Сигналы и их характеристики

Тема: «Сигналы и их характеристики»

Сигнал — физический процесс, отображающий сообщение. В технических системах чаще всего используются электрические сигналы. Сигналы, как правило, являются функциями времени.

1. Классификация сигналов

Сигналы можно классифицировать по различным признакам:

1. Непрерывные (аналоговые) — сигналы, которые описываются непрерывными функциями времени, т. е. принимают непрерывное множество значений на интервале определения. Дискретные — описываются дискретными функциями времени т. е. принимают конечное множество значений на интервале определения.

Детерминированные - сигналы, которые описываются детерминированными функциями времени, т. е. значения которых определены в любой момент времени. Случайные - описываются случайными функциями времени, т. е. значения которых в любой момент времени является случайной величиной. Случайные процессы (СП) можно классифицировать на стационарные, нестационарные, эргодические и неэргодические, а так же, гауссовы, марковские и т. д.

3. Периодические — сигналы, значения которых повторяются через интервал, равный периоду

х (t) = х (t+nT), где n = 1,2,…,; T - период.

4. Kаузальные - сигналы, имеющие начало во времени.

5. Финитные - сигналы конечной длительности и равные нулю вне интервала определения.

6. Когерентные — сигналы, совпадающие во всех точках определения.

7. Ортогональные — сигналы противоположные когерентным.

2. Характеристики сигналов

1. Длительность сигнала (время передачи) Т_с — интервал времени, в течении которого существует сигнал.

2. Ширина спектра F_c — диапазон частот, в пределах которых сосредоточена основная мощность сигнала.

3. База сигнала — произведение ширины спектра сигнала на его длительность.

4. Динамический диапазон D_c - логарифм отношения максимальной мощности сигнала — P_max к минимальной — P_{min (}минимально-различи-мая на уровне помех):

D_c = log (P_max/P_min).

В выражениях, где может быть использованы логарифмы с любым основанием, основание логарифма не указывается.

Как правило, основание логарифма определяет единицу измерения (например: десятичный — [Бел], натуральный — [Непер]).

5. Объем сигнала определяется соотношением V_c = T_cF_cD_c.

6. Энергетические характеристики: мгновенная мощность — P (t); средняя мощность — P_ср и энергия — E. Эти характеристики определяются соотношениями:

P (t) = x² (t); ; (1)

где T = t_max-t_min.

3. Математические модели случайных сигнлов

Детерминированное, т. е. заранее известное сообщение, не содержит информации, т. к получателю заранее известно, каким будет переда-ваемый сигнал. Поэтому сигналы носят статистический характер.

Случайный (стохастический, вероятностный) процесс — процесс, который описывается случайными функциями времени.

Случайный процесс Х (t) может быть представлен ансамблем неслучайных функций времени x_i (t), называемых реализациями или выборками (см. рис.1).

Рис. 1. Реализации случайного процесса X (t)

Полной статистической характеристикой случайного процесса является n - мерная функция распределения: F_n (x₁, x₂,…, x_n; t₁, t₂,…, t_n), или плотность вероятности f_n (x₁, x₂,…, x_n; t₁, t₂,…, t_n).

Использование многомерных законов связанно с определенными трудностями, поэтому часто ограничиваются использованием одномерных законов f₁ (x, t), характеризующих статистические характеристики случайного процесса в отдельные моменты времени, называемые сечениями случайного процесса или двумерных f₂ (x₁, x₂; t₁, t₂), характеризующих не только статистические характеристики отдельных сечений, но и их статистическую взаимосвязь.

Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайного процесса, но случайные процессы могут быть достаточно полно охарактеризованы и с помощью, так называемых, числовых характеристик (начальных, центральных и смешанных моментов). При этом наиболее часто используются следующие характеристики: математическое ожидание (начальный момент первого порядка)

; (2)

средний квадрат (начальный момент второго порядка)

; (3)

дисперсия (центральный момент второго порядка)

; (4)

корреляционная функция, которая равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса

. (5)

При этом справедливо следующее соотношение:

(6)

Стационарные процессы — процессы, в которых числовые характеристики не зависят от времени.

Эргодические процессы — процесс, в которых результаты усреднения и по множеству совпадают.

Гауссовы процессы — процессы с нормальным законом распределения:

(7)

Этот закон играет исключительно важную роль в теории передачи сигналов, т. к большинство помех являются нормальными.

В соответствии с центральной предельной теоремой большинство случайных процессов являются гауссовыми.

Марковский процесс — случайный процесс, у которых вероятность каждого последующего значения определяется только одним предыдущим значением.

4. Формы аналитического описания сигналов

Сигналы могут быть представлены во временной, операторной или частотной области, связь между которыми определяется с помощью преобразований Фурье и Лапласа (см. рис.2).

Преобразование Лапласа:

L: L^-1: (8)

Преобразования Фурье:

F: F^-1: (9)

L:

L-1:

F-1: p=j

F: j=p

Рис. 2 Области представления сигналов

При этом могут быть использованы различные формы представления сигналов с виде функций, векторов, матриц, геометрическое и т. д.

При описании случайных процессов во временной области используется, так называемая, корреляционная теория случайных процессов, а при описании в частотной области — спектральная теория случайных процессов.

С учетом четности функций и и в соответствии с формулами Эйлера:

(10)

можно записать выражения для корреляционной функции R_x () и энергетического спектра (спектральной плотности) случайного процесса S_x (), которые связанны преобразованием Фурье или формулами Винера — Хинчина

; (11)

. (12)

5. Геометрическое представление сигналов и их характеристик

Любые n - чисел можно представить в виде точки (вектора) в n -мерном пространстве, удаленной от начала координат на расстоянии D,

где . (13)

Сигнал длительностью T_с и шириной спектра F_с, в соответствии с теоремой Котельникова определяется N отсчетами, где N = 2F_c T_c.

Этот сигнал может быть представлен точкой в n — мерном пространстве или вектором, соединяющим эту точку с началом координат.

Длина этого вектора (норма) равна:

; (14)

где x_i = x (nt) — значение сигнала в момент времени t = n. t.

Допустим: X — передаваемое сообщение, а Y — принимаемое. При этом они могут быть представлены векторами (рис.3).

X2, Y2

x2 X

d

y2 Y

X1, Y1

0 1 2 x1 y1

Рис. 3. Геометрическое представление сигналов

Определим связи между геометрическим и физическим представлением сигналов. Для угла между векторами X и Y можно записать

cos = cos (₁-₂) = cos₁ cos₂ + sin₁ sin₂ =

= (15)

Для N - отсчетов:

cos (16)

Найдем модуль формального вектора. Для этого рассмотрим кванто-ванный сигнал (рис. 4).

Рис. 4. График сигнала

Рис. 4. График сигнала

Средняя мощность сигнала

.

Энергия сигнала

.

Энергия кванта

.

Энергию квантованного сигнала можно определить по формуле

.

При этом модуль сигнала равен

.

Взаимная корреляционная функция равна

.

При этом

.

Это нормированная корреляционная функция

Если = 90^о, то _{xy (}) = 0 — сигналы ортогональны, т. е. независимы;

Если = 0, то _{xy (}) = 1 — передаваемый сигнал равен принятому;

Вектор d — характеризует (помеху) ошибку. Определим дисперсию ошибки:

По вектору ошибки определяют, допустима ли ее величина.

1. Hayes, M. H. Statistical Digital Signal Processing and Modeling. New York: John Wiley & Sons, 1996.

2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. «Радиотехника». — М.: Высш. шк., 2000.

3. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ., под ред.А. М. Трахтмана. — М., «Сов. радио», 1973, 368 с.

4. Гринченко А. Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. — Харьков: ХПУ, 2000.

5. Карташев В. Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. — М.: Высш. шк., 1982.

6. Колесник В. Д., Полтырев Г. Ш. Курс теории информации. -М.: Наука, 1982.

7. Куприянов М. С., Матюшкин Б. Д. — Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. — СПб.: Политехника, 1999.

8. Марпл С. Л. Цифровой спектральный анализ. М.: Мир, 1990.

9. Рудаков П. И, Сафонов В. И. Обработка сигналов и изображений Matlab 5. x. Диалог-МИФИ. 2000.

10. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — СПб.: Питер, 2002.