Численные методы в инженерных расчетах
В инженерных расчётах основу программно-математического обеспечения составляют численные методы и реализующие их программы решения типовых математических задач. Наличие библиотек и специальных пакетов программ ставит инженера в положение пользователя, когда он должен выбрать нужный ему математический инструмент и правильно им воспользоваться. Учитывая сложность современных инженерных проблем… Читать ещё >
Численные методы в инженерных расчетах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ
1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1 Задание
1.2 Решение уравнения методом половинного деления
1.3 Метод секущих
1.4 Метод Ньютона
1.5 Метод Matlab
2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2.1 Задание
2.2 Решение СЛАУ
3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ
3.1 Задание
3.2 Интерполяция заданной функции
4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1 Задание
4.2 Решение системы О.Д.У.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время проведение исследовательских и проектно-конструкторских работ в области транспортного строительства и машиностроения практически невозможно без использования вычислительной техники, позволяющей осуществить необходимые сложные расчёты.
В инженерных расчётах основу программно-математического обеспечения составляют численные методы и реализующие их программы решения типовых математических задач. Наличие библиотек и специальных пакетов программ ставит инженера в положение пользователя, когда он должен выбрать нужный ему математический инструмент и правильно им воспользоваться. Учитывая сложность современных инженерных проблем и многообразие существующих методов, предназначенных для решения одних и тех же математических задач, сделать это не так просто.
1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1 Задание нелинейный алгебраический дифференциальный уравнение Определить корни графически.
Уточнить один из корней с точностью до 10^(-6) методами:
а) методом половинного деления;
б) методом секущих;
в) методом Ньютона;
г) используя стандартную функцию Matlab.
При решении каждым из методов сосчитать количество итераций для достижения заданной точности.
Визуализировать итерационную последовательность.
Заданные уравнения:
2ex-2x-3=0
(x-2)cos (x)=1
— 2П<=x<=2П
3x4+8×3+6×2−10=0
1.2 Решение уравнения методом половинного деления В методе половинного деления предполагается, что функция f (x) прерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет разные знаки: f (a)f (b)<0.
Определяется середина отрезка: x0=(a+b)/2.
Если f (a)f (x0)<0, то [a1,b1]=[a, x0]; если f (a)f (x0)>0, то [a1,b1]=[x0,b].
Таким образом, составляется цикл. Вычисления производятся до тех пор, пока середина отрезка, полученного на некотором шаге, не приблизится к искомому корню с заданной точностью.
Метод половинного деления медленный, но всегда сходится. На n шаге отрезок уменьшится в раз:
где — точность вычисления.
Программа в Matlab для уравнения 2ex-2x-3=0
Во — первых, вводим функцию в Matlab следующим образом:
function y=myf1(x)
y=2*exp (x)-2*x-3;
Теперь строим график данной функции:
x=0:0.001:3;
y=myf1(x);
plot (x, y);grid
Рис. 1. График функции 2ex-2x-3=0
Программа для определения корня уравнения
clc;
a=0.5;
b=1;
eps=10^(-6);
l=b-a;
m=1;
format long
while l>=eps;
x=(a+b)/2;
c (m)=x;
if myf1(a)*myf1(x)<0
b=x;
else
a=x;
end
m=m+1;
l=b-a;
end
disp ('число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ');
disp (m);
disp ('последовательное приближение')
disp (c);
plot (c,'*');
Получен результат: число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ последовательное приближение
Columns 1 through 4
0.75 000 000 000 000 0.87 500 000 000 000 0.81 250 000 000 000 0.84 375 000 000 000
Columns 5 through 8
0.85 937 500 000 000 0.85 156 250 000 000 0.85 546 875 000 000 0.85 742 187 500 000
Columns 9 through 12
0.85 839 843 750 000 0.85 791 015 625 000 0.85 766 601 562 500 0.85 778 808 593 750
Columns 13 through 16
0.85 772 705 078 125 0.85 769 653 320 313 0.85 768 127 441 406 0.85 767 364 501 953
Columns 17 through 19
0.85 767 745 971 680 0.85 767 555 236 816 0.85 767 650 604 248
Рис. 2. Итерационная последовательность Программа в Matlab для уравнения (x-2)cos (x)=1.
Во — первых, вводим функцию в Matlab следующим образом:
function y=myf2(x)
y=(x-2).*cos (x)-1;
Теперь строим график данной функции:
x=-2*pi:0.001:2*pi;
y=myf2(x);
plot (x, y);grid
Рис. 3. График функции y= (x-2)cos (x)-1
Программа для определения корня уравнения
clc;
a=-6;
b=-4;
eps=10^(-6);
l=b-a;
m=1;
format long
while l>=eps;
x=(a+b)/2;
c (m)=x;
if myf2(a)*myf2(x)<0
b=x;
else
a=x;
end
m=m+1;
l=b-a;
end
disp ('число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ');
disp (m);
disp ('последовательное приближение')
disp (c);
plot (c,'*');
Получен результат:
число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ
последовательное приближение
Columns 1 through 4
— 5.0 -4.50 000 000 000 000 -4.75 000 000 000 000 -4.62 500 000 000 000
Columns 5 through 8
— 4.56 250 000 000 000 -4.53 125 000 000 000 -4.54 687 500 000 000 -4.55 468 750 000 000
Columns 9 through 12
— 4.55 859 375 000 000 -4.56 054 687 500 000 -4.55 957 031 250 000 -4.55 908 203 125 000
Columns 13 through 16
— 4.55 932 617 187 500 -4.55 944 824 218 750 -4.55 938 720 703 125 -4.55 935 668 945 313
Columns 17 through 20
— 4.55 934 143 066 406 -4.55 933 380 126 953 -4.55 933 761 596 680 -4.55 933 952 331 543
Column 21
— 4.55 933 856 964 111
Рис. 4. Итерационная последовательность Программа в Matlab для уравнения 3×4+8×3+6×2−10=0
Во — первых, вводим функцию в Matlab следующим образом:
function y=myf3(x)
y=3*x.^4+8*x.^3+6*x.^2−10;
Теперь строим график данной функции:
x=1:0.001:3;
y=myf3(x);
plot (x, y);grid
Рис. 5. График функции y=3×4+8×3+6×2−10
Программа для определения корня уравнения
clc;
a=0.5;
b=1;
eps=10^(-6);
l=b-a;
m=1;
format long
while l>=eps;
x=(a+b)/2;
c (m)=x;
if myf3(a)*myf3(x)<0
b=x;
else
a=x;
end
m=m+1;
l=b-a;
end
disp ('число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ');
disp (m);
disp ('последовательное приближение')
disp (c);
plot (c,'*');
Получен результат:
число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ
последовательное приближение
Columns 1 through 4
0.75 000 000 000 000 0.87 500 000 000 000 0.81 250 000 000 000 0.84 375 000 000 000
Columns 5 through 8
0.82 812 500 000 000 0.82 031 250 000 000 0.82 421 875 000 000 0.82 617 187 500 000
Columns 9 through 12
0.82 519 531 250 000 0.82 568 359 375 000 0.82 592 773 437 500 0.82 604 980 468 750
Columns 13 through 16
0.82 598 876 953 125 0.82 601 928 710 938 0.82 603 454 589 844 0.82 604 217 529 297
Columns 17 through 19
0.82 603 836 059 570 0.82 604 026 794 434 0.82 604 122 161 865
Рис. 6. Итерационная последовательность
1.3 Метод секущих В методе секущих предполагается, что функция f (x) прерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет разные знаки: f (a)f (b)<0.Предположим, что
f (a)>0, f (b)<0.
Уравнение секущей:
.
Тогда
.
Получен новый отрезок [a1,b1]=[a, x0]. Вычисления производятся до тех пор, пока значение x0 не приблизится к искомому корню с заданной точностью.
В ряде случаев алгоритм имеет быструю сходимость.
Программа в Matlab для уравнения 2ex-2x-3=0
clc;
a=0.5;
b=1;
eps=10^(-6);
x=a-((b-a)/((myf1(b)-myf1(a))))*myf1(a);
m=1;
format long
while abs (myf1(x))>eps;
c (m)=x;
if myf1(x)*myf1(a)<0;
b=x;
else
a=x;
end
m=m+1;
x=a-((b-a)/((myf1(b)-myf1(a))))*myf1(a);
end
disp ('число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ');
disp (m);
disp ('последовательное приближение')
disp (c);
plot (c,'*');
Получен результат:
число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ
последовательное приближение
Columns 1 through 4
0.80 837 697 986 152 0.85 188 251 839 544 0.85 700 982 100 534 0.85 760 011 315 751
Columns 5 through 6
0.85 766 788 654 576 0.85 767 566 538 909
Рис. 7. Итерационная последовательность Программа в Matlab для уравнения (x-2)cos (x)=1
clc;
a=-6;
b=-4;
eps=10^(-6);
x=a-((b-a)/((myf2(b)-myf2(a))))*myf2(a);
m=1;
format long
while abs (myf2(x))>eps;
c (m)=x;
if myf2(x)*myf2(a)<0;
b=x;
else
a=x;
end
m=m+1;
x=a-((b-a)/((myf2(b)-myf2(a))))*myf2(a);
end
disp ('число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ');
disp (m);
disp ('последовательное приближение')
disp (c);
plot (c,'*');
Получен результат:
число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ
последовательное приближение
— 4.50 362 928 795 517 -4.56 127 779 222 470 -4.55 931 106 364 103
Рис. 8. Итерационная последовательность Программа в Matlab для уравнения 3×4+8×3+6×2−10=0.
clc;
a=0.5;
b=1;
eps=10^(-6);
x=a-((b-a)/((myf3(b)-myf3(a))))*myf3(a);
m=1;
format long
while abs (myf3(x))>eps;
c (m)=x;
if myf3(x)*myf3(a)<0;
b=x;
else
a=x;
end
m=m+1;
x=a-((b-a)/((myf3(b)-myf3(a))))*myf3(a);
end
disp ('число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ');
disp (m);
disp ('последовательное приближение')
disp (c);
plot (c,'*');
Получен результат:
число итераций длЯ уточнениЯ корнЯ
последовательное приближение
Columns 1 through 4
0.75 545 851 528 384 0.81 290 500 229 492 0.82 367 706 378 330 0.82 561 839 681 742
Columns 5 through 8
0.82 596 568 870 814 0.82 602 773 448 238 0.82 603 881 669 747 0.82 604 079 604 705
Column 9
0.82 604 114 956 799
Рис. 9. Итерационная последовательность
1.4 Метод Ньютона Требуется, чтобы функция f (x) была дифференцируема в некоторой окрестности точки с (искомого корня уравнения). Производная не должна менять свой знак на промежутке [c, x0].
Уравнение касательной
.
Тогда
.
Алгоритм продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность
.
Программа в Matlab для уравнения 2ex-2x-3=0
clc;
format long
eps=0.1;
m=0.5;
n=1;
while abs (myf1(m))>eps;
m=m-myf1(m)/(2*exp (m)-2);
c (n)=m;
n=n+1;
end
disp ('число итерации длЯ уточнениЯ корнЯ');
disp (n);
disp ('последовательное приблежение');
disp (c);
plot (c,'*');
Получен результат:
число итерации длЯ уточнениЯ корнЯ
последовательное приблежение
Columns 1 through 4
1.4 149 408 253 680 0.88 225 679 128 705 0.85 818 785 708 263 0.85 767 690 070 957
Column 5
0.85 767 667 394 594
Рис. 10. Итерационная последовательность Программа в Matlab для уравнения (x-2)cos (x)=1
clc;
format long
eps=0.1;
m=-6;
n=1;
while abs (myf2(m))>eps;
m=m-myf2(m)/(cos (m)-(m-2)*sin (m));
c (n)=m;
n=n+1;
end
disp ('число итерации длЯ уточнениЯ корнЯ');
disp (n);
disp ('последовательное приблежение');
disp (c);
plot (c,'*');
Получен результат:
число итерации длЯ уточнениЯ корнЯ
последовательное приблежение
— 4.75 166 784 825 219 -4.56 522 808 749 884 -4.55 934 580 524 512 -4.559 337 734 920
Рис. 11. Итерационная последовательность Программа в Matlab для уравнения 3×4+8×3+6×2−10=0
clc;
format long
eps=0.1;
m=0.5;
n=1;
while abs (myf3(m))>eps;
m=m-myf3(m)/(12*m.^3+24*m.^2+12*m);
c (n)=m;
n=n+1;
end
disp ('число итерации длЯ уточнениЯ корнЯ');
disp (n);
disp ('последовательное приблежение');
disp (c);
plot (c,'*');
Получен результат:
число итерации длЯ уточнениЯ корнЯ
последовательное приблежение
Columns 1 through 4
1.4 166 666 666 667 0.86 731 136 332 084 0.82 789 983 686 378 0.82 604 519 906 920
Column 5
0.82 604 122 645 581
Рис. 12. Итерационная последовательность
1.5 Метод Matlab
для уравнения 2ex-2x-3=0:
fzero ('myf1', 0.5)
ans =
0.85 767 667 394 590
для уравнения (x-2)cos (x)=1
fzero ('myf2',-4)
ans =
— 4.55 933 773 490 524
для уравнения 3×4+8×3+6×2−10=0
fzero ('myf3', 1)
ans =
0.82 604 122 643 762 128
2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2.1 Задание Записать систему линейных уравнений 5×5.
Проверить обусловленность систем:
а) вычислить определитель;
б) найти обратную матрицу;
в) вычислить числа обусловленности системы в трёх нормах.
Решить систему методом Зейделя.
Решить систему методом Matlab.
2.2 Решение СЛАУ При большом числе уравнений (100 и более) прямые методы решения СЛАУ (за исключением метода прогонки) становятся труднореализуемыми на ЭВМ из-за сложности хранения и обработки матриц большой размерности. Здесь разумнее применять итерационные методы.
Итерационными методами называют методы последовательного приближения, в которых при вычислении следующего приближения используется предыдущее.
Метод простых итераций довольно медленно сходится. Для его ускорения существует модификация, называемая методом Зейделя.
Метод Зейделя состоит в том, что итерации производятся по формуле:
гдепроизвольны, i=1, 2, …, n; k=1, 2,…
Итерации по методу Зейделя отличаются от простых итераций тем, что при нахождении i-й компоненты k-го приближения сразу используются уже найденные компоненты k-го приближения с меньшими номерами.
За счёт использования на каждом шаге уточнённых значений метод Зейделя обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простой итерации.
Исходная система линейных уравнений 5x5
-+4+8+6+4=6
— 5+2−8+5+4=-5
4±5++5+10=3
— 4+3±7+5=5
5+10+7−4-3=3
Программа в Matlab:
clc
a=[-1 4 8 6 4; -5 2 -8 5 4;4 -5 1 5 10; -4 3 1 -7 5;5 10 7 -4 -3]
b=[6; -5; 3; 5; 3]
w=det (a); %определитель матрицы
a1=inv (a); %обратная матрица
x=ab%решение системы методом Matlab
masa=abs (a);
n1=max (sum (masa')); % норма 1
masa1=abs (a1);
n11=max (sum (masa1')); %норма 1 для обратной матрицы
m1=n1*n11
n2=max (sum (masa)) % норма 2
n22=max (sum (masa1)); %норма 2для обратной матрицы
m2=n2*n22;
r1=a*a';
la1=eig (r1);
A1=max (abs (la1));
n3=sqrt (A1); % норма 3
r2=a1*a1';
la2=eig (r2);
A2=max (abs (la2));
n33=sqrt (A2); %норма 3 для обратной матрицы
m3=n3*n33
Er=rand (5,5);
aa=a+Er;
Erb=rand (5,1);
bb=b+Erb;
X=aabb
absp=max (abs (x-X))
fds=absp/(max (abs (x)))
Получаем результат:
a =
— 1 4 8 6 4
— 5 2 -8 5 4
4 -5 1 5 10
— 4 3 1 -7 5
5 10 7 -4 -3
b =
— 5
x =
— 0.22 786 051 834 609
— 0.11 319 065 451 120
0.77 419 480 408 262
— 0.24 929 348 291 513
0.38 177 614 113 214
m1 =
8.45 727 031 382 594
n2 =
m3 =
3.26 291 163 081 868
X =
— 0.24 060 047 867 289
— 0.4 637 852 582 081
0.79 476 339 451 552
— 0.26 209 671 096 621
0.39 532 812 354 543
absp =
0.6 681 212 869 039
fds =
0.8 629 885 958 684
Функция Зейделя:
function [z1,z2]=zeide1(a, b, eps) % векторное присвоение
a=[-1 4 8 6 4; -5 2 -8 5 4;4 -5 1 5 10; -4 3 1 -7 5;5 10 7 -4 -3]
b=[6; -5; 3; 5; 3]
eps=10^(-6);
N=size (a, 1) % возвращает число строк массива А
C=a'*a
D=a'*b % приведение системы к нормальному виду
for i=1:N % размерность задачи
D1(i)=D (i)/C (i, i);
end
% D11=D1'; % D11-начальное приближение (столбец правой части)
d1=D1;
for i=1:N
for j=1:N
if i==j % проверка на равенство
C1(i, j)=0;
else
C1(i, j)=-C (i, j)/C (i, i);
end
end
end
% решение системы методом Зейделя
R1=d1;
k=0;
while k==0
for i=1:N
v=C1(i, 1: N); % вырезка
A=dot (v', d1); % скалярное произведение
d1(i)=A+D1(i);
R2=d1;
S=max (abs (R2-R1));
if S
z1=d1; z2=S;
k=k+1;
end
R1=R2;
end
end
Получен результат:
a =
— 1 4 8 6 4
— 5 2 -8 5 4
4 -5 1 5 10
— 4 3 1 -7 5
5 10 7 -4 -3
b =
— 5
N =
C =
83 4 67 -3 -19
4 154 84 -52 -41
67 84 179 -22 -6
— 3 -52 -22 151 71
— 19 -41 -6 71 166
D =
— 21
ans =
Columns 1 through 4
— 0.22 784 165 101 666 -0.11 317 732 900 043 0.77 418 152 802 107 -0.24 929 480 082 327
Column 5
0.38 178 538 703 810
3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ
3.1 Задание Из первой части курсовой работы взять функцию, которая имеет больше изгибов. На промежутке (-4р;4р) взять равномерную сетку из десяти значений (x). Вычислить значения функции в этих точках. Сформировать сетку c шагом 1/100.
Выполнить интерполяцию 3 методами.
3.2 Интерполяция заданной функции Часто для восстановления зависимостей; сравнения значений двух или более функций, заданных на разной сетке; подготовки качественных графических материалов требуется построить интерполирующую функцию f (xi)=yi, которую называют интерполянтой. Интерполянту ищут в виде многочлена:
гденеопределённые коэффициенты.
Более удобным является представление полинома в виде полинома Лагранжа степени n:
Формула Лагранжа имеет вид:
.
Формат функции в Matlab:
yi=interp (x, y, xi,'метод').
Метод принимает значения:
nearest;
linear;
spline;
При заданной сеточной функции в узлах x принимаются значения, определённые компонентами y. Функция interp осуществляет интерполяцию функции в точке с координатой xi.
Принципы этих методов можно проследить при решении конкретной задачи. Для интерполяции по формуле Лагранжа используются функции polyfit и polyval.
Программа в Matlab:
xi=-4*pi:0.01:4*pi;
yi=(xi-2).*cos (xi)-1;
plot (xi, yi,'r'); grid;
v=[-15 15 -20 20];
axis (v);
hold on;
x=-4*pi:8*pi/10:4*pi;
y=(x-2).*cos (x)-1;
yi=interp1(x, y, xi,'nearest');
plot (x, y,'ob', xi, yi,'y')
pause
yi=interp1(x, y, xi,'linear')
plot (x, y,'ob', xi, yi,'m')
pause
yi=interp1(x, y, xi,'spline')
plot (x, y,'ob', xi, yi,'g')
pause
p=polyfit (x, y,11)
f=polyval (p, xi)
plot (x, y,'ob', xi, f,'b')
hold off
Рис. 13. Сетка из десяти значений и интерполяция методом `nearest'
Рис. 14. Интерполяция методом `linear'
Рис. 15. Интерполяция методом `spline'
Рис. 16 Полином Лагранжа
4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1 Задание Привести уравнения к нормальной системе.
Решить систему методом Рунге-Кутты.
Y/VY///(Y//+1)-sin (t)Y/+YY/=3
Y (0)=0
Y/0)=0
Y//(0)=1
Y///(0)=-1
4.2 Решение системы О.Д.У.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее одну независимую переменную x, искомую функцию y (x) и её производные до n порядка включительно:
.
Система О.Д.У. относительно n неизвестных функций y1(x), y2(x),…, yn (x) yназывается нормальной, если каждое уравнение, входящее в систему, содержит в левой части производную первого порядка от соответствующей искомой функции, а правая часть является функцией от независимой переменной x и n искомых функций Одним из методов решения системы О.Д.У. является метод Рунге-Кутты. Вычислительная схема МРК для 4-го порядка имеет вид:
Приведение системы к нормальному виду
Y/VY///(Y//+1)-sin (t)Y/+YY/=3
Y (0)=0
Y/0)=0
Y//(0)=1
Y///(0)=-1
;
x4=y///=x3/
x1/ = x2
x2/=x3
x3/= x4
x4/=-x4(x3+1)-sin (t)x2+x1x2−3
Программа в Matlab:
function u=difur (t, x)
u=[x (2);x (3);x (4);-x (4)*(x (3)+1)-sin (t)*x (2)+x (2)*x (3)-3];
clc;
[t, X]=ode45('difur',[0,pi],[0,0,1,-1]);
y=X (, 1);
subplot (311)
plot (t, y)
y1=X (, 2);
subplot (312)
plot (t, y1)
y2=X (, 3);
subplot (313)
plot (t, y2)
Получен результат:
Рис. 17 Решение уравнения