. Находим Int1 для i=2, …, n+1:

;

8. Разобьём отрезок интегрирования [l, 2l] на n равных участков длиной:

;

9. Для второго пролёта i=1,…, n+1:

10. найдём x2_i по формуле:

;

10.1. Находим y2_i:

;

11. Затем задаём Int2:

Int2=0;

12. Находим Int2 для i=2, …, n+1:

;

13. Для i=1,…, 3:

14. Выводим значение прогиба балки f_i на экран для каждого значения .

4. Схема алгоритма

5. Таблица идентификаторов

6. Файл исходных данных

0.6 0.13 0.1 49 000 000 000 3.14 30

программа теорема кастильяно прогиб

7. Текст программы

Program curs18;

uses crt;

type mas=array [1.100] of real;

var n, i: integer;

t, l, d1, d2, e, j1, j2, k, int1, int2: real; f, fi, x1, x2, y1, y2: mas;

s1, s2: text;

begin

clrscr;

assign (s1,'dano.pas');

assign (s2,'rezult.pas');

reset (s1);

readln (s1, l, d1, d2, e, n);

for i:=1 to 3 do

readln (s1, f[i]);

close (s1);

j1:=(pi*d1*d1*d1*d1)/32;

j2:=(pi*d2*d2*d2*d2)/32;

k:=(l-0)/n;

for i:=1 to n+1 do

begin

x1 [i]: =(i-1)*k;

y1 [i]: =x1 [i]*x1 [i]

end;

int1:=0;

for i:=2 to n+1 do

int1:=int1+(((y1 [i-1]+y1 [i])/2)*k);

t:=(2*l-l)/n;

for i:=1 to n+1 do

begin

x2 [i]: =l+(i-1)*t;

y2 [i]: =x2 [i]*x2 [i]

end;

int2:=0;

for i:=2 to n+1 do

int2:=int2+(((y2 [i-1]+y2 [i])/2)*t);

rewrite (s2);

writeln (s2,' ':10,'kursova9 rabota');

writeln (s2,' ':12,'variant 18');

writeln (s2,'studenta gruppi 103 538 Jeludovskogo Evgeni9');

writeln (s2);

for i:=1 to 3 do

begin

fi[i]: =(f[i]/(e*j1))*int1+(f[i]/(e*j2))*int2;

writeln (s2,'f [', i, ']=', f[i]: 5:0,' H fi [', i, ']=', fi[i]: 10:7,' m ')

end;

close (s2);

repeat until keypressed

end.

8. Результаты решения задачи

Графическое представление результатов

9. Анализ результатов

Результаты показывают, что увеличение прогиба балки прямопропорционально увеличению силы, приложенной к концу балки.

Информатика: метод. пособие к лабораторным работам для студ. машиностроит. спец.: в 4 ч./ П. П. Анципорович [и др.]. — 2-е изд., испр. и доп. — Минск: БНТУ, 2008. — Ч. 4. — 85 с.