Решение математических задач с помощью алгоритмического языка Turbo Pascal, Microsoft Excel, пакета MathCAD и разработка программ в среде Delphi

Московский Гуманитарный Техникум Экономики и Права

Курсовая работа по курсу:

Информатика, вычислительная

техника и программирование на ПЭВМ

Решение математических задач с помощью алгоритмического языка Turbo Pascal, Microsoft Excel, пакета MathCAD и разработка программ в среде Delphi"

Москва 2008

• Задание1 (а) Решение циклических программ
• Задание 1 (б) Решение программы вычисления функции с условием
• Решение уравнения в табличном редакторе Microsoft Excel
• Задание 1 (в) вычисление массива
• Решение уравнения в Turbo Pascal
• Задание 1 (г) вычисление суммы в Microsoft Excel
• Задание 2. Интегрирование функции
• Вычислить определённый интеграл
• 1. Метод прямоугольников
• 2. Метод трапеции
• 3. Метод симпсона
• 4. С автоматическим выбором шага
• Задание 3. Решение системы линейных уравнений
• Решение уравнения с помощью MathCAD
• Задание 4. Решение нелинейного уравнения
• Задание 5. Организация нахождения минимума и максимума элемента в массиве случайных чисел в среде пакета MathCAD
• Задание 6

Задание 1. Решение уравнения в табличном редакторе Microsoft Excel

Табличный редактор Microsoft Excel представляет собой электронную таблицу разбитую на ячейки.

В ячейки одного из столбцов вводятся значения переменной В ячейки другого столбца, строка которого соответствует номеру первой ячейки столбца переменных, ставят «=» и вводят формулу. Затем нажимают Enter и табличный редактор выполняет поставленную задачу.

Решение уравнения с помощью MathCAD.

Данная задача в MathCAD будет выполнятся с использованием ранжированной переменной. В среде пакета MathCAD для выполнения итеративных вычислений предусмотрен аппарат ранжированных переменных.

Ранжированная переменная-это переменная, которой приписан диапазон изменения значений.

Пример ранжированной переменной:

x: =a, b. c,

где x — переменная, a, b, c — значения, которые принимает переменная, т. е. a-первое значение, b-второе значение, т. е. (b-a) — шаг изменения переменной, и c-последнее значение.

Функция представлена в виде ранжированного выражения, т. е. выражения в котором присутствуют p-переменные.

Решение уравнения в Turbo Pascal

Арифметические выражения строятся из констант, переменных, функций и операций над ними.

Правила использования выражений:

1. Выражение записывается в одну строку.

2. Используются только круглые скобки, число открывающихся скобок должно соответствовать числу закрывающихся скобок.

3. Нельзя записывать подряд два знака арифметических операций.

Структура программы в Turbo Paskal

Program <�имя программы>; ] 1

uses <�описание модулей>;

lable <�метки>;

const <�объявление констант>;

type <�объявление типов данных>; 2

var < объявление переменных>;

< описание процедур и функций>;

begin

операторы 3

end.

Заголовок программы: служебное слово program и имя;

Раздел описаний: описываются все идентификаторы объектов, используемые в данной программе. Описать идентификатор — значит указать его имя и тип.

Раздел операторов: указывается последовательность действий, которые необходимо.

Повторение (циклический алгоритм) — это алгоритм, в котором предусмотрено неоднократное выполнение одной и той же последовательности действий.

Последовательность действий, выполняемая в цикле, называется телом цикла.

Переменная, которая хранит число повторений цикла, называется параметром (счетчиком) цикла.

Цикл позволяет многократно выполнять отдельный оператор или последовательность операторов.

Различают следующие циклы: с параметром, с предусловием, с пост условием.

Цикл с предусловием и пост условием, как правило, используется для организации приближенных вычислений, задач поиска и обработки данных, вводимых с клавиатуры или файла.

Цикл с параметром используется, если известно число повторений и реализуется с помощью оператора FOR общий вид которого следующий:

FOR параметр цикла: = начальное значение TO (DOWNTO) конечное значение

DO BEGIN Оператор1

Оператор2

END:

Параметр должен быть переменной целого типа.

Если используется слово TO, счетчик увеличивается на единицу, если используется слово BOWNTO, то счетчик уменьшается на единицу.

Задание1 (а) Решение циклических программ

Xn=2; Xk=10; h=1.

В Microsoft Excel:

Во втором столбце формула имеет выд: = (SIN (A2) +5) ^2/СТЕПЕНЬ (A2+3^ (A2); ½);

В Mathcad:

В Turbo Paskal:

program z1;

uses crt;

var Xn, Xk, X, Y, H, Z: REAL;

begin

clrscr;

write ('Vvedite Xn, Xk, H=');

readln (Xn, Xk, H);

X: =Xn;

repeat

z: =x+exp (x*ln (3));

if z<=0 then writeln ('NO') else

Y: =sqr (sin (x) +5) /Sqrt (z);

writeln ('X=', X: 6: 1,' Y=', Y: 8: 3);

X: =X+H;

until X>=Xk+H/2;

readkey;

end.

Блок-схема к заданию:

Результаты вычислений:

Задание 1 (б) Решение программы вычисления функции с условием

Решение уравнения в табличном редакторе Microsoft Excel

Для реализации задачи необходимо использовать логическую функцию ЕСЛИ, которая возвращает одно значение, если заданное условие при вычислении дает значение ИСТИНА Реализация задачи вычисления функции с условиями, и другое значение, если ЛОЖЬ. Общий вид функции такой:

ЕСЛИ (лог_выражение; значение_если_ложь)

Лог выражения-это любое значение или выражение, которое при вычислении дает значение ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Значение_если_истина-это значение, которое возвращается, если лог_выражение имеет значение ИСТИНА. Если лог_значение имеет значение ИСТИНА и значение_если_истина опущено, то возвращается значение ИСТИНА. Значение_если_истина может быть другой формулой.

Значение_если_ложь-это значение, которое возвращается, если лог_выражение имеет значение ЛОЖЬ. Если лог_выражение имеет значение ЛОЖЬ и значение_если_ложь опущено, то возвращается значение ЛОЖЬ. Значение_если_ложь может быть другой формулой.

В Microsoft Excel:

Во втором столбце формула имеет вид: =ЕСЛИ (A2=0; «NO»; ЕСЛИ (A2<0; SIN (A2) / (1−2^SIN (A2)); ЕСЛИ (И (A2>0; A2<1); 2*A2/ (1-A2); ЕСЛИ (A2>1; A2²-LN (A2); «нет решения»))))

Рисунок.

В Mathcad:

В Turbo Pascal:

program z2;

uses crt;

label 20;

var x, y, Xn, Xk, h: real;

begin clrscr;

writeln ('Please ENTER Xn, Xk, h=');

readln (Xn, Xk, h);

x: =Xn;

while x<=Xk+h/2 do

begin

if x<0 then

begin

y: =1-exp (sin (x) *ln (2));

if y=0 then

writeln ('NET KORNEY') else

y: =sin (x) /y;

end

else

if (x>0) and (x<1) then y: = (2*x) / (1-x) else

if x>1 then y: =x*x-ln (x)

else

begin

writeln ('NO answer');

goto 20;

end;

writeln ('x=', x: 3: 1,' y=', y: 6: 3);

20: x: =x+h;

end;

readkey;

end.

Результаты вычислений:

Блок-схема к заданию:

Задание 1 (в) вычисление массива

Решение уравнения в Turbo Pascal

Массив (матрица, таблица, вектор) — это структура данных, представляющая собой совокупность элементов одного типа.

Массив называется одномерным, если для получения доступа к его элементам достаточно одной индексной переменной.

1) Массив можно определить как одномерную (последовательную) совокупность элементов некоторого типа, которые адресуется с помощью индекса.

2) Массив должен быть объявлен в разделе описания переменных:

VAR ИмяМассива: ARRAY (НачИндекс. КонечныйИндекс) OF ТипДанных.

3) Доступ к элементу массива осуществляется путем указания индекса (номера), в качестве которого нужно использовать переменную целого типа. Massiv (2): =5;

А: =massiv (4);

4) Для ввода, вывода и обработки массивов удобно использовать операторы циклов. Задание элементов массива случайным образом.

Необходимо массив yi из случайных чисел, входящих в определенный интервал. Для этого нужно использовать функцию Random (x), которая возвращает случайное число от 0 до X, если функция используется без параметра, то будут генерировать числа от 0 до 1.

Перед использованием данной функции необходимо применить оператор Randomize, который обеспечивает несовпадение последовательности случайных чисел, генерируемых функцией.

В Microsoft Excel:

Во втором столбце формула имеет вид: =СТЕПЕНЬ (EXP (1) ^ (3*A2) — TAN (A2) ^3; 1/5) /КОРЕНЬ ((A2) ^2+SIN (A2) ^2)

Рисунок.

В Mathcad:

В Turbo Pascal:

program zadanie3;

uses crt;

const n=4;

var x, y: array [1. n] of real;

i: integer;

z, j, d: real;

begin

clrscr;

for i: =1 to n do

begin

write ('Enter x [i] =');

readln (x [i]);

end;

for i: =1 to n do

begin

j: =exp (3*x [i]) — exp (3*ln (sin (x [i]) /cos (x [i])));

z: =exp (1/5*ln (abs (j))) * (abs (j) /j);

d: =sqrt (sqr (x [i]) +sqr (sin (x [i])));

y [i]: =z/d;

writeln ('x [i] =', x [i]: 5: 1,' y [i] =', y [i]: 5: 3);

end;

readkey;

end.

Блок-схема алгоритма решения задания №1.3

Нахождение функции заданном массиве:

Результаты вычислений:

Задание 1 (г) вычисление суммы в Microsoft Excel

В третьем столбце формула имеет вид: = (A2^ (-A2*SIN (A2)) — LN (2*A2+5)) / (КОРЕНЬ (2+SIN (2*A2)) +A2²)

В четвертом столбце формула имеет вид: =СУММ (C2*B2+C3*B3+C4*B4+C5*B5)

В Mathcad:

В Turbo Pascal:

Program Summa;

uses crt;

const n=4;

Var x, z, d, Xn, h, F, S: Real;

i: Integer;

a: array [1. n] of Real;

BEGIN

clrscr;

randomize;

Write ('enter please Xn, h=');

ReadLN (Xn, h);

for i: =1 to n Do

begin

Write ('enter please a [i] =');

ReadLN (a [i]);

end;

x: =Xn;

S: =0;

for i: =1 to n Do

begin

z: =exp ((-x*sin (x)) *ln (x)) — ln (2*x+5);

d: =sqrt (2+sin (2*x)) +sqr (x);

F: =z/d;

S: =S+F*a [i] ;

x: =x+h;

end;

WriteLN ('S=', S: 10: 3);

readkey

END.

Результаты вычислений:

Блок-схема алгоритма решения задания № 1.4

Нахождение функции, если дан x, h, n, задан массив:

Задание 2. Интегрирование функции

Вычислить определённый интеграл

Так как определённый интеграл является площадью фигуры, ограниченной некоторой функцией y=f (x), то целью задачи является нахождение площади этой фигуры. Для этого необходимо данную фигуру разбить на более простые, площадь которых находится по простым формулам, а затем сложить полученные площади в одну для нахождения необходимой, т. е. для вычисления данного определённого интеграла.

Существуют различные методы нахождения определённого интеграла.

Рассмотрим некоторые из них:

метод средних прямоугольников;

метод трапеций;

метод Симпсона (парабол);

с автоматическим выбором шага;

1. Метод прямоугольников

Для вычисления приближённого значения определённого интеграла отрезок [a, b] делят на n равных частей точками

a=x₀12<�…n=b

так, что x_i+1-x_i= (b-a) /n (I=0,1,2,…, n-1). Тогда длина каждого частичного отрезка определяется как h= (b-a) /n, а точки разбиения x₀=a, x₁=x₀+h, x₂=x₁+h,…, x_n=x_n-1+h. Эти точки называются узлами, а h-шагом интегрирования. В узлах вычисляются ординаты y₀, y₁,…, y_n, т. е. y_i=f (x_i). На частичных отрезках [x_i; x_i+1] строятся прямоугольники, высота которых равна значению f (x) в какой-либо точке каждого частичного отрезка. Произведение f (x_i) *h определяет площадь частичного прямоугольника, а сумма таких произведений — площадь ступенчатой фигуры, представляющей собой приближённое значение интеграла.

Если f (x_i) вычисляется в левых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получается формула левых прямоугольников:

I_л= (y₀+y_1+…+y_n-1) = .

Если f (x_i) вычисляется в правых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получится формула правых прямоугольников:

I_п= (y₁+y_2+…+y_n) = .

Если функция f вычисляется в точках x_i+h/2 [x_i;; x_i+1], то получается формула средних прямоугольников:

2. Метод трапеции

Метод трапеций аналогичен методу прямоугольников, с той лишь разницей, что на каждом частичном отрезке строится трапеция.

Приближенное значение интеграла равно сумме всех площадей частичных трапеций:

I=

3. Метод симпсона

Если на частичном отрезке длиной 2h функции заменяется дугой параболы, то можно получить формулу парабол или обобщенную формулу Симпсона:

= (h/3) * (y₀+y_2n+,

где

1 при i — нечетном;

C_i =

1 при i - чётном;

4. С автоматическим выбором шага

Точность вычисления определенного интеграла зависит от величины шага интегрирования. Ошибка в выборе величины шага интегрирования либо не обеспечит нужной точности, либо приведет к необоснованным затратам машинного времени.

Заданную точность при рациональных затратах времени на вычисления обеспечивают алгоритмы интегрирования с автоматическим выбором шага. Идея метода автоматического выбора шага интегрирования для достижения заданной точности заключается в следующем:

а) выбирается начальное n и вычисляется шаг h= (b-a) /n;

б) рассчитывается значение интеграла I₁ для этого шага h;

в) шаг h уменьшается в два раза, т. е. h=h/2 и вычисляется значение интеграла I₂;

г) оценивается погрешность между двумя значениями r=I₁-I₂; если погрешность r меньше или равна заданной точности, т. е. r<=, то точность достигнута и значение интеграла I=I₂; если r>, то точность не достигнута и величине I₁ присваивается более точное значение I₂;

д) теперь повторяются этапы в) и г) до выполнения условия r<=.

Вычисление определенного интеграла с помощью пакета MathCAD в нормальном и символьном виде.

Для решения интеграла численно и в символьном виде необходимо задать функцию f (x) и найти от неё интеграл на промежутке [a, b].

Для вычисления численного значения заданного интеграла:

С помощью встроенных функций задаём определённый интеграл;

После нажатия клавиши «=», MathCAD выдаёт значение интеграла на заданном промежутке.

В Mathcad:

При решении интеграла в символьном виде:

С помощью встроенных функций задаём интеграл;

Вызов в меню «Математика» подменю «Булен» и нажатие «» или Control+. приводит к вычислению интеграла в символьном виде.

В Mathcad:

В Turbo Pascal:

Текст программы вычисления

определенного интеграла методом

средних прямоугольников на TP

program Sredniipriamougolniki;

uses crt;

var a, b, h, s, y, x: real;

i, n: integer;

begin clrscr;

write ('Vvedite a, b, n=');

readln (a, b, n);

h: = (b-a) /n;

x: =a+h/2;

s: =0;

for i: =1 to n do

begin

s: =s+1/sqr (3*sin (x) +2*cos (x));

x: =x+h;

end;

y: =h*s;

writeln ('n=', n,' y=', y: 10: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы:

a=0 b=1 n=1000 y=0.117

Блок-схема алгоритма решения задания № 2.1

Вычисление определенного интеграла методом средних прямоугольников:

Текст программы вычисления

определенного интеграла методом

трапеции

program integral 2;

uses crt;

var a, b, h, S, S1,x, y: real;

i, n: integer;

function f (c: real): real;

begin

f: =1/sqr (3*sin (x) +2*cos (x));

end;

begin clrscr;

write ('a, b, n=');

readln (a, b, n);

h: = (b-a) /n;

x: =a;

s: =0;

for i: =1 to n-1 do

begin

x: =x+h;

s: =s+f (x);

end;

S1: = f (a) +f (b);

y: = (h/2) * (S1+2*s);

writeln ('n=', n, ' y=', y: 8: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=0 b=1 n=1000 y=0.117

Блок-схема алгоритма решения задания № 2.2

Вычисление определенного интеграла методом трапеции:

Текст программы вычисления

определенного интеграла

методом Симпсона

program simpson;

uses crt;

var a, b, h, x, y, s, s1: real;

i, n, c, m: integer;

function f (x: real): real;

begin

f: =1/sqr (3*sin (x) +2*cos (x));

end;

begin clrscr;

write ('a, b, n=');

readln (a, b, n);

h: = (b-a) / (2*n);

x: =a;

s: =0;

c: =1;

m: =2*n-1;

for i: =1 to m do

begin

x: =x+h;

s: =s+ (3+c) *f (x);

c: =-c;

end;

s1: =f (a) +f (b);

y: = (h/3) * (s1+s);

writeln ('y=', y: 10: 3,' n=', n);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=0 b=1 n=1000 y=0.117

Блок-схема алгоритма решения задания № 2.3

Вычисление определенного интеграла методом Симпсона:

Текст программы вычисления

определенного интеграла с

автоматическим выбором шага

program avtomaticheskiyshag;

uses crt;

var e, a, b, s, h, sn, sn1: real;

i, n: integer;

function f (x: real): real;

var y: real;

begin

f: =1/sqr (3*sin (x) +2*cos (x));

end;

begin

clrscr;

write ('a='); read (a);

write ('b='); read (b);

write ('e='); read (e);

sn: =0;

sn1: =0;

n: =100;

repeat

n: =n*2;

h: = (b-a) /n;

s: =0;

sn: =sn1;

s: =s+f (a) +f (b);

for i: =1 to (n-1) do

s: =s+2*f (a+i*h);

s: = (h/2) *s;

sn1: =s;

until abs (sn-s)

writeln ('s=', s: 8: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=0 b=1 n=1000 s=0.117

Задание 3. Решение системы линейных уравнений

Решение уравнения с помощью MathCAD

Данная задача в MathCAD будет выполнятся с использованием ранжированной переменной. В среде пакета MathCAD для выполнения итеративных вычислений предусмотрен аппарат ранжированных переменных.

Ранжированная переменная-это переменная, которой приписан диапазон изменения значений.

Пример ранжированной переменной:

x: =a, b. c,

где x — переменная, a, b, c — значения, которые принимает переменная, т. е. a-первое значение, b-второе значение, т. е. (b-a) — шаг изменения переменной, и c-последнее значение. .

Рассмотрим решение системы линейных уравнений матричным методом:

a₁₁X₁+a₁₂X₂+a₁₃X₃=b_1,a₂₁X₁+a₂₂X₂+a₂₃X₃=b_2,a₃₁X₁+a₃₂X₂+a₃₃X₃=b₃.

Решение этим методом заключается в решении матричного уравнения вида:

R=M^-1*V.

Для этого необходимо:

сформировать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений

сформировать вектор-столбец коэффициентов свободных членов системы линейных уравнений V:

b₁

V: = b₂

b₃

найти искомые параметры с помощью матричного уравнения: R=M^-1*V.

получим:

X₁

R = X₂

X₃

Рассмотрим решение системы линейных уравнений с помощью решающего блока Given - Find.

Для решения системы уравнений этим способом используется специальная конструкция, называемая решающим блоком. Блок состоит из заголовка (Given), его тела (определённой системы уравнений) конца блока (Find). Find включает в себя перечень переменных блока, относительно которых должна быть решена система уравнений.

Для решения этим методом введём начальные приближённые значения искомых значений:

X1: =0X2: =0X3: =0

опишем блок решения:

Given

x₁₁X₁+x₁₂X₂+x₁₃X₃=b_1,x₂₁X₁+x₂₂X₂+x₂₃X₃=b_2,x₃₁X₁+x₃₂X₂+x₃₃X₃=b₃.

опишем ведущие переменные:

r: =find (X1, X2, X3)

найдём искомые параметры:

X₁

r = X₂

X₃

Пример вычисления:

1) решение системы линейных уравнений матричным методом:

2) решение системы линейных уравнений с помощью решающего блока Given - Find.

,

Задание 4. Решение нелинейного уравнения

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F (x) =0 встречается в различных областях научных исследований. Нелинейные уравнения можно разделить на два класса — алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными.

По условию задачи уравнение cosx-x+4=0 является трансцендентным. Поэтому для нахождения корней будем использовать приближённые методы вычисления (метод касательных и метод половинного деления).

Существуют различные итерационные методы решения трансцендентных уравнений. Наиболее известные: метод касательных, метод половинного деления, метод хорд, комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций и т. д.

Метод половинного деления отрезка пополам является одним из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Метод довольно медленный, однако он всегда сходится, т. е. при использовании решение получается всегда, причём с заданной точностью. Требуемое обычно большее число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не является препятствием к применению этого метода, если каждое значение функции несложно.

Метод касательных или метод Ньютона. В этом методе каждой итерации объём вычислений больший, чем в ранее рассмотренном методе половинного деления, поскольку приходится находить не только значение функции F (x), но и значения её производных. Однако скорость сходимости здесь значительно выше, чем в предыдущем методе.

Решение нелинейного уравнения в среде пакета MathCAD

По условию задачи данное нелинейное уравнение является трансцендентным. Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся функцией root.

Решение трансцендентных уравнений методом касательных

program kasatelnie;

uses crt;

label 20;

var a, b, E, U, D, x: real;

function f (x: real): real;

begin

f: =u*u*u-7*u-7;

end;

function f1 (x: real): real;

begin

f1: =3*x*x-10;

end;

function f2 (x: real): real;

begin

f2: =6*x;

end;

begin

writeln ('a, b, E=');

read (a, b, E);

if f (a) *f2 (a) >0 then

u: =a else u: =b;

20: D: =f (u) /f1 (u);

u: =u-d;

if ABS (d) >E then goto 20;

writeln ('u=', u: 7: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=2 b=4 e=0.01 x=3.000

Блок-схема алгоритма решения задания № 4.2

Метод касательных:

Решение трансцендентных уравнений методом деления отрезка пополам

Program polovinoedelenie;

uses crt;

label 20,30,40;

var a, b, E, V, W, X, Z: real;

function f (x: real): real;

begin

f: =x*x*x-7*x-7;

end;

begin

writeln ('a, b, E=');

read (a, b, E);

V: =f (a);

W: =f (b);

20: x: = (a+b) /2;

z: =f (x);

if z=0 then goto 30;

if V*Z>=0 then

begin

a: =x;

v: =z;

end;

begin

b: =x;

W: =z;

end;

40: if (b-a) >E then goto 20;

x: = (a+b) /2;

30: writeln ('x=', x: 6: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=2 b=4 e=0.01 u=3.049

Блок-схема алгоритма решения задания № 4.1

Метод деления отрезка пополам:

Задание 5. Организация нахождения минимума и максимума элемента в массиве случайных чисел в среде пакета MathCAD

Организовать нахождение MIN и MAX элемента в массиве случайных чисел К. Генерацию элементов массива осуществить с помощью встроенной функции RND (N); вычисления провести с помощью встроенных функций MIN (К) и MAX (К)

В Mathcad:

Необходимое нахождение значений в среде MathCAD можно провести с помощью встроенных функций.

Для решения этой задачи нужно: задать промежуток, в котором будут генерироваться случайные числа; воспользоваться функцией rnd; после того, как будут выбраны случайные числа, воспользуемся функцией нахождения минимального и максимального значений: min (x) и max (x).

Задание 6

Определить среднее арифметическое, среднее квадратическое отклонение рядов N_i и K_i, дисперсию и коэффициент корреляции. Ввод N_i и K_i -в виде векторов из 10 элементов, каждый из внешних файлов данных, подготовленных вручную или с помощью любой программы, позволяющей создавать файлы в формате ASCIT. Вычисление — с помощью встроенных функций: mean (N), mean (K), var (N), var (K), stdev (K), stdev (K), corr (N, K).