Физические основы гидродинамики

Физические основы гидродинамики

• СОДЕРЖАНИЕ
• 1. Физические основы гидродинамики
• 1.1 Основные понятия гидродинамики. Условие неразрывности струи
• 1.2 Уравнение Бернулли
• 1.3 Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Формула Ньютона
• 1.4 Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля
• 1.5 Методы определения вязкости жидкости
• 1.6 Реологические свойства крови, плазмы и сыворотки. Факторы, влияющие на вязкость крови в организме. Особенности течения крови в крупных и мелких сосудах
• Список использованных источников
• 1. Физические основы гидродинамики
• 1.1 Основные понятия гидродинамики. Условие неразрывности струи
• Гидродинамикой называют раздел физики, в котором изучают вопросы движения несжимаемых жидкостей и взаимодействие их при этом с окружающими твердыми телами.
• Идеальной называется жидкость несжимаемая и не имеющая вязкости.
• Течение жидкости условно изображают линиями тока — воображаемыми линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости частиц, а их густота пропорциональна значению скорости.

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости.

Установившимся или стационарным называется течение, при котором скорости частиц в каждой точке потока со временем не изменяются (при этом условии линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости).

Через любое сечение струи в единицу времени протекают одинаковые объёмы несжимаемой жидкости, равные произведению площади сечения на скорость:

S1V1=S2V2, или SV=const, (1)

где S — поперечное сечение струи, V — модуль скорости течения жидкости в любой точке выбранного сечения струи.

Уравнение выражает условие неразрывности струи, так как только при сплошном течении через любое сечение за одно и то же время проходит одинаковое количество жидкости.

Гемодинамика — раздел физиологии кровообращения, использующий законы гидродинамики для исследования причин, условий и механизмов движения крови в сердечно-сосудистой системе. Гемодинамика одновременно является и областью биофизики кровообращения, которая рассматривает все физические явления и процессы, происходящие в системе кровообращения.

1.2 Уравнение Бернулли

Рассмотрим трубку тока малого сечения (рис. 1). Жидкость, выделенного объема, переместится из положении 1 в положение 2. Так как течение стационарное, то никаких энергетических изменений с жидкостью не произойдёт. Изменение энергии (потенциальной и кинетической) жидкости при перемещении объёма от положения 1 к 2 равно работе, которую необходимо совершить над жидкостью для перемещения выделенного объёма из положения 1 в положение 2. Считая объёмы цилиндрическими, можно записать:

V=S1l1=S2l2 (2)

Если скорость жидкости в пределах каждого заштрихованного объёма одинакова (равна v1 и v2 для положений 1 и 2 соответственно), то изменение кинетической энергии жидкости равно:

(3)

так как m=S1l1=S2l2, где — плотность жидкости.

Вычислим работу внешних сил, действующих на жидкость. Силы со стороны соседних трубок тока нормальны к поверхности рассматриваемой трубки и работы не совершают. Работа сил, оказывающих давления р1 и р2 на торцы объёма 1 — 2 при его перемещении,

Рис. 1. Схема трубки тока жидкости для вывода формулы Бернулли.

AР = F1 l1 — F2 l2 = p1S1 l1 — p2S2 l2. (4)

Работа силы тяжести:

АТ = mgh1 — mgh2 = S1 l1gh1 — S2 l2gh2. (5)

Согласно закону сохранения энергии

Ek= AР+ АТ,

(S2l2V22 — S1l1V12) = p1S1l1 — p2S2l2 + S1l1gh1 — S2l2gh2 (6)

откуда сокращая на S1l1 = S2l2 и перегруппировывая слагаемые, имеем:

Так как выбор сечения трубки произволен, то индексы можно опустить:

. (7)

— это уравнение Бернулли.

Слагаемые, входящие в уравнение Бернулли имеют размерность и смысл давления. Давление р называют статическим; оно не связано с движением жидкости и может быть измерено, например, манометром, перемещающимся вместе с жидкостью.

Давление называют динамическим; оно обусловлено движением жидкости и проявляется при ее торможении. Сумма статического и динамического давлений есть полное давление:

рП = р + .

Давление gh — весовое. В состоянии невесомости весовое давление отсутствует, с увеличением перегрузок оно возрастает.

В различных точках линии тока идеальной жидкости сумма статического, динамического и весового давлений одинакова.

Рассмотрим некоторые частные случаи, вытекающие из уравнения Бернулли.

1)Наклонная трубка тока постоянного сечения

V = const, тогда p1 + gh1 = p2 + h2g или p2 — p1 = g (h1 — h2),

p = gh.

В этом случае, как и в гидростатистике, разность давлений обусловлена разностью весов соответствующих столбов жидкости.

2)Горизонтальная трубка тока переменного сечения. Всасывающее действие струи Так как h1 = h2 (рис. 2), то

.

Полное давление в разных сечениях горизонтальной трубки тока одинаково. В более узких местах S2 < S1, V2 > V1, p2 < p1.

Рис. 2. Можно сделать столь узкое сечение трубки, что вследствие малого давления (ниже атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух или жидкость (так называемое всасывающее действие струи). Это явление используют в водоструйных насосах, ингаляторах и пульверизаторах.

3) Измерение скорости жидкости. Трубка Пито.

Выберем в движущемся потоке жидкости точки 1 и 2, лежащие на одной линии тока (рис. 3).

Рис. 3 Так как трубка горизонтальная, а V2 = 0, то на основании (7) запишем:

откуда .

Трубку 2, изображенную на рисунке называют трубкой Пито, по высоте h2 столба жидкости в которой измеряют полное давление р2 .

Статическое давление р1 движущейся жидкости определяют при помощи трубки 1 по высоте h1 столба.

4) Закупорка артерии Образование атеросклеротической бляшки в артерии диаметром d1 вызывает сужение просвета артерии до диаметра d2 (рис.4).

Пусть артерия расположена горизонтально.

Течение крови по артерии будет происходить до того момента, пока статическое давление Р2 в месте образования атеросклеротической бляшки будет превышать наружное давление на сосуд Р0 (его можно считать приблизительно равным атмосферному). То есть, кровоток возможен при условии:

Р2 — Р0 0. (8)

Это реализуется, если d2 dmin.

Запишем уравнение Бернулли и условие неразрывности струи для нашего случая:

(9)

Откуда (10)

Вычисленный по формуле 10 минимальный диаметр сонной артерии равен dmin 2 мм.

Если диаметр сужения станет меньше dmin, тогда под действием внешнего давления Р0 просвет сосуда в месте расположения атеросклеротической бляшки закроется и кровоток полностью остановится. Однако, в организме как в любой сложной системе существуют компенсационные механизмы. При сужении артерии сердце начинает работать в более напряженном режиме, в результате чего давление Р1 в артерии начнет возрастать, и кровь с усилием протекает через сужение. С помощью фонендоскопа можно услышать прерывистый шум во время работы сердца, свидетельствующий о нарушении нормального кровотока.

5) Разрыв аневризмы.

При некоторых патологиях наблюдается локальное снижение прочности и упругости кровеносных сосудов. Как следствие этого на некотором участке кровеносного сосуда его деформация под действием пульсирующего кровотока становится необратимой, и возникает вздутие сосуда (аневризма).

Скорость кровотока в месте развития аневризмы по условию неразрывности струи будет меньше, чем скорость кровотока в его недеформированной части. Согласно уравнению Бернулли, статическое давление в месте вздутия будет больше статического давления на участках сосуда нормального сечения. Нагрузка на расширенную часть сосуда увеличится, и возникшая аневризма под действием повышенного давления будет иметь тенденцию к расширению. В результате возможен разрыв аневризмы.

1.3 Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Формула Ньютона

При течении реальной жидкости между слоями, перемещающимися с различной скоростью, возникают силы внутреннего трения (вязкости). Эти силы, касательные к слоям, направлены так, что ускоряют медленно движущиеся слои и замедляют быстро движущиеся.

Рассмотрим ламинарный поток вязкой жидкости по горизонтальному руслу.

Рис. 5

Слой, «прилипший» ко дну неподвижен. По мере удаления от дна скорость жидкости увеличивается. Максимальная скорость жидкости будет у слоя, который граничит с воздухом. Сила внутреннего трения пропорциональна площади взаимодействующих слоев S и тем больше, чем больше их относительная скорость. Так как разделение на слои условно, то принято выражать силу в зависимости от изменения скорости, приходящегося на единицу длины в направлении, перпендикулярном скорости, то есть от величины, называемой градиентом скорости (grad V):

Fтр =. (11)

— это уравнение Ньютона.

Здесь — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом внутреннего трения, или динамической вязкостью. Вязкость зависит от химического состава, примесей и температуры. С повышением температуры вязкость жидкости уменьшается по закону:

. (12)

где коэффициент, А постоянен для каждой жидкости.

Единицей измерения в «СИ» является Н сек / м2, =Па с, 1Па с = 10П = 103 сП; в СГС — дин сек/см2, эта единица называется пуазом. 1 пз = 0,1 м сек/м2.

Величина

(13)

гдеплотность жидкости, называется кинематической вязкостью.

Относительной вязкостью называется величина, равная

(14)

где — вязкость исследуемой жидкости, 0- вязкость стандартной жидкости.

Величина, обратная коэффициенту вязкости, называется текучестью.

Для растворов вязкость увеличивается с повышением концентрации растворенного вещества. При изучении свойств растворов иногда вводят характеристическую вязкость.

(15)

где с — концентрация растворенного вещества, отн — относительная вязкость раствора по отношению к вязкости растворителя.

Характеристическая вязкость не зависит от концентрации растворенного вещества, но связана с важными параметрами, такими как молекулярная масса, форма молекул и т. д.

Связь между характеристической вязкостью и молекулярной массой М выражается с помощью обобщенного уравнения Штаудингера:

(16)

где К — константа, характерная для данного гомологического ряда макромолекул, — величина, характеризующая степень свертывания макромолекул в растворе. Эти величины при расчете берут из таблиц.

Ньютоновские и неньютоновские жидкости

У большинства жидкостей (вода, низкомолекулярные органические соединения, истинные растворы, расплавленные металлы и их соли) коэффициент вязкости зависит только от природы жидкости и температуры. Такие жидкости называются ньютоновскими и силы внутреннего трения, возникающие в них, подчиняются закону Ньютона (формула 11).

У некоторых жидкостей, преимущественно высокомолекулярных (например, растворы полимеров) или представляющих дисперсионные системы (суспензии и эмульсии), зависит также от режима течения — давления и градиента скорости. При их увеличении вязкость жидкости уменьшается вследствие нарушения внутренней структуры потока жидкости. Их вязкость характеризуют так называемым условным коэффициентом вязкости, который относится к определенным условиям течения жидкости (давление, скорость). Такие жидкости называются структурно вязкими или неньютоновскими.

гидродинамика жидкость вязкость кровь

1.4 Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля

Занимаясь исследованием кровообращения, французский врач и физик Пуазейль пришел к необходимости количественного описания процессов течения вязкой жидкости вообще. Установленные им для этого случая закономерности имеют важное значение для понимания сущности гемодинамических явлений и их количественного описания.

Пуазейль установил, что вязкость жидкости может быть определена по объему жидкости, протекающей через капиллярную трубку. Этот метод применим только к случаю ламинарного течения жидкости.

Пусть на концах вертикальной капиллярной трубки длиной l и радиусом R создана постоянная разность давлений р. Выделим внутри капилляра столбик жидкости радиусом r и высотой h. На боковую поверхность этого столбика действует сила внутреннего трения:

(17)

Если р1 и р2 — давления на верхнее и нижнее сечения соответственно, то силы давления на эти сечения будут равны:

F1=p1r2 и F2=p2r2.

Сила тяжести равна Fтяж=mgh=r2gl.

При установившемся движении жидкости, согласно второму закону Ньютона:

Fтр+Fдавления+Fтяж=0,

Учитывая, что (р1-р2)=р, dv равно:

Интегрируем:

Постоянную интегрирования находим из условия, что при r=R скорость v=0 (слои, прилегающие непосредственно к трубе, неподвижны):

Скорость частиц жидкости в зависимости от расстояния от оси равна:

Объем жидкости, протекающий через некоторое сечение трубки в пространстве между цилиндрическими поверхностями радиусами r и r+dr за время t, определяется по формуле dV=2rdrvt или:

Полный объем жидкости, протекающей через сечение капилляра за время t:

(19)

В случае, когда пренебрегаем силой тяжести жидкости (горизонтальный капилляр), объем жидкости, протекающий через сечение капилляра, выражается формулой Пуазейля:

(20)

Формулу 20 можно преобразовать: разделим обе части этого выражения на время истечения t. Слева получим объемную скорость течения жидкости Q (объем жидкости, протекающий через сечение за единицу времени). Величину 8l/ 8R4 обозначим через Х. Тогда формула 20 принимает вид:

(21)

Такая запись формулы Пуазейля (ее еще называют уравнением Гагена-Пуазейля) аналогична закону Ома для участка электрической цепи.

Можно провести аналогию между законами гидродинамики и законами протекания электрического тока по электрическим цепям. Объемная скорость течения жидкости Q является гидродинамическим аналогом силы электрического тока I. Гидродинамическим аналогом разности потенциалов 1−2 является перепад давлений Р1 — Р2. Закон Ома I = (1−2)/R имеет своим гидродинамическим аналогом формулу 20. Величина Х представляет собой гидравлическое сопротивление — аналог электрического сопротивления R.

1.5 Методы определения вязкости жидкости

Совокупность методов измерения вязкости называют вискозиметрией, и приборы, используемые для таких целей — вискозиметрами.

1. Капиллярные методы основаны на законе Пуазейля и заключаются в измерении времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном перепаде давлений.

Вискозиметр Оствальда.

Вискозиметр Оствальда представлен на рисунке 7.

С помощью вискозиметра Оствальда определяют вязкость исследуемой жидкости относительным методом. Измеряют время истечения определенного объема (между двумя метками 2, см. рис. 7.) исследуемой и эталонной жидкостей t и t0 соответственно. Объемы жидкостей равны:

где р=gl и р0=0gl перепад давлений для исследуемой и эталонной жидкостей.

Выразим из формулы величину вязкости исследуемой жидкости:

(22)

где 0- вязкость эталонной жидкости, в качестве которой чаще всего используют дистиллированную воду.

Вискозиметр ВК-4.

Вискозиметр Оствальда требует много исследуемой жидкости. В клинической практике используют вискозиметр (рис. 8). Капиллярный вискозиметр ВК-4 применяется для определения вязкости крови.

Рис. 8. Внешний вид вискозиметра ВК-4.

1 и 2 — градуированные пипетки, 3 — подставка, 4 — кран, 5 — резиновая трубка, через которую отсасывают воздух из прибора.

Принцип действия вискозиметра ВК-4 состоит в том, что путь, пройденный жидкостью в капиллярах одинакового сечения при одинаковых давлениях и температурах, обратно пропорционален внутреннему трению или вязкости. Отсюда:

(23)

Измерив пути l0 и l, пройденные дистиллированной водой и кровью, и зная вязкость 0 дистиллированной воды, находят вязкость крови.

1) Метод падающего шарика (метод Стокса)

Метод основан на измерении скорости падения маленьких шариков в исследуемой жидкости (рис. 9).

На падающий шарик радиусом r из вещества с плотностью в вязкой жидкости с плотностью 0 и вязкостью действуют силы:

- сила тяжести ,

- выталкивающая сила ,

- сила сопротивления жидкости, которая, согласно закону Стокса, равна FB=6 rV, где Vскорость шарика.

Рис. 9. Схема для объяснения принципа метода Стокса

При равномерном движении шарика Fтяж = FA + FB, откуда

. (24)

Метод применяется при изучении оседания взвешенных частиц (крахмальных зерен, порошка какао и т. п.).

2) Ротационные методы Измерение вязкости ротационным вискозиметром основано на определении скорости вращения цилиндра, опущенного в вязкую жидкость.

1.6 Реологические свойства крови, плазмы и сыворотки. Факторы, влияющие на вязкость крови в организме. Особенности течения крови в крупных и мелких сосудах Кровь относят к неньютоновским жидкостям. Кровь представляет собой взвесь форменных элементов (эритроцитов, лейкоцитов и т. п.) в плазме. Вязкость крови в норме равна 4−5 мПа.с. Для сравнения, вязкость воды при температуре 200С равна 1 мПа.с. При различных патологиях значения вязкости крови колеблется в пределах от 1,7 до 22,9 мПа.с.

Таблица. 1

Относительные вязкости крови, плазмы и сыворотки крови.

(Относительной вязкостью биологической жидкости называют отношение ее вязкости к вязкости воды.)

Факторы, влияющие на вязкость крови в организме.

Реологические свойства крови зависят, в основном, от скорости сдвига, свойств плазмы, относительного объема эритроцитов и механических свойств эритроцитов.

Скорость сдвига.

Скоростью сдвига называют величину градиента скорости движения параллельных слоев жидкости (). Вязкость крови зависит от скорости сдвига в диапазоне 0,1−120 с-1. При скорости сдвига100 с-1 вязкость достигает значения асимптотической вязкости и при дальнейшем увеличении скорости сдвига (200 с-1) не меняется (рис.10).

Рис. 10. Зависимость вязкости крови и ньютоновской жидкости от скорости сдвига При низких скоростях сдвига в крови эритроциты выстраиваются в монетные столбики. Это определяет высокую вязкость крови, которая, строго говоря, в этом случае не может рассматриваться как чистая жидкость. По мере увеличения скорости сдвига, агрегаты эритроцитов распадаются, и вязкость крови снижается, приближаясь постепенно к некоторому пределу. При высоких скоростях сдвига, например, в крупных артериях, кровь можно рассматривать как ньютоновскую жидкость. Только в этом случае кровь рассматривается как суспензия форменных элементов и ее свойства можно изучать in vitro на модели суспензии эритроцитов в физиологическом растворе.

Плазма Плазма ведёт себя как линейно-вязкая ньютоновская жидкость с относительной вязкостью 1,2. При рассмотрении течения в артериальных сосудах плазма принимается несжимаемой и вязкой с кинематической вязкостью 0,04 см2/с.

Неньютоновскому характеру крови придает наличие форменных элементов крови, в основном, эритроцитов.

Гематокрит Одним из основным факторов, определяющих вязкость крови является объемная концентрация эритроцитов. Отношение суммарного объема эритроцитов к объему плазмы крови называют гематокритом (Vэр/Vпл). В норме гематокрит равен 0,4−0,5 отн. ед. С повышением гематокрита вязкость крови увеличивается (рис.11).

Рис. 11. Зависимость вязкости крови от показателя гематокрита Механические свойства эритроцитарной мембраны. Особенности течения крови по крупным и мелким кровеносным сосудам В кровеносных сосудах происходит ориентация и агрегация эритроцитов в монетные столбики, а в капиллярах деформация эритроцитов. Условия образования агрегатов различны в крупных и мелких сосудах. Это связано с соотношением размеров сосуда, эритроцита (dэр8 мкм) и агрегата (dагр=10dэр) (см. таблицу 2). Плотность эритроцитов возрастает по мере приближения к оси кровеносного сосуда, что приводит к уплощению профиля скорости, являющегося параболическим в случае ньютоновской жидкости. В прилегающих к стенке сосуда областях кровь оказывается менее плотной. Этот обедненный эритроцитами слой крови (1 мкм) является наименее вязким (отн 2, вместо 3,3). Кровь здесь движется быстрее.

В мелких сосудах толщина пристеночного слоя составляет существенную часть поперечного сечения, и, следовательно, гематокрит в капиллярах заметно меньше, чем в крупных сосудах.

Таблица 2.

При микроциркуляции эритроциты и плазма рассматриваются отдельно. Капилляры — мельчайшие сосуды диаметром от 5 до 10 мкм. При течении крови в капиллярах эритроциты могут проходить только по одному, а в более узких они даже деформируются. Эритроциты протискиваются по капиллярам, диаметр которых меньше диаметра эритроцита (дискоцита).

Эритроциты представляют собой микроскопические двояковогнутые диски диаметром около 8 мкм, толщиной в центре около 1,4 и на периферии — около 2 мкм. В 1 см³ находится их около 5 миллионов эритроцитов. Основное содержимое эритроцита — белок-переносчик кислорода — гемоглобин. Мембрана эритроцита (толщина 7 — 10 нм) с внутренней стороны укреплена цитоскелетом. Наличие цитоскелета не делает эритроцит жестким. Места вогнутости на эритроцитарной мембране не привязаны к конкретным местам мембраны, а могут перемещаться. Эластичность мембраны эритроцита важна для течения крови по капиллярам. Эластичность эритроцитарной мембраны уменьшается со старением эритроцита, а также при некоторых патологиях. На неньютоновское поведение крови влияют механические свойства мембран эритроцитов, сывороточных белков и плазмы крови, а также явление электровязкости. (Явление электровязкости — у макромолекул, несущих заряд, вязкость больше, поэтому вязкость белков в растворе минимальна в изоэлектрической точке).

Список использованных источников

1. Биофизика. Учеб. для студ. высш. уч. заведений. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. — 288 с.

2. Медицинская и биологическая физика: Учеб. для мед. спец. вузов. — М.: Высш. школа, 1996. — 608 с.

3. Ильич Г. К. Колебания и волны. Акустика. Гемодинамика: Учебное пособие.- Мн.: МГМИ, 2000.-91 с.

4. Владимиров Ю. А., Ропщукин Д. И, Потапенко А. Я., Деев А. И. Биофизика: Учебник. — М.: Медицина, 1983. — 272 с.