Решение задачи нахождения минимума целевой функции

Современный этап развития человечества отличается тем, что на смену века энергетики приходит век информатики. Происходит интенсивное внедрение новых технологий во все сферы человеческой деятельности. Встает реальная проблема перехода в информационное общество, для которого приоритетным должно стать развитие образования. Изменяется и структура знаний в обществе. Все большее значение для практической жизни приобретают фундаментальные знания, способствующие творческому развитию личности. Важна и конструктивность приобретаемых знаний, умение их структурировать в соответствии с поставленной целью. На базе знаний формируются новые информационные ресурсы общества. Формирование и получение новых знаний должно базироваться на строгой методологии системного подхода, в рамках которого отдельное место занимает модельный подход. Возможности модельного подхода крайне многообразны как по используемым формальным моделям, так и по способам реализации методов моделирования. Физическое моделирование позволяет получить достоверные результаты для достаточно простых систем.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

1. Постановка задачи

минимум целевая функция Решить задачу нахождения минимума целевой функции для системы ограничений, заданной многоугольником решений в соответствии с вариантом № 16 задания. Многоугольник решений представлен на рисунке 1:

Рисунок 1 — Многоугольник решений задачи Система ограничений и целевая функция задачи представлены ниже:

Необходимо решить задачу, используя следующие методы:

Графический метод решения задач ЛП;

Алгебраический метод решения задач ЛП;

Симплекс-метод решения задач ЛП;

Метод отыскания допустимого решения задач ЛП;

Решение двойственной задачи ЛП;

Метод «ветвей и границ» решения целочисленных задач ЛП;

Метод Гомори решения целочисленных задач ЛП;

Метод Балаша решения булевских задач ЛП.

Сравнить результаты решения разными методами сделать соответствующие выводы по работе.

2. Графическое решение задачи линейного программирования

Графический метод решения задач линейного программирования применяется в тех случаях, когда число неизвестных не превышает трех. Удобен для качественного исследования свойств решений и применяется совместно с другими методами (алгебраическим, ветвей и границ и т. д.). Идея метода основана на графическом решении системы линейных неравенств.

Рис. 2 Графическое решение задачи ЛП

— точка минимума Уравнение прямой проходящей через две точки A1 и A2 :

АВ: (0;1); (3;3)

ВС: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EА: (1;0); (0;1)

ЦФ: (0;1); (5;2)

при ограничениях:

Решение задачи линейного программирования алгебраическим симплекс-методом Применение алгебраического метода решения задачи требует обобщения представления задачи ЛП. Исходную систему ограничений, заданную в виде неравенств преобразуют к стандартной форме записи, когда ограничения заданы в виде равенств. Преобразование системы ограничений к стандартному виду включает в себя следующие этапы:

Преобразовать неравенства таким образом, чтобы слева находились переменные и свободные члены, а справа — 0 т. е. чтобы левая часть была больше или равной нулю;

Ввести дополнительные переменные, число которых равно числу неравенств в системе ограничений;

Введя дополнительные ограничения на неотрицательность добавленных переменных, заменить знаки неравенств на знаки строгих равенств.

При решении задачи ЛП алгебраическим методом добавляется условие: целевая функция должна стремиться к минимуму. Если данное условие не выполняется, необходимо соответствующим образом преобразовать целевую функцию (умножить на -1) и решать задачу минимизации. После того, как решение найдено, подставить значения переменных в исходную функцию и посчитать ее значение.

Решение задачи при использовании алгебраического метода считается оптимальным, когда значения всех, базисных переменных — неотрицательно, и коэффициенты при свободных переменных в уравнении целевой функции также неотрицательны. Если эти условия не выполняются, необходимо преобразовать систему неравенств, выражая одни переменные через другие (меняя свободные и базисные переменные) добиться выполнения вышеприведенных ограничений. Значение всех свободных переменных считается равным нулю.

Алгебраический метод решения задач линейного программирования является одним из самых эффективных методов при решении задач небольшой размерности вручную т.к. не требует большого числа арифметических вычислений. Машинная реализация этого метода сложнее, чем, например, для симплекс-метода, т.к. алгоритм решения алгебраическим методом является в какой то степени эвристическим и эффективность решения во многом зависит от личного опыта.

— свободных переменных Шаг 1.

св.пер. — доп. набор

Из (2)

Анализ Шаг 2.

св. пер.

Анализ Шаг 3.

св. пер.

Условия не отрицательности выполнены, следовательно, найдено оптимальное решение.

3. Решение задачи линейного программирования с использованием симплекс-таблицы

Решение: Приведем задачу к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы.

Все уравнения системы приведем к виду:

Строим симплекс-таблицу:

В верхний угол каждой клетки таблицы вписываем коэффициенты из системы уравнений;

Выбираем максимальный положительный элемент в строке F, кроме, это будет генеральный столбец;

Для того, чтобы найти генеральный элемент строим отношение для всех положительных. 3/3; 9/1;- минимальное соотношение в строке x3. Следовательно — генеральная строка и =3 — генеральный элемент.

Находим =1/=1/3. Вносим в нижний угол клетки, где находится генеральный элемент;

Во все незаполненные нижние углы генеральной строки вносим произведение значения в верхнем углу клетки на ;

Выделяем верхние углы генеральной строки;

Во все нижние углы генерального столбца заносим произведение значения в верхнем углу на — и выделяем полученные значения;

Остальные клетки таблицы заполняются, как произведения соответствующих выделенных элементов;

Затем строим новую таблицу, в которой обозначения клеток элементов генерального столбца и строки меняются местами (x2 и x3);

В верхний угол бывших генеральных строки и столбца записываются значения, которые до этого были в нижнем углу;

В верхний угол остальных клеток записывается сумма значений верхнего и нижнего угла этих клеток в предыдущей таблице

4. Решение задачи линейного программирования методом отыскания допустимого решения

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:

Можно предположить, что все, в противном случае умножаем соответствующее уравнение на -1.

Вводим вспомогательные переменные:

Вводим так же вспомогательную функцию

Будем минимизировать систему при ограничениях (2) и условиях .

ПРАВИЛО ОТЫСКАНИЯ ДОПУСТИМОГО РЕШЕНИЯ: Для отыскания допустимого решения системы (1) минимизируем форму (3) при ограничениях (2), в качестве свободных неизвестных берем xj, в качестве базисных .

При решении задачи симплекс-методом могут возникнуть два случая:

min f=0, тогда все i обязаны быть равными нулю. А получившиеся значения xj будут составлять допустимое решение системы (1).

min f>0, т. е. исходная система не имеет допустимого решения.

Исходная система:

Используется условие задачи предыдущей темы.

Внесем дополнительные переменные:

Найдено допустимое решение исходной задачи: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Основываясь на полученном допустимом решении найдем оптимальное решение исходной задачи, пользуясь симплекс-методом. Для этого построим новую симплекс-таблицу из таблицы полученной выше, удалив строку и строку с целевой функцией вспомогательной задачи:

Анализируя построенную симплекс-таблицу, видим, что оптимальное решение для исходной задачи уже найдено (элементы в строке, соответствующей целевой функции, отрицательны). Таким образом, допустимое решение, найденное при решении вспомогательной задачи совпадает с оптимальным решением исходной задачи:

6. Двойственная задача линейного программирования

Исходная система ограничений и целевая функция задачи показаны на рисунке ниже.

при ограничениях:

Решение: Приведем систему ограничений к стандартному виду:

Задача, двойственная данной будет иметь вид:

Решение двойственной задачи будет выполняться простым симплекс-методом.

Преобразуем целевую функцию так, чтобы решалась задача минимизации, и запишем систему ограничений в стандартной форме для решения симплекс-методом.

y6 = 1 — (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 — (-3y1 — y2 + y3 + y4)

Ф = 0 — (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min

Построим исходную симплекс-таблицу для решения двойственной задачи ЛП.

Первый шаг симплекс-метода

Второй шаг симплекс-метода

Третий шаг симплекс-метода

Итак, на третьем шаге симплекс-метода найдено оптимальное решение задачи минимизации со следующими результатами: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Для того, чтобы найти значение целевой функции двойственной задачи, подставим найденные значения базисных и свободных переменных в функцию максимизации:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

Так как значение целевой функции прямой и двойственной задач совпадают, решение прямой задачи найдено и равно 12.

Fmin = Фmax = -12

7. Решение задачи целочисленного линейного программирования методом «ветвей и границ»

Преобразуем исходную задачу таким образом, чтобы не выполнялось условие целочисленности при решении обычными методами.

Исходный многоугольник решений задачи целочисленного программирования.

Для преобразованного многоугольника решений построим новую систему ограничений.

Запишем систему ограничений в виде равенств, для решения алгебраическим методом.

В результате решения найден оптимальный план задачи: х1 =9/4, х2 = 5/2, F =-41/4. Это решения не отвечает условию целочисленности, поставленному в задаче. Разобьем исходный многоугольник решений на две области, исключив из него область 3

Измененный многоугольник решений задачи

Составим новые системы ограничений для образовавшихся областей многоугольника решений. Левая область представляет собой четырехугольник (трапецию). Система ограничений для левой области многоугольника решений представлена ниже.

Система ограничений для левой области Правая область представляет собой точку С.

Система ограничений для правой области решений представлена ниже.

Новые системы ограничений представляют из себя две вспомогательные задачи, которые необходимо решить независимо друг от друга. Решим задачу целочисленного программирования для левой области многоугольника решений.

В результате решения найден оптимальный план задачи: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Этот план удовлетворяет условию целочисленности переменных в задаче и может быть принят в качестве оптимального опорного плана для исходной задачи целочисленного линейного программирования. Проводить решение для правой области решений нет смысла. На рисунке ниже представлен ход решения целочисленной задачи линейного программирования в виде дерева.

Ход решения целочисленной задачи линейного программирования методом Гомори.

Во многих практических приложениях представляет большой интерес задача целочисленного программирования, в которой дана система линейных неравенств и линейная форма Требуется найти целочисленное решение системы (1), которое минимизирует целевую функцию F, причем, все коэффициенты — целые.

Один из методов решения задачи целочисленного программирования предложен Гомори. Идея метода заключается в использовании методов непрерывного линейного программирования, в частности, симплекс-метода.

1)Определяется с помощью симплекс-метода решение задачи (1), (2), у которой снято требование целочисленности решения; если решение оказывается целочисленным, то искомое решение целочисленной задачи будет также найдено;

2) В противном случае, если некоторая координата — не целая, полученное решение задачи проверяется на возможность существования целочисленного решения (наличие целых точек в допустимом многограннике):

если в какой-либо строке с дробным свободным членом, все остальные коэффициенты окажутся целыми, то в допустимом многограннике нет целых, точек и задача целочисленного программирования решения не имеет;

— в противном случае вводится дополнительное линейное ограничение, которое отсекает от допустимого многогранника часть, бесперспективную для поиска решения задачи целочисленного программирования;

3) Для построения дополнительного линейного ограничения, выбираем l-тую строку с дробным свободным членом и записываем дополнительное ограничение где и — соответственно дробные части коэффициентов и свободного члена. Введем в ограничение (3) вспомогательную переменную :

(4)

Определим коэффициенты и, входящие в ограничение (4):

(5)

где и — ближайшие целые снизу для и соответственно.

4) Далее с помощью симплекс-метода снова решается задача линейного программирования при наличии дополнительного ограничения и т. д.

Гомори доказал, что конечное число подобных шагов приводит к такой задаче линейного программирования, решение которой будет целочисленным и, следовательно, искомым.

Решение: Приведем систему линейных ограничений и функцию цели к канонической форме:

Определим оптимальное решение системы линейных ограничений, временно отбросив условие целочисленности. Используем для этого симплекс-метод. Ниже последовательно в таблицах представлены исходное решение задачи, и приведены преобразования исходной таблицы с целью получения оптимального решения задачи:

Решение булевских задач ЛП методом Балаша.

Составить самостоятельно вариант для задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными с учетом следующих правил: в задаче используется не менее 5 переменных, не менее 4 ограничений, коэффициенты ограничений и целевой функции выбираются произвольно, но таким образом, чтобы система ограничений была совместна. Задание состоит в том, чтобы решить ЗЦЛП с булевскими переменными, используя алгоритм Балаша и определить снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора.

Фильтрующее ограничение:

Определение снижения трудоемкости вычислений Решение задачи методом полного перебора составляет 6*25=192 вычисленных выражения. Решение задачи методом Балаша составляет 3*6+(25−3)=47 вычисленных выражений. Итого снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора составляет .

Заключение

Процесс проектирования информационных систем, реализующих новую информационную технологию, непрерывно совершенствуется. В центре внимания инженеров-системотехников оказываются все более сложные системы, что затрудняет использование физических моделей и повышает значимость математических моделей и машинного моделирования систем. Машинное моделирование стало эффективным инструментом исследования и проектирования сложных систем. Актуальность математических моделей непрерывно возрастает из-за их гибкости, адекватности реальным процессам, невысокой стоимости реализации на базе современных ПЭВМ. Все большие возможности предоставляются пользователю, т. е. специалисту по моделированию систем средствами вычислительной техники. Особенно эффективно применение моделирования на ранних этапах проектирования автоматизированных систем, когда цена ошибочных решений наиболее значительна.

Современные вычислительные средства позволили существенно увеличить сложность используемых моделей при изучении систем, появилась возможность построения комбинированных, аналитико-имитационных моделей, учитывающих все многообразие факторов, имеющих место в реальных системах, т. е. использованию моделей, более адекватных исследуемым явлениям.

Литература:

1. Лященко И. Н. Линейное и нелинейное программирования / И. Н. Лященко, Е. А. Карагодова, Н. В. Черникова, Н. З. Шор. — К.: «Высшая школа», 1975, 372 с.

2. Методические указания для выполнения курсового проекта по дисциплине «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И. А. Балакирева, А.В.СкатковСевастополь: Изд-во СевНТУ, 2003. — 15 с.

3. Методические указания по изучению дисциплины «Прикладная математика», раздел «Методы глобального поиска и одномерной минимизации» / Сост. А. В. Скатков, И. А. Балакирева, Л. А. Литвинова — Севастополь: Изд-во СевГТУ, 2000. — 31с.

4. Методические указания для изучения дисциплины «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» Раздел «Решение задач целочисленного линейного программирования» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И. А. Балакирева, А. В. Скатков — Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. — 13 с.

5. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах:

6. Учеб. пособие для студентом эконом. спец. вузов.-М.: Высш. шк., 1986. 319с., ил.

7. Андронов С. А. Методы оптимального проектирования: Текст лекций / СПбГУАП. СПб., 2001. 169 с.: ил.