Экономико-математические методы

Задача 1.

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.

Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X₁ и мощности двигателя X₂ из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1.

2. Множественная зависимость.

С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.

Методом наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели.

.

Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.

Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.

3. Экономическая интерпретация.

На основе полученных статистических характеристик провести содержательный экономический анализ зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

Расчетная таблица:

Коэффициенты парной корреляции:

= = -0,833.

= = 0,665.

Проверка значимости:

(по таблице).

= 5,63 > 1,761.

= 3,33 > 1,761.

Коэффициенты корреляции существенно отличаются от 0.

Найдем матрицы:

=.

=.

Найдем матрицу, обратную к матрице. Определитель.

|X^TX| = 16 * 477 * 170 341 + 85 * 8444 * 1605 + 1605 * 85 * 8444 — 1605 * 477 * 1605 — 85 * 85 * 170 341 — 16 * 8444 * 8444 = 3 692 086.

Алгебраические дополнения:

D₁₁ = (-1)^{1 + 1} = 477 * 170 341 — 8444² = 9 951 521 и т. д.

Матрица алгебраических дополнений.

=.

Присоединенная матрица.

(X^TX)^* = D^T = = D.

(матрица D симметрична).

(X^TX) —¹ = (X^TX)^* / |X^TX| = =.

Вектор оценок коэффициентов модели:

A = (X^TX)^-1 (X^TY) = =.

Y = 10,455 — 1,650x₁ + 0,063x₂.

Расчетная таблица:

Остаточная дисперсия.

S² =? (y_i — _i)² / (n — m — 1) = 2,985 / (16 — 2 — 1) = 0,230.

Ковариационная матрица:

S² (X^TX)^-1 = 0,230 * =.

Стандартные ошибки коэффициентов равны квадратным корням из диагональных элементов ковариационной матрицы:

S₀ = = 0,787.

S₁ = = 0,096.

S₂ = = 0,005.

Проверим значимость параметров регрессии.

Табличное значение.

t_{1 — б/2, n — 3} = 1,77.

t₀ = |a₀| / S₀ = 10,455 / 0,787 = 13,3 > 1,77.

t₁ = |a₁| / S₁ = 1,650 / 0,096 = 17,1 > 1,77.

t₂ = |a₂| / S₂ = 0,063 / 0,005 = 12,4 > 1,77.

Все параметры значимы.

Коэффициент детерминации.

= 1 — 2,985 / 125,9 = 0,976.

Табличное значение критерия Фишера.

F_т = 3,8.

Расчетное значение.

F_ф = = = 267,7 > 3,8.

Уравнение значимо.

Точечный прогноз:

(x^p) = 10,455 — 1,650 * 3 + 0,063 * 165 = 15,83 тыс. у.е.

Интервальный прогноз.

Квантиль распределения Стьюдента (по таблице).

= t_{0,975; 13} = 2,16.

где S = = = 0,479.

x^p (X^TX)^-1(x^p)^T = = = 0,633.

= 0,479 * = 0,381.

_{В, Н} = 15,83 ± 2,16 * 0,381 = 15,83 ± 0,68.

_Н = 15,15.

_В = 16,51.

3. Экономическая интерпретация. Между возрастом автомобиля и его ценой существует тесная отрицательная связь (коэффициент корреляции -0,833): при увеличении возраста на 1 год (при фиксированной мощности двигателя) цена падает в среднем на 1,650 тыс. усл. ед.

Между мощностью двигателя и ценой автомобиля существует менее тесная положительная связь (коэффициент корреляции 0,665): при увеличении мощности на 1 л.с. (при фиксированном возрасте автомобиля) цена увеличивается в среднем на 0,063 тыс. усл. ед.

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что цена автомобиля при возрасте 3 года и мощности двигателя 165 л.с. будет находиться в пределах от 15,15 до 16,51 тыс. усл. ед.

Задача 3.

1. Для регрессионной модели.

и.

с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.

2. Для регрессионной модели проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:

а) парный коэффициент корреляции;

б) критерий «хи-квадрат» ч² на уровне значимости 0,05.

Расчетная таблица:

Статистика Дарбина-Уотсона.

= 7,11 / 2,81 = 2,53.

Табличные значения при n = 16, m = 2.

d_l = 0,98; d_u = 1,54.

Так как 4 — d_u < d < 4 — d_l, вопрос о наличии автокорреляции остается открытым (область неопределенности критерия).

Найдем коэффициент парной корреляции между объясняющими переменными.

r₁₂ = = -0,169.

Проверим значимость коэффициента корреляции.

= = 0,643 < 1,761.

Коэффициент незначим, т. е. мультиколлинеарность не имеет места.

Определитель матрицы коэффициентов парной корреляции:

Det ® = = 1 — 0,169² = 0,971.

Табличное значение статистики для df = 1 и б = 0,05 равно.

ч²_1;0,05 = 3,84.

Фактическое значение статистики.

= - (16 — 1 — (2 * 2 + 5) / 6) ln 0,971 = 0,39 < 3,84.

Мультиколлинеарность не имеет места, т. е. линейной зависимости между объясняющими переменными (возрастом автомобиля и мощностью двигателя) не существует. Это свидетельствует о надежности оценок параметров модели.