Экономико-математическая модель
На этом этапе осуществляется парное сравнение выборки результирующего показателя с выборками показателей, которые согласно теоретической модели рассматриваются как факторные, а также проверяется степень коррелируемости факторных показателей. Для этих целей строят и анализируют матрицы парных линейных коэффициентов корреляции r, которые изменяются от -1 до 1. Анализ применим лишь в случае линейной… Читать ещё >
Экономико-математическая модель (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Экономико-математическая модель
Экономико-математическая модель — это выраженная в формально-математических терминах экономическая абстракция, логическая структура которой определяется как объективными свойствами предметами описания, так и субъективным целевым фактором исследования, для которого это описание предпринимается.
Между моделью и ее прототипом не может существовать взаимооднозначного соответствия, так как модель — это абстракция, связанная с обобщениями и потерей информации. Адекватность реальной действительности — основное требование, предъявляемое к модели.
Конструктивно каждая математическая модель представляет собой совокупность взаимосвязанных математических зависимостей, отражающих определенные группы реальных экономических зависимостей.
Классифицируются экономико-математические модели по различным признакам, в том числе и по математическому инструменту, применяемому при моделировании.
Наиболее распространенными и эффективными математическими методами, которые нашли как теоретическое, так и практическое приложение в экономических исследованиях, являются: дифференциальное исчисление, математическая статистика, линейная алгебра, математическое программирование и другие.
Порядок построения экономико-математической модели
Для построения экономико-математической модели определяется объект исследования: экономика государства в целом, отрасль, предприятие, цех и т. п.
Формулируется цель исследования.
В рассматриваемом экономическом объекте выделяются структурные и функциональные элементы и выделяются наиболее существенные качественные характеристики этих элементов, влияющие на достижения поставленной цели.
Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определяется, какие из них будут рассматриваться как зависимые величины, а какие как независимые.
Формализуются взаимосвязи между определенными параметрами модели, т. е. строится собственно экономико-математическая модель.
Проводятся расчеты по модели и анализируются результаты полученных расчетов.
Если результаты оказываются неудовлетворительными с точки зрения неадекватности отображения моделируемого процесса или явления, то происходит возврат к одному из предшествующих пунктов и процесс повторяется.
Пример экономико-математической модели
Структуру предприятия удобно описывать организационной моделью, которая демонстрирует состав функциональных подразделений предприятия и связи их подчинения и взаимодействия.
При функциональной организационной структуре предприятие подразделяется на элементы, каждый из которых имеет свои задачи и обязанности. Характеристики и особенности того или иного подразделения соответствуют наиболее важным направлениям деятельности предприятия.
Функциональная организационная модель предприятия на примере ОАО швейная фабрика «Березка»:
Такой вид организационной модели, как правило, встречается в крупных организациях, когда необходимо обеспечить слаженную совместную работу большого числа функциональных подразделений.
Объектом исследования будет являться швейная фабрика «Березка», целью исследования — оценка эффективности работы выпуска продукции. Более подробно для разрешения поставленной цели будем рассматривать функциональный и структурный элемент объекта — производство.
Наиболее существенные и качественные характеристики этого элемента представлены ниже в таблице 1 за временной период с мая 2005 по май 2006.
Для построения экономико-математической модели применен метод математической статистики.
Расчеты по модели и анализ полученных результатов при использовании данного метода включает в себя этапы:
1.Графическое представление характеристик.
2.Предварительный статистический анализ (анализ данных по выборкам).
3.Корреляционный анализ данных.
4.Регрессионный анализ данных.
сырье, м погонный | затраты на оплату труда, тыс.руб. | материальные затраты, тыс.руб | амортизация, тыс.руб. | полная себестоимость, тыс.руб | ||
май | ||||||
июнь | ||||||
июль | ||||||
август | ||||||
сентябрь | ||||||
октябрь | ||||||
ноябрь | ||||||
декабрь | ||||||
январь | ||||||
февраль | ||||||
март | ||||||
апрель | ||||||
май | ||||||
Исходные данные ОАО швейная фабрика «Березка»
Таблица 1
Из исходных характеристик экономического объекта являются независимыми (Х1,Х2,Х3,Х4) или факторными признаками: сырье, затраты на оплату труда, материальные затраты, амортизация, а зависимой или результативным признаком (У) — полная себестоимость.
1. Графический анализ
Рисунок 1
2. Анализ данных по выборкам.
Предварительный статистический анализ представлен в таблице 2., в ходе которого по каждому параметру рассчитывались следующие статистические показатели: среднее значение показателя, стандартная ошибка, медиана, мода, стандартное отклонение, дисперсия выборки, эксцесс, ассиметричность, минимум, максимум, интервал, сумма, коэффициент вариации. Брался уровень надежности 95%.
Таблица 2 Результаты расчетов по этапу Статистический анализ:
СЫРЬЕ, М ПОГОННЫЙ | ЗАТРАТЫ НА ОПЛАТУ ТРУДА, Т.РУБ. | |||||
Среднее | 154,6 153 846 | Среднее | 16 053,69231 | |||
Стандартная ошибка | 21,57 531 188 | Стандартная ошибка | 2876,404 897 | |||
Медиана | Медиана | |||||
Мода | #Н/Д | Мода | #Н/Д | |||
Стандартное отклонение | 77,79 089 328 | Стандартное отклонение | 10 371,02535 | |||
Дисперсия выборки | 6051,423 077 | Дисперсия выборки | 107 558 166,7 | |||
Эксцесс | — 0,406 977 947 | Эксцесс | — 1,508 916 139 | |||
Асимметричность | 0,302 343 811 | Асимметричность | 0,16 663 109 | |||
Интервал | Интервал | |||||
Минимум | Минимум | |||||
Максимум | Максимум | |||||
Сумма | Сумма | |||||
Уровень надежности 95,0% | 47,856 628 | Уровень надежности 95,0% | 6267,147 886 | |||
Коэффициент вариации V,% | 50,31 251 804 | Коэффициент вариации V,% | 64,60 211 861 | |||
МАТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАТРАТЫ, Т.РУБ. | АМОРТИЗАЦИЯ, Т.РУБ. | ПОЛНАЯ СЕБЕСТОИМОСТЬ, Т.РУБ. | ||||
Среднее | 21 847,23077 | Среднее | 2371,846 154 | Среднее | 56 738,15385 | |
Стандартная ошибка | 2536,823 476 | Стандартная ошибка | 477,664 476 | Стандартная ошибка | 7447,106 319 | |
Медиана | Медиана | Медиана | ||||
Мода | #Н/Д | Мода | #Н/Д | Мода | #Н/Д | |
Стандартное отклонение | 9146,647 119 | Стандартное отклонение | 1720,87 539 | Стандартное отклонение | 26 850,92369 | |
Дисперсия выборки | 83 661 153,53 | Дисперсия выборки | 2 958 701,141 | Дисперсия выборки | 720 972 102,8 | |
Эксцесс | — 0,31 202 086 | Эксцесс | — 0,830 489 026 | Эксцесс | — 1,88 043 769 | |
Асимметричность | 0,37 275 084 | Асимметричность | 0,204 463 241 | Асимметричность | — 0,288 180 418 | |
Интервал | Интервал | Интервал | ||||
Минимум | Минимум | Минимум | ||||
Максимум | Максимум | Максимум | ||||
Сумма | Сумма | Сумма | ||||
Уровень надежности 95,0% | 5527,26 353 | Уровень надежности 95,0% | 1039,438 496 | Уровень надежности 95,0% | 16 225,85077 | |
Коэффициент вариации V,% | 41,86 639 129 | Коэффициент вариации V,% | 72,52 104 172 | Коэффициент вариации V,% | 47,32 428 157 | |
Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис > Анализ данных > Описательная статистика.
Выводы: стандартные отклонения выборок исходных данных по сравнению со значениями самих данных велики, т. е. разброс точек в выборках большой.
Отклонения максимальных и минимальных значений выборок от соответствующих медиан и среднего также велики. Это означает, что точки выборок расположены рассеяно.
Значения коэффициента вариации выборок позволяет судить об их неоднородности.
3. Корреляционный анализ данных.
На этом этапе осуществляется парное сравнение выборки результирующего показателя с выборками показателей, которые согласно теоретической модели рассматриваются как факторные, а также проверяется степень коррелируемости факторных показателей. Для этих целей строят и анализируют матрицы парных линейных коэффициентов корреляции r, которые изменяются от -1 до 1. Анализ применим лишь в случае линейной зависимости между признаками. Чем ближе значения коэффициента корреляции к -1 или к 1, тем выше степень коррелируемости соответствующих случайных величин. Однако, при r, близких к 1 или -1, регрессионные связи между соответствующими величинами устанавливаться не могут, так как эта ситуация означает фактически функциональную взаимосвязь показателей.
Значимость (существенность) линейного коэффициента корреляции проверяют на основе t-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза о равенстве коэффициента нулю, т. е. об отсутствии связи между х и у. Для этого определяется расчетное значение критерия:
(1)
где r — коэффициент корреляции,
n — число наблюденеий,
?r — среднее квадратическое отклонение кэффициента корреляции.
и сопоставляется с tтабличное с заданными параметрами (уровнем значимости ?, принимается обычно за 0,05, и числом степеней свободы? = n — 2, где n — число наблюдений).
Если tрасчетное › tтабличное, то нулевая гипотеза отвергается и линейный коэффициент считается значимым, а связь между х и у — существенной, если же неравенство обратное, то связь между х и у отсутствует.
Вообще говоря, отсутствие корреляционной связи между факторным признаками и наличие тесной связи (значение парных коэффициентов корреляции) между результативным и факторными признаками — условие включения этих факторных признаков в регрессионную модель.
Кроме того, при построении модели регрессии необходимо учитывать проблему мультиколлениарности (тесной зависимости между факторными признаками), которая существенно искажает результаты исследования.
Одним из индикаторов определения наличия мультиколлинеарности между факторными признаками является превышение величины парного коэффициента корреляции 0,8 (r? 0,8).
| сырье, м погонный | затраты на заработную плату, т.руб. | материальные затраты, тыс.руб | амортизация, тыс.руб. | полная себесто- имость, тыс.руб | |
сырье, м погонный | ||||||
затраты на заработную плату, т.руб. | 0,349 630 305 | |||||
материальные затраты, тыс.руб | 0,830 118 488 | 0,587 647 564 | ||||
амортизация, тыс.руб. | 0,377 214 053 | 0,759 164 207 | 0,612 169 366 | |||
полная себестоимость, тыс.руб | 0,678 604 269 | 0,909 886 866 | 0,825 715 323 | 0,8 247 215 | ||
Таблица 3
Для определения наличия мультиколлениарности и устранения мультиколлениарных признаков была построена и проанализирована матрица парных коэффициентов корреляции, см. таблица 3.
Матрица парных коэффициентов корреляции
Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис > Анализ данных > Корреляция.
Из таблицы 3 видно, что между факторными признаками Сырье и Материальные затраты коэффициент корреляции больше 0,8. Для устранения мультиколлинеарности необходимо исключить из корреляционной модели один из этих признаков, расчеты приведены в таблицах 4 и 5.
Матрица парных коэффициентов корреляции для модели без «Материальных затрат»
| сырье, м погонный | затраты на оплату труда, тыс.руб. | амортизация, тыс.руб. | полная себестоимость, тыс.руб | |
сырье, м погонный | |||||
затраты на оплату труда, тыс.руб. | 0,349 630 305 | ||||
амортизация, тыс.руб. | 0,377 214 053 | 0,759 164 207 | |||
полная себестоимость, тыс. руб | 0,678 604 269 | 0,909 886 866 | 0,824 721 504 | ||
Таблица 4
Матрица парных коэффициентов корреляции для модели без «Сырья»
| затраты на оплату труда, тыс.руб. | материальные затраты, тыс.руб | амортизация, тыс.руб. | полная себестоимость, тыс.руб | |
затраты на оплату труда, тыс.руб. | |||||
материальные затраты, тыс. руб | 0,587 647 564 | ||||
амортизация, тыс.руб. | 0,759 164 207 | 0,612 169 366 | |||
полная себестоимость, тыс.руб | 0,909 886 866 | 0,825 715 323 | 0,824 721 504 | ||
Таблица 5
В обеих моделях теперь отсутствует проблема мультиколлениарности, т.к. все парные коэффициенты между факторными признаками < 0,8.
Так как коэффициент корреляции r между результативным и факторными признаками больше > 0,3, то все признаки дальше участвуют в анализе.
Какую из этих двух модель необходимо выбрать покажет дальнейший анализ.
Для определения признаков рассчитали tрасчетное и взяли tтабличное, см. таблицы 6 и 7.
Матрица расчетных значений t — критерия Стьюдента
для модели без «Материальных затрат»
| сырье, м погонный | затраты на оплату труда, тыс.руб. | амортизация, тыс.руб. | полная себестоимость, тыс.руб | |
сырье, м погонный | |||||
Затраты на оплату труда, тыс.руб. | 1,237 707 018 | ||||
амортизация, тыс.руб. | 1,350 871 631 | 3,868 284 073 | |||
полная себестоимость, тыс. руб | 3,64 211 348 | 7,274 210 595 | 4,836 609 752 | ||
tтабличное | 2,200 985 159 | ||||
Таблица 6
Матрица расчетных значений t — критерия Стьюдента
для модели без «Сырья»
| затраты на оплату труда, тыс.руб. | материальные затраты, тыс. руб | амортизация, тыс.руб. | полная себестоимость , тыс. руб | |
затраты на оплату труда тыс.руб. | |||||
материальные затраты, тыс. руб | 2,408 806 699 | ||||
амортизация, тыс.руб. | 3,868 284 073 | 2,567 683 844 | |||
полная себестоимость, тыс.руб | 7,274 210 595 | 4,854 902 951 | 4,836 609 752 | ||
tтабличное | 2,200 985 159 | ||||
Таблица 7
Расчет производился в оболочке «Excel» вручную по формуле (1), tтабличное рассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из той же формулы.
Выводы: в результате сравнения tрасчетное и tтабличное выяснилось, что с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между результативным и факторными признаками является существенной (tрасчетное › tтабличное), неслучайной. Какую из этих двух модель лучше выбрать покажет дальнейший анализ.
4. Регрессионный анализ данных.
На этом этапе, используя метод наименьших квадратов, строится многофакторная регрессионная зависимость (уравнение регрессии) результирующего показателя от оставшейся после предшествующих шагов анализа факторных показателей.
Линейная модель, содержащая независимые переменные только в первой степени, имеет вид:
(2)
где а0 — свободный член,
а1…аn — параметры уравнения (коэффициенты регрессии),
х1…хn — значения факторных признаков.
Параметры уравнения регрессии рассчитываются методом наименьших квадратов, при этом решается система нормальных уравнений с к+1 неизвестными.
Для измерения степени совокупности влияния отобранных факторов на результативный признак рассчитывают совокупный коэффициент детерминации R2 и совокупный коэффициент множественной корреляции R — общие показатели тесноты связи признаков. Пределы изменения: 0? R? 1. Чем ближе R к 1, тем точнее уравнение множественной линейной регрессии отражает реальную связь.
Проверка значимости моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью t — критерия Стьюдента (отношение коэффициента регрессии к его средней ошибке):
(3)
Коэффициент регрессии считается статистически значимым, если tрасчетное › tтабличное с заданными параметрами (уровнем значимости ?, = 0,05, и числом степеней свободы? = n — к -1, где n — число наблюдений, к — число факторных признаков).
Проверка адекватности модели осуществляется с помощью F — критерия Фишера и величины средней ошибки аппроксимации, которая не должна превышать 12 — 15%. Если величина Fрасчетное > Fтабличное, то связь признается существенной. Fтабличное находиться при заданном уровне значимости? = 0,05 и числе степеней свободы v1 =k и v2 = n-k-1. (4)
Модель без учета «Материальных затрат»
В таблице 8 сгенерированы результаты по регрессионной статистике.
Регрессионная статистика | ||
Множественный R | 0,997 434 896 | |
R-квадрат | 0,994 876 372 | |
Нормированный R-квадрат | 0,993 168 496 | |
Стандартная ошибка | 2219,306 976 | |
Наблюдения | ||
Таблица 8
Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:
Множественный R — коэффициент корреляции R,
R-квадрат — коэффициент детерминации R2;
F табличное | |
3,862 548 358 | |
В таблице 9 сгенерированы результаты дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R2.
Таблица 9
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
Регрессия | 582,5 226 438 | 1,2734E-10 | ||||
Остаток | 44 327 911,1 | 4 925 323,455 | ||||
Итого | ||||||
Df — число степеней свободы, SS — сумма квадратов отклонений,
MS — дисперсия MS, F — расчетное значение F-критерия Фишера,
Значимость F — значение уровня значимости, соответствующее вычисленному F;
| Коэффи циенты | Стандарт ная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
полная себесто- имость, тыс.руб | 2857,593 011 | 1130,14 906 | 2,528 810 014 | 0,94 646 561 | 603,5 411 613 | 6318,727 183 | |
сырье, м погонный | 132,3 000 047 | 8,941 959 918 | 14,79 541 464 | 1,27093E-07 | 112,71 886 | 152,5 281 233 | |
затраты на оплату труда, тыс.руб. | 1,586 039 072 | 0,95 432 478 | 16,61 948 958 | 4,61669E-08 | 1,370 155 809 | 1,801 922 334 | |
амортизация, тыс.руб. | 3,357 368 468 | 0,582 082 818 | 5,76 785 358 | 0,270 158 | 2,40 605 653 | 4,674 131 282 | |
В таблице 10 сгенерированы значения коэффициентов регрессии и их
статистические оценки.
t табличное | 2,306 004 133 | |
Таблица 10
Коэффициенты — значения коэффициентов регрессии, Стандартная ошибка — стандартные ошибки коэффициентов регрессии,
t — статистика — расчетные значения t — критерия Стьюдента, вычисляемые по формуле 2,
Р-значения — значения уровней значимости, соответствующие вычисленным значениям t,
Нижние 95% и Верхние 95% - соответствующие границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.
В таблице 11 сгенерированы предсказанные значения результирующего фактора Y и значения остатков. Последние вычисляются как разность между предсказанным и исходным значениям Y.
Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки | |
78 576,42428 | — 412,4 242 814 | ||
61 255,20002 | — 187,2 000 206 | ||
33 691,17456 | — 3127,174 561 | ||
31 418,51735 | 331,4 826 465 | ||
91 894,70678 | 1716,293 221 | ||
79 104,48549 | — 2045,485 491 | ||
56 074,39615 | — 2280,396 148 | ||
79 355,80571 | 1974,194 293 | ||
58 940,14712 | — 1761,147 116 | ||
88 956,30336 | 682,6 966 372 | ||
49 227,81005 | 2011,189 951 | ||
18 467,43597 | 3221,564 032 | ||
10 633,59316 | — 123,5 931 632 | ||
Таблица 11
Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис > Анализ данных > Регрессия.
tтабличное рассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из формулы (3).
Fтабличное рассчитывалось с помощью функции FРАСПОБР исходя из формулы (4).
Модель без учета «Сырья»
Регрессионная статистика | ||
Множественный R | 0,983 232 832 | |
R-квадрат | 0,966 746 802 | |
Нормированный R-квадрат | 0,955 662 403 | |
Стандартная ошибка | 5653,863 353 | |
Наблюдения | ||
Таблица 12
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
Регрессия | 87,21 688 674 | 5,68904E-07 | ||||
Остаток | 287 695 537,3 | 31 966 170,81 | ||||
Итого | ||||||
Таблица 13
| Коэффи циенты | Станда ртная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
полная себесто имость, тыс.руб | 1992,888 488 | 4236,311 712 | 0,470 430 087 | 0,649 239 402 | — 7590,314 376 | 11 576,09135 | |
затраты на оплату труда, тыс.руб. | 1,430 363 491 | 0,248 983 274 | 5,744 817 576 | 0,278 107 | 0,867 124 195 | 1,993 602 788 | |
матери альные затраты, тыс.руб | 1,187 585 684 | 0,232 389 908 | 5,11 031 521 | 0,636 233 | 0,661 883 189 | 1,713 288 179 | |
аморти зация, тыс.руб. | 2,461 032 929 | 1,536 123 969 | 1,602 105 675 | 0,143 596 048 | — 1,13 920 904 | 5,935 986 761 | |
t табличное | 2,306 004 133 | |
Таблица 14
Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки | |
65 758,37475 | 12 405,62525 | ||
60 420,80042 | 647,1 995 839 | ||
30 995,16308 | — 431,1 630 845 | ||
29 093,4229 | 2656,577 097 | ||
99 410,20661 | — 5799,206 609 | ||
74 070,10843 | 2988,891 574 | ||
55 740,66995 | — 1946,669 945 | ||
77 635,1743 | 3694,825 697 | ||
63 565,34811 | — 6386,348 112 | ||
89 934,05543 | — 295,554 319 | ||
55 762,64509 | — 4523,645 092 | ||
23 554,57043 | — 1865,57 043 | ||
11 655,4605 | — 1145,460 501 | ||
Таблица 15
Все пояснения к таблицам, а также способ расчета, указаны в модели без учета «Материальных затрат» .
Перейдем к анализу сгенерированных таблиц обеих моделей.
Значение множественного коэффициента регрессии R в модели без учета «Материальных затрат» равно 0, 997, а в модели без учета «Сырья» равно 0,983. Это позволяет сделать вывод, что первая модель точнее отражает реальную связь.
При оценке значимости коэффициентов регрессии с помощью сравнения расчетного и табличного значений t — критерия Стьюдента стало очевидно, что следует выбрать модель «Материальных затрат». В данной модели tрасчетное найденных коэффициентов превышает tтабличное (см. таблицу 10) t — критерия Стьюдента, что позволяет сделать вывод, что коэффициенты регрессии в уравнении являются значимыми.
Тогда как в модели без учета «Сырья» два коэффициента регрессии ниже tтабличное (см. таблицу 14), что говорит об отсутствии их значимости.
Проверку адекватности модели осуществляем уже только с моделью без учета «Материальных затрат».
Значение средней ошибки аппроксимации не превышает 12−15%, что хорошо видно на рисунке 2, так как разница между предсказанным и исходным результирующим фактором Y очень небольшая.
Рассчитанный уровень значимости (см. таблицу 9) равен 1,2734E-10 < 0,05, это подтверждает значимость R2. Значение Fрасчетное — критерия Фишера больше Fтабличное, значит связь между признаками признается существенной.
Рисунок 2
Таким образом, получаем искомое уравнение регрессии:
Выводы: Выполнив данную работу по этапам, была построена экономико-математическая модель методом математической статистики на примере ОАО швейной фабрики «Березка». Модель имеет вид:
.
Выбранные факторы Х1, Х2 и Х3 существенно влияют на У, что подтверждает правильность их включения в построенную модель.
Так как коэффициент детерминации R2 значим, то это свидетельствует о существенности связи между рассматриваемыми признаками.
Отсюда следует, что построенная модель эффективна.