Распространение обобщенных связанных термоупругих волн в волноводе с проницаемой для тепла стенкой

Под термином &bdquo-термоупругость" чаще всего в настоящее время понимают достаточно широкий круг явлений таких как теплопроводность, термические напряжения, связанные термоупругие деформации, затухание тепловых и упругих импульсов в твердых телах, а также тепловые волны «второго звука» в деформируемых твердых телах. С теоретической точки зрения теорию термоупругости следует рассматривать как одну из важнейших составляющих термомеханики и теории поля.

Первые исследования температурных напряжений и деформаций в деформируемых твердых телах в линейном приближении восходят к работам Дж. Дюгамеля (J.M.C. Duhamel) [49, 50] и Ф. Нейману (F.Neumann) [94].

Классическая теория термоупругости (СТЕ, conventional thermoelasti-city) основывается на законе теплопроводности Фурье h = -A*V0, где h —вектор потока тепла (heat flux), Л* — коэффициент теплопроводности (thermal conductivity), температура, V —оператор Гамильтона, устанавливающем коллинеарность вектора потока тепла и пространственного антиградиента температуры, и предсказывает возможность распространения теплового сигнала с бесконечно большой скоростью, что на самом деле противоречит реальным физическим наблюдениям и, кроме того, нарушает принцип причинности. Известно, что соответствующее закону Фурье уравнение теплопроводности принадлежит параболическому аналитическому типу. Уравнения такого типа допускают бесконечные скорости распространения возмущений, а в том случае, когда решение имеет &bdquo-волновой" характер, тепловые волны будут иметь затухающие амплитуды.

Парадокс распространения температурных возмущений с бесконечной скоростью впервые обсуждался Максвеллом (J.C.Maxwell) [80]. Позднее, Био (М.А. Biot) [31] впервые корректно построил теорию связанной термо-унругости, используя методы термодинамики необратимых процессовсвязанные соотношения этой теории, классифицируемые в настоящее время как СТЕ, включают векторное уравнение движения, принадлежащее гиперболическому типу, и параболическое уравнение теплопроводности. Понятно, что теория Био в полной мере обладает указанным выше недостатком. &bdquo-Полевые" уравнения СТЕ для связанных (сопряженных) перемещений и температуры в линейном приближении состоят из одного векторного и сопряженного ему скалярного связанных дифференциальных уравнений в частных производных: дДu + (А + /x)VV • и — aV6 — pu = 0, (,.

А*Ав — кв — a<90V • й = 0.

В этих уравнениях и — вектор перемещенияЛ, /I — упругие постоянные Ламе (для изотермической деформации) — а — термомеханическая постоянная {а = 1/3(3A + 2fj)?*)] ?* — коэффициент объемного теплового расширенияв — абсолютная температура, точнее, ее превышение (инкремент) над отсчетной (рефереициалыюй) температурой 0q 6q — отсчетная (равновесная) температура (при температуре, равной во, отсутствуют деформации и напряжения) — ас — теплоемкость (иа единицу объема) при нулевой постоянной деформацииА = V • V —оператор Лапласа. Связанность уравнений СТЕ-теории обуславливается взаимным влиянием нагрева (охлаждения) и объемной деформации тела, проявляется через определяющую постоянную, а и является следствием основных принципов термодинамики (см. [31]).

За последние несколько десятилетий было предложено достаточно много различных обобщений теории связанной термоунругости Био с целью устранить парадокс бесконечной скорости распространения тепла, и допустить возможность волнового характера распространения тепла в форме незатухающих волн. Последнее из указанных явлений называется &bdquo-вторым звуком". Достаточно широкий обзор работ, по проблеме &bdquo-второго звука", включая весьма интересный исторический аспект, дан в статьях Д. Жо-зефа (D.D.Joseph) и Л. Презиози (L. Preziozi) [66, 67].

Эксперименты, проведенные в разные годы различными исследователями, подтверждают вывод о том, что тепло при определенных условиях может распространяться как незатухающая волна. Первоначально (1946 г.) термические волны &bdquo-второго звука" были экспериментально обнаружены в жидком гелии и позднее (1966 г.) — в твердом гелии. Феномен второго звука наблюдается при весьма низких температурах в кристаллах высокой чистоты. Например, в работе [81] указывается на обнаружение &bdquo-второго звука" в кристалле NaF. &bdquo-Второй звук" в NaF наблюдается при температуре около 15К [65]. В работах [107] и [98] также подтверждается существование волн второго звука в NaFсогласно [59] скорость волн &bdquo-второго звука" составляет 1953.1 м/с. В публикации [93] приводятся результаты измерений волн &bdquo-второго звука" в висмуте (Bi) при температуре около ЗК. Скорость волн &bdquo-второго звука" в висмуте оказывается равной 78 ± 5 м/с.

Остановимся на нескольких наиболее часто встречающихся в прикладных задачах термомеханики обобщениях основных уравнений классической термоупругости (СТЕ). Одно из них было дано Лордом и Шульманом (Н. Lord, Y. Shulman) (LS-theory) [74]. Ими было получено гиперболическое уравнение распространения тепла, основанное на новом законе теплопроводности, заменившем классический закон теплопроводности Фурье. В законе LS-теплопроводности введена дополнительная определяющая постоянная — время релаксации rrei в соответствии с уравнением Каттанео [34] яь h + Trel" 777 = —Л* (1.2).

Ot.

Время релаксации представляет собой (всегда весьма малое) время запаздывания после возникновения температурного градиента, необходимое для того, чтобы в элементе тела сформировался установившийся поток тепла.

Независимо от Каттанео аналогичное уравнение было получено в работе [120].

Уравнение (1.2) часто выводится на основании уравнения &bdquo-запаздывания" (the lag equation) h (x, t + rrei) = -A*V0(x, i), которое формулируется для заданного места в пространстве х и, как уже отмечалось, устанавливает, что поток тепла запаздывает по отношению к пространственному градиенту температуры. Прииимая во внимание, что dh h (x, t + Trei) = h (x, t) + rrei—(x, t) +. , где частное дифференцирование по времени выполняется при фиксированном положении х, и ограничиваясь лишь первыми двумя слагаемыми в приведенном разложении, приходим к уравнению (1.2).

Уравнения поля" ЬБ-теории для связанных перемещений и температуры в линейном приближении состоят из одного векторного (совпадающего с соответствующим уравнением СТЕ-теории) и сопряженного ему скалярного гиперболического связанных дифференциальных уравнений в частных производных: ¿-¿-Ди + (А + /I)VV — и — оЯв — рй = О, Л*Д0 — к (в + тге1<9) — ав0(Ъ ¦ й + Tk. iV • и) = 0.

Тем самым, в ЬБ-теории как уравнение движения, так и уравнение транспорта тепла, принадлежат гиперболическому типу, что и обеспечивает конечную скорость распространения как тепловых, так упругих воли деформации.

Следуя связанной обобщенной теории термоупругости Лорда-Шульма-на, в [91] и [92] исследуется влияние связанности уравнений движения и теплопроводности в задачах о распространении плоских гармонических связанных термоупругих волн в неограниченной среде и распространение поверхностных волн Релея вдоль свободной поверхности полупространства.

В статье [45] применяется метод граничных элементов для анализа нестационарных динамических задач обобщенной термоупругости для полупространства методом преобразования Лапласа. Также, метод граничных элементов применяется в [62, 63] для решения связанных термоупругих задач в конечной области. В этих работах изучается влияние связанности уравнений на распространение волн деформаций и температуры.

В работе [29], применяя обобщенную теорию Лорда-Шульмана, исследуется динамическая термоупругая реакция диска, находящегося под влиянием осесимметричного теплового нагружения, а также изучается влияние времени релаксации и исследуется распространение температурных волн и волн напряжений.

В статье [88] рассматривается задача обобщенной термоупругости с одним параметром времени релаксации для бесконечного изотропного кругового цилиндра, термомеханические свойствами которого зависят от температуры. В этой же статье разработана конечно-разностная схема для решения задачи, сформулированной с помощью связанных уравнений нелинейной термоупругости.

В [53] исследуется пространственная модель обобщенной термоупругости с одним временем релаксации. Связанные безразмерные уравнения применяются для решения задачи для полупространства со свободной от напряжений поверхностью и подвергающегося воздействию теплового удара.

В статье [123] рассматривается термоупругая задача для изотропной неограниченной среды с цилиндрической полостью, на которую воздействует движущийся источника тепла, следуя линейной теории обобщенной термоупругости. Полученные в этой работе результаты, показывают как скорость движения источника тепла и время релаксации влияют на перемещения, температуру, напряжения и деформации.

В [75] приводится теорема взаимности для начально-краевых смешанных условий в рамках линеаризованной теории термоупругости Лорда-Шу-льмана.

Используя обобщенную модель термоупругости, предложенную Лордом и Шульмапом, в исследовании [76] представлен анализ распространения термоупругих волн в бесконечном круговом цилиндре. Двумерная задача для полупространства с полостями, следуя обобщенной теории Лорда-Шульмана рассматривается в [116], где также исследуется явление отражения волны сжатия и сдвига от свободной поверхности твердого тела.

В [28] исследуется двумерная задача для тонкой пластины, подверженной воздействию объемной силы, следуя теории обобщенной термоупругости с одним временем релаксации.

На основании теории обобщенной термоупругости Лорда-Шульмана, в [33] рассматривается система дифференциальных уравнений в частных производных, а также общие аспекты краевых и начально-краевых задач и представление решений в форме рядов и квадратур.

В [70] проводится исследование динамической реакции изотропного термоупругого полупространства с пустотами, на которое действуют нормальные, касательные сил и источник тепла. В работе получены распределения перемещений, напряжений и температуры, а их численные значения!

Воздействие сконцентрированных напряжений на бесконечный цилиндр, подверженный вращательно асимметричному мгновенному тепловому иа-гружению, применяя теорию Лорда-Шульмана, изучается в [48]. В работе обсуждается влияние связанной постановки задачи и времени релаксации на влияние сконцентрированных напряжений и сосредоточенных сил.

В [111] рассматривается задача обобщенной термоупругости с одним временем релаксации для бесконечной толстостенной трубы, внутренняя и внешняя поверхности которой являются свободными от напряжений и испытывают влияние окружающей температуры.

Вторым хорошо известным обобщением связанной теории термоупругости Био, допускающим &bdquo-второй звук", является теория, предложенная Грином и Линдсей (A.E.Green, K.A.Lindsay) (GL-theory) [56]. Заметим, что Мюллер (I. Muller) [89] в обзоре по термодинамике термоупругих твердых тел, предложил неравенство для производства энтропии, с помощью которого он рассматривал ограничения на класс определяющих уравнений. Обобщение этого неравенства было предложено Грином (А.Е. Green) и Лоус (N. Laws) [55]. Грин и Линдсей получили явный вид определяющих уравнений в [56]. Эти уравнения были также независимо получены Сухуби (Е. Suhubi) [117]. GL-теория характеризуется тем, что вектор потока тепла в термоупругом теле h зависит от скорости изменения абсолютной температуры в и градиента температурызакон GL-теплопроводности имеет форму h — -Ъв — Л* • V0, где b — антисимметричный вектор, Л*—тензор теплопроводности. Тензор второго ранга Л* в GL-теории симметричен: Л* = Aj. Заметим, что в случае центральной материальной симметрии выполняется равенство b = 0. Уравнение транспорта тепла оказывается гиперболическим. GL-теория в случае b = 0 допускает &bdquo-второй звук", не нарушая при этом классического закона теплопроводности Фурье.

Определяющее уравнение GL-теории связанной термоупругости имеет вид сг = 2це + Atrs — о- + {в — 6>о)Х, (1.4) где сг — тензор напряжений, е — тензор малых деформаций, I — единичный тензор.

Замкнутая система дифференциальных уравнений GL-теории состоит из уравнения движения.

Au + (Л + /i)VVu-a (l + V0 — ри = 0 (1.5) и уравнения распространения тепла.

А*Ав — oA) V • й — к + 0 = 0. (1.6).

Определяющие постоянные GL-теории т* и т*, имеющие смысл времен релаксации, подчиняются неравенствам т* > т* > 0, гарантирующим неотрицательность внутреннего производства энтропии при распространении волн деформаций и температуры. Если т* = т* = 0, то GL-теория сводится к СТЕ.

Замкнутая форма решений для термоупругих задач в обобщенной теории термоупругости получена Хетнарски (R.B. Hetnarski) и Игначак (J. Igna-czak) [60]. В [61] исследуется реакция полупространства на мгновенные лазерные импульсы следуя обобщенной теории термоупругости Грина-Лиид-ссй. Получено замкнутое решение связанной одномерной начально-краевой задачи.

В публикациях [115], [113] и [114] исследуется отражение термоупругих волн от свободной поверхности твердого полупространства, а так же на границе раздела двух полубесконечных сред в контексте обобщенной термоупругости Грина-Линдсей.

В статье [69] изучается распространение термоупругих волн напряжений в неограниченном теле со сферической полостью, следуя теориям, развитым в [56], [57].

Задача распространения термоупругих волн в бесконечной вытянутой тонкой пластине, на основе теории, развитой в [56] для кратковременной аппроксимации, используя преобразование Лапласа приводится в [32] и [108].

Следуя обобщенной теории термоупругости Грина-Линдсей в [52] исследуется распространение волн в бесконечном круговом цилиндре. В работе получено дисперсионное соотношение при постоянной температуре поверхности цилиндра. Задачи в рамках обобщенной термоупругости для бесконечного тела с круглой цилиндрической полостью и для бесконечного цилиндра обсуждаются в работе [54].

В [112] обсуждается двумерная задача обобщенной термоупругости для бесконечного длинного цилиндра, в то время как в работе [121] рассматривается задача о тепловом ударе для бесконечного тела с цилиндрической полостью, с помощью теории Грина-Линдсей. Задача о термоупругих взаимодействиях в бесконечной среде с цилиндрической полостью, зависящей от линейного закона нагревания и нагружения исследуется в [122].

В начале 90-х гг. XX в. Грином и Нахди (А.Е. Green, P.M. Naghdi) [57, 58] была развита теория обобщенной термоупругости (GN-theory). Предложенная теория сочетает в себе как свойства классической термоупругости СТЕ, выстроенной согласно закону теплопроводности Фурье, так и свойства недиссипативной термоупругости, предполагающей отсутствие производства энтропии и волновой характер распространения теплового сигнала. GN-теория была сформулирована в трех различных термодинамически корректных вариантах: GNI, GNII и GNIII. В линейном приближении первый вариант (GNI) приводит к закону теплопроводности Фурье и параболическому уравнению теплопроводностивторой (GNII) — предлагает считать распространение тепла как волновой недиссипативный процесс (dissipationless thermoelasticity), не сопровождающийся внутренним производством энтропии, и приводит к гиперболическому уравнению транспорта теплатретий (GNIII) — наиболее общий из рассматриваемых — включает GNI и GNII в качестве предельных случаев. Именно по этой причине GN-теория в состоянии моделировать значительно более широкий круг явлений, связанных с переносом тепла, по сравнению с теорией Фурье.

Классическая связанная теория термоупругости (СТЕ) широко применяется в различных прикладных задачах термомеханики в тех ситуациях, когда речь идет о быстропротекающих переходных процессах или когда происходит интенсивный нагрев тела (например, с помощью импульсного лазерного излучения). В таких ситуациях температурное поле связано с упругим полем и связанная форма уравнений термоупругости должна выглядеть наиболее адекватной. Систематическое изложение динамической теории связанной (сопряженной) СТЕ-термоупругости дано в известной монографии [23].

Отличительной чертой теории GNII гиперболической термоупругости является то, что она полностью согласуется с основными принципами термодинамики (и в этом смысле она термодинамически корректна) и предсказывает нулевое внутреннее производство энтропии, т. е. отсутствие рассеяния энергии, при распространении термической волны «второго звука». Отсутствие диссипации энергии в GNII-термоупругом теле позволяет дать вариационную (а следовательно, и полевую) формулировку теории с целью дальнейшего поиска вариационных симметрий связанной системы дифференциальных уравнений в частных производных термоупругости. Лаграи-жева и Гамильтонова полевые формы нелинейной теории термоупругости типа GNII рассматривались в работах [68], [78], [77], [79].

Анализ литературных источников показывает, что к настоящему времени опубликовано сравнительно немного работ, выполненных с привлечением связанных уравнений GNIII-теории. Например, распространение плоских гармонических связанных термоупругих волн в рамках GNIII-теории изучалось лишь сравнительно недавно в работах [97] и [9], и нельзя сказать, что эта проблема полностью разрешена в плане определения нормальных волновых чисел указанного типа волн. В статье [47] в рамках теории обобщенной термоупругости GNIII исследуется термоупругие волны в неограниченном однородном изотропном теле, вызванные линейным источником тепла. Полученные в указанной работе результаты показывают, что теория GNIII в целом прогнозирует диффузионный механизм распространения тепла и только в отдельных случаях допускает волновой механизм теплопроводности. В [6, 11] получено решение задачи о распространении связанной GNIII-термоупругой волны вдоль теплоизолированного цилиндрического волновода. В работе [10] исследуется частотное уравнение указанных волн в случае достаточно высоких азимутальных чисел.

Теория Грина-Нахди представляет огромный интерес для исследователей, поскольку она последовательно развивается методами рациональной механики. Принцип недиссипативной передачи тепла также заслуживает внимания вследствие возможности вариационной формулировки уравнений теории термоупругости. Гамильтонова формулировка теории упругости Грина-Нахди представлена в работах Мажена (G.A. Maugin) и Калпа-кидеса (V.A. Kalpakides) в работе [78]. В статьях [68, 79] найдены законы сохранения в случае недиссипативной термоупругости и сформулирован вариационный принцип для обратного закона «обратного движения» и исследуются соответствующие полевые уравнения Эйлера-Лагранжа.

Задача о тепловом ударе в рамках недиссипативной теории термоупругости рассматривается в [73]. В работах [37, 43] изучаются цилиндрические (сферические) волны, возникающие вследствие (i) силы, приложенной к границе цилиндрической (сферической) полости в неограниченном теле и (ii) линейного либо точечного источника тепла в неограниченном теле. Одномерная задача для недиссипативного полупространства исследуется в [85], а термоупругие деформации неограниченной среды со сферической полостью— [86].

В работе [118] исследуются волны деформаций и температуры в круговом кольце. В этой же работе на основе GNII и GNIII-термоупругой модель обсуждается распространение и отражение волн от границы.

В [42] исследуются свободные плоские гармонические волны в рамках недиссипативной теории термоупругости в неограниченном теле. В работе [110] изучается задача связанная термоупругая задача по недиссипативной схеме вследствие воздействия массовых сил и источников тепла. В [84] предпринята попытка решения связанной термоупругой задачи следуя недиссипативной схеме для неогранрхченной среды со сферической полостью, подвергающейся воздействию изменяющейся по гармоническому закону температуры. Там же получена замкнутая форма решения для распределения перемещений, температуры и напряжений.

В исследовании, приведенном в [95], обсуждается отражение плоских волн от упругого полупространства под действием гидростатического начального напряжения с помощью соотношений GNII-термоупругости.

Ряд новых результатов получены в [103]. Устойчивость решений в задачах GNIII-термоупругости изучается в работах [99, 100, 101].

Пространственное поведение в случае термоупругости без учета термической диссипации является предметом исследования в [35]. В статье Наппа (L. Nappa) [90] получены пространственные оценки разложения решения уравнений в линейной термоупругости на основе динамического принципа Сен-Венана.

Квазистатическая несвязанная термоупругая задача рассматривается в [96], используя суперпозицию двух теорий: классической теории термоупругости и теорию недиссииативной термоупругости. Термоупругие волны являются предметом исследования [119]. В этой работе исследуется распространение волн в однородной бесконечной изотропной пластине. Грин и На-хди изучали поведение одномерных термоупругих воли [57]. В качестве дополнения к теории Грина-Нахди укажем на исследования [35, 36, 38, 39, 40] и [64], которые также осуществлялись в рамках линейной недиссипативной теории термоупругости.

Используя энергетические методы, в [124] исследуется характер изменения во времени решений согласно теории обобщенной термоупругости (термоупругости типа GNIII) и получены результаты для плоскости и пространства. В [106] исследуются свойства решений линейных GNIII-термо-упругих задач.

Пури (P. Puri) и Джордан (P.M. Jordan) [97] изучали распространение плоских GNIII-термоупругих волн в неограниченной среде. В этой работе получено дисперсионное соотношение для плоских волн. Влияние определяющих параметров исследуется с помощью пакета символьных вычислений Mathematica.

Аналитическое решение задачи о тепловом ударе представлено в работе [72] в рамках GNIII-термоупругости.

Связанные термоупругие задачи исследуются в [82], [83] и [103]. Работа [82] посвящена решению задач для упругого полупространства на основе уравнений GNIII-термоупругости. В [83] исследуется поведение GNII-тер-моупругого тела со сферической полостью. В статье [103] рассматривается цилиндрическая полость.

В статье [104] рассматриваются две нелинейные теории термоупругости, предложенные Грином и Нахди. Показано, что теория GNII допускает «второй звук1', и в этом случае могут распространяться волны деформаций и температуры.

Баргманн (S. Bargmann) и Штейнмапн (Р. Steinmann) [30] исследовали термодинамическое соотношение между потоком энтропии и потоком тепла в рамках неклассической теории Грина и Нахди.

В этой работе, используя неравенство энтропии Мюллера-Лю, показано, что классическое равенство потока энтропии отношению потока и абсолютной температуры сохраняется для изотропных материалов. Здесь же сформулированы уравнения баланса для термоупругой среды в терминах материального описания.

В подавляющем большинстве работ, относящихся к GNII или GNIII-термоупругости, исследуются линейные соотношения. В статье [51] в рамках теории обобщенной термоупругости Грипа-Нахди исследуется термоупругое взаимодействие, вызванное постоянным линейным источником тепла в однородном изотропном неограниченном теле. Исследование показывает, что рассматриваемая теория прогнозирует бесконечную скорость распространения тепла в общем случае и включает «второй звук» в качестве частного случая.

В статье [71] рассматривается линейная теория однородных и изотропных тел для случаев GNII и GNIII-термоупругости. Представлены основные уравнения, характеризующие изгиб тонких термоупругих пластин, и доказывается существование решений в рамках теории GNIII-термоупругости в предположении о том, что плотность внутренней энергии определенно положительна. Доказано существование и единственность решений для обеих теорий в предположении ограничений на материальные константы. Показана асимптотическая устойчивость решения.

В статье [87] авторы, применяя метод интегральных преобразований (преобразование Лапласа), рассматривают термоупругую среду, в которой напряженное состояние зависит только от одной пространственной переменной и времени.

В статье [105] получены энергетические оценки для класса задач, в которых «начальные данные» связывают данные, соответствующие начальному и конечному моментам времени. Такие постановки задач известны из литературы и могут быть использованы, например, для получения оценок поведения решения в некорректно поставленных задачах. Устанавливается, что такого рода задачи не всегда обладают единственным решением. Ставят под сомнение физическую полезность указанных задач.

Работа [102] посвящена изучению с помощью модели Грина-Нахди распространения температурных волн в полупространстве в результате внезапного воздействия температуры на границу методом преобразования Лапласа. В [39] рассматривается решение уравнений поля для теории Грина-Нахди. В [109] исследуются возмущения, вызванные влиянием сосредоточенной нагрузки и источника тепла, действующими на границу полупространства.

Целью настоящей работы является изучение распространения обобщенных связанных GNIII-термоупругих волн вдоль цилиндрического волновода со свободной теплопроницаемой стенкой. Одной из задач исследования является определение влияния теплообмена через стенку цилиндрического волновода на величину волновых чисел распространяющихся в волноводе нормальных волн. В рассматриваемой линейной постановке принимается определяющий закон Дюгамеля—Неймана сг = 2/ле + (Atre — a (Q — 9q)) I, (1.7) где сг — тензор напряжений, е — тензор малых деформаций, I — единичный тензормы по-прежнему используем следующие обозначения: А, /? — упругие постоянные Ламеа — термомеханическая постоянная (а — 1/3(3A+ 2ц) Р*)-, Р* — коэффициент объемного теплового расширения (coefficient of thermal expansion) — в — абсолютная температура- 9q — отсчетпая (равновесная) температура. (Отметим, что при температуре, равной отсутствуют деформации и напряжения.).

Линейная теория GNIII-термоупругости характеризуется тем, что вектор потока тепла h линейно зависит как от градиента температуры, так и от градиента температурного смещения h= -A*V0-AVtf, (1.8) где i9 (i9 — 0) — температурное смещение (thermal displacement), Л —характерная скорость теплопроводности (thermal conductivity rate), V — трехмерный оператор Гамильтона. Кроме того, полная система соотношений GNIII-теории включает уравнения движения div or — рй = 0, (1.9) где и —вектор перемещений, р— плотностьуравнение баланса энтропии s + V-j-a + e, (1-Ю) где s — плотность (на единицу объема) энтропии, j — вектор потока энтропии, с — внешнее производство энтропии,? > 0 — внутреннее производство энтропии, или вз + V ¦ (9j) + в (а + О- (I-11) и уравнение баланса энергии, которое мы примем в форме.

— (ф + sfl) + tr (а • ё) — h •™ = (1.12) где ф — плотность (на единицу объема) свободной энергии Гельмгольца. Здесь необходимо учесть, что вектор потока тепла и вектор потока энтропии связаны уравнением h = 6j, (1.13) а для внутреннего производства энтропии справедливо соотношение (1Л4).

В рамках линейной теории следут предполагать линейную зависимость между термодинамическим потоком и термодинамической силой.

Vtf, равно как и квадратичную зависимость ф от градиента температурного смещения В результате определяющее уравнение для теплового потока будет иметь вид (1.8).

Заметим, что внутреннее производство энтропии в модели GNII-термоупругости исчезает? = 0 в силу.

•.

3 ~.

Классическая связанная термоупругость GNI/CTE основывается на допущении о независимости свободной энергии ф от температурного смещения $ и градиента Vi9, в силу чего внутреннее производство энтропии вычисляется как -3 ¦ V6.

Приведем также соотношения Коши, связывающие тензор малых деформаций е и градиент вектора перемещения V и:

2? = V + (V ®и)т. (1.15).

Условие конвективного теплообмена с окружающей средой через поверхность с единичной нормалью п в линейном приближении имеет вид n-h = a (0-eGnv): (1.16) где и — коэффициент теплообмена, 9env — температура окружающей среды. В дальнейшем будем полагать, что температура окружающей среды совпадает с отсчетной 9eiw — Oq.

Для сокращения записи уравнений в дальнейшем через в будем обозначать превышение температуры над отсчетной (равновесной) температурой $ 0, т. е. символ в в последующем изложении следует понимать как разность е-во.

Из приведенных выше прямых тензорных соотношений находятся физические компоненты тензора напряжений и деформаций в цилиндрических координатах л ^ &-иг «» /1 dum г arr = е + ~~ ач*р = Ае + 2? { + ¦ -) —ав, azz = e + 2^-ae, vrip = /х — ^ + ^), (1.17) rii?2 диг.

7rz =? —— + дг dz — Sfr диг 1 ди^ ur duz rr = ~~) ?ipw — ^ I — &ZZ = 5.

Or r ocp r oz ip + 2s" =ⁱⁱ + (1.18) r oip oz or oz duv u.

Заключая введение, приведем линейные связанные уравнения движения и теплопроводности GNIII-термоупругости [6, 7] в той форме, в которой они используются в настоящей работе: дДи + (А +/х)VV • u — aV<9 — pu = О, ААв + Л*Д0 — кв — ав0'V • u = 0.

Здесь, А — трехмерный оператор Лапласа, к — (specific heat of the unit volume) теплоемкость (на единицу объема) при отсутствии деформации.1.

Разделим второе уравнение системы (1.19) на, А и вц. В дальнейшем, постоянные А, А* и ас будут считаться отнесенными к отсчетной температуре во. Таким образом можно минимизировать число постоянных, необходимых для формулировки связанных уравнений GNIII-теории. В итоге приходим к системе уравнений iAu + (А + fj) W • u — aV9 — pu = О,.

A • ка (1−20).

А, А А.

Как уже упоминалось ранее, классическая связанная термоупругость (GNI/CTE) и гиперболическая термоупругость (GNII) являются предельными случаями GNIII-теории. Заметим, что система (1.20) исключительна.

1 Поскольку рассматривается линейная теория, к не зависит от температуры для се значений в окрестности референциальной температуры. удобна при переходе к уравнениям гиперболической СМИ-теории: для этого необходимо положить Л* = 0. Ясно также, что переход Л —0 к классической термоупругости (вШ/СТЕ) в уравнениях (1.20) требует соблюдения ряда мер предосторожности.

Апробация работы.

— Семинар «Современные проблемы математики и механики» под РУК0~ водством доктора физико-математических наук, проф. Ю. Н. Радаева, г. Самара, Самарский государственный университет, 2007, 2010 гг.;

— Юбилейная школа-семинар «Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики», посвященная 70-летию доктора физико-математических наук, проф. Геннадия Ивановича Быковцева, г. Самара, Самарский государственный университет, 29 января —2 февраля, 2008 г.;

— Международная молодежная ттаучная конференция «XXXIV Гагарин-ские чтения», г. Москва, Институт проблем механики РАН, 1−5 апреля, 2008 г.;

— 16-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 24−27 февраля 2009 г.;

— Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула, 23−27 ноября 2009.

— Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д. Д. Пвлева, г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический униззерси-тет им. И. Я. Яковлева, 3 апреля, 2010 г.;

— Вторая международная конференция «Математическая физикахи ее приложения», Самара, 29 августа — 4 сентября 2010 г.;

— «Неравновесные процессы в сплошных средах», Всероссийская конференция молодых ученых. Пермь, 26−27 ноября 2010 г.;

— Семинар «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» под руководством доктора физико-математических наук, проф. В. А. Ковалева, г. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы, 24 декабрь, 2010 г.;

— 17-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 28 февраля — 3 марта 2011 г.;

— Научный семинар «Механика и прикладная математика» под руководством доктора физико-математических наук, проф. В.П. Радчен-ко, г. Самара, Самарский государственный технический университет, 2011 г.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 11 работ. Основные результаты отражены в [16, 19, 24], изданных в научных журналах, рекомендованных ВАК для диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук.

Целью диссертационной работы является анализ распространения гиперболических GNII-термоупругих и обобщенных GNIII-термоупругих волн, в длинном цилиндрическом волноводе со свободной боковой поверхностью, через которую происходит конвективный теплообмен и исследование влияния теплообмена боковой стенки цилиндра на величину волновых чисел распространяющихся в волноводе нормальных волн.

Эта цель предполагает решение следующих задач.

— Изучение слабых разрывов решений связанных уравнений классической (СТЕ), гиперболической (GNII) и обобщенной (GNIII) термоупругости, а также анализ распространения плоских гармонических связанных термоупругих волн GNIII-термоупругости.

— Построение решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках гиперболической линейной теории термоупругости (GNII) в цилиндрическом волноводе.

— Построение решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках обобщенной линейной теории термоупругости (GNIII) в цилиндрическом волноводе.

— Вывод частотного уравнения и определение форм гармонических термоупругих волн в бесконечном цилиндрическом волноводе в случае окружных гармоник сколь угодно высокого азимутального порядка (в рамках GNII и GNIII-термоупругости).

— Проведение численного анализа зависимости волнового числа от частоты и построения форм гармонических волн перемещений и температуры в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в случае произвольных окружных гармоник в рамках гиперболической и обобщенной теорий термоупругости.

— Анализ частотного уравнения и визуальная локализация волновых чисел в случае обобщенной GNIII-термоупругости.

— Отделение всех вариантов значений выражений, содержащих вложенные арифметические корни из комплексных величин на комплексной плоскости, устранение многозначности при вычислениях всех 25 вариантов расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней.

— Исследование случая распространения термоупругих воли в случае больших значений азимутальных чисел и анализ частотного уравнения.

Актуальность темы

заключается в следующем.

При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процесса деформирования.

Проектирование современной техники и технологических процессов предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, конструкций и сооружений, работающих подчас в критических термомеханических условиях. Моделирование процессов теплообмена и деформирования является одной из актуальных проблем прикладной математики и механики. Оно открывает новые возможности в развитии таких предметных областей как теория теплопроводности и механика деформируемого твердого тела, значительно расширяет перспективы создания и практического использования новых технологий.

В последние годы внимание к проблемам термоупругих напряжений значительно возросло в связи с задачами, возникающими при разработке новых технологий и конструкций современной техники, а также при анализе процессов, происходящих при воздействиях концентрированных потоков энергии на материалы и элементы конструкций. Создаются условия скачкообразного изменения температуры на поверхности твердого тела или граничащей с ним среды (эффект теплового удара), что приводит к появлению в телах мощной волны термических напряжений, достаточной для образования трещин. Возникает актуальная проблема оценки роли температурных полей и термоупругих волн, а так же влияние связанности задачи в механизме теплового динамического разрушения твердых тел.

Исследованию напряженно-деформированного состояния тел с учетом различных связей между напряжениями, деформациями и температурой составляет основу современных моделей термомеханики.

Актуальным является изучение взаимной зависимости напряженно-деформированного состояния от источников тепла, которые могут порождаться концентрированными потоками энергии используется тепловое действие плазменного потока, коротких лазерных импульсов или электронного луча. В связи с развитием обобщенных моделей термоупругих сред не менее важным и актуальным является вопрос о передаче тепла на расстоянии, исследовании задач о распространении связанных термоупругих волн в волноводах, подверженных влиянию окружающей среды.

Также важными являются исследования, связанные с развитием обобщенных теорий термоупругости. В частности, гиперболическая теория термоупругости Грина-Нахди (GNII), является предельным случаем обобщенной теории термоупругости Грина-Нахди (GNIII) и прогнозирует волновой тип распространения тепла (волна «второго звука»). В различных работах описываются эксперименты по выявлению «второго звука» в веществах таких, как фторид натрия, висмут, гелий, при определенных температурных условиях, приводятся экспериментальные данные о скорости распространения волн второго звука и указывается на волновой характер распространения тепла. Все сказанное выше отражает актуальность и значимость описываемой в работе тематики.

Научная новизна диссертационной работы заключена в следующем:

— С помощью условий совместности Адамара-Томаса изучены слабые разрывы в GNI, GNII, GNIII-TepMoynpyrnx средах.

— В работе получены решения связанных уравнений движения и теплопроводности и проведен анализ гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного длинного цилиндрического волновода с проницаемой для тепла стенкой для GNIIи GNIII-термоупругих сред.

— В рамках модели гиперболической GNII-термоупругости получено частотное уравнение в задаче о распространении гармонических волн вдоль оси свободного цилиндрического волновода с теплопроница-емой стенкой. С использованием системы символьных вычислений Mathematica 6.0 проведен его численный анализ и анализ форм гармонических волн произвольного азимутального порядка.

— Найдены выражения для перемещений и температуры для связанных GNII-термоупругих волн произвольного азимутального порядка.

— Получено биквадратное уравнение, из которого находятся волновые числа, и проведен анализ плоских гармонических связанных GNIII термоупругих волн. Определены условия нормальности плоских гармонических связанных GNIII-тсрмоупругих волн. Проведено выделение четырех возможных однозначных ветвей при извлечении вложенных арифметических корней на комплексной плоскости.

— Получено частотное уравнение в задаче о распространении обобщенных связанных GNIII-iepMoynpyrHX волн в бесконечном цилиндрическом волноводе с проницаемой для тепла стенкой. С помощью системы символьных вычислений Mathematica 6.0 проведен анализ частотного уравнения и форм гармонических волн произвольного азимутального порядка.

— Найдены выражения для перемещений и температуры для обобщенных СШП-термоупругих волн произвольного азимутального порядка.

— Получены выражения, позволяющие рассматривать отдельно все 32 (25) варианта расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней при анализе частотного уравнения и устранить многозначность при вычислениях. Подробно описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения для волн разного азимутального порядка.

Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью формулировок краевых задач, использованием фундаментальных принципов механики и термодинамики, а также сравнением с известными из литературы результатами.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты, могут применяться для описания и исследования процессов связанных с резкими изменениями температуры на поверхности твердых тел. Такие условия приводят к разрушению материалов под действием температуры. Также, результаты могут быть использованы при моделировании термомеханических процессов и дают возможность проведения более полного анализа температурного и напряженно-деформированного состояний важных элементов конструкций, подверженных тепловому воздействию и, таким образом, получению информации об оценке их прочности.

Структура и содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 142 страницы, включая 28 рисунков и графиков, 2 таблицы и список литературы из 124 наименований.

Выводы по третьей главе.

1. Рассмотрена задача о распространении связанных обобщенных СШИ-термоупругих волн в свободном цилиндрическом волноводе круглого поперечного сечения, через боковую стенку которого происходит конвективный теплообмен с окружающей средой. Данная граничная задача содержит шесть безразмерных определяющих постоянных (пять из них являются материальными и одна безразмерной частотой).

2. Получено решение связанных линейных уравнений обобщенной ОШП-термоупругости для кругового цилиндра со свободной теплопроница-емой боковой стенкой. Решение содержит достаточное число произвольных постоянных, а именно пять, и позволяет удовлетворить всем граничным условиям, в том числе условию конвективного теплообмена с окружающей средой.

3. Исследуемое численно частотное уравнение выписать полностью не представляется возможным. Однако, удается анализировать эквивалентное ему уравнение И = 0, где В — частотный определитель размерности 5×5, который равен левой части частного уравнения. Исследовались случаи, когда азимутальный порядок волны равен 1, 7 и 70 с использованием системы символьных вычислений Ма^ета^са 6.0. В зависимости от безразмерной частоты, найдены близкие к нулю волновые числа СШП-термоупругих волн в задаче о распространении термоупругих волн с наличием теплообмена через-боковую поверхность волновода.

4. Описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения, а также выполнен его численный анализ. В ходе визуального определения корней частотного уравнения, строятся графики нулевых линий уровня вещественной и мнимой частей частотного определителя. Точки пересечения указанных кривых являются корнями частотного уравнения ?> = 0. Результаты анализа и определения корней частотного уравнения в случае азимутальных чисел п — 1 и п = 7 сопровождаются соответствующими графическими образами.

5. Отделены все варианты значений выражений, содержащих вложенные арифметические корни из комплексных величин, что позволило устранить многозначность при вычислениях всех 25 вариантов расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней. Таким образом, становится возможным строить наиболее детальные графические образы (для каждой из ветвей). Для проверки полученных результатов, значения найденных волновых чисел подставлялись в частотное уравнение.

6. Разработан алгоритм, позволяющий осуществлять поиск волновых чисел без потери ветвей в извлекаемых корнях в ходе вычислений.

7. Найдены выражения для перемещений и температуры обобщенных С№Н-термоупругих волн в случае произвольного азимутального порядка. Определены формы перемещений и температуры, и приведены соответствующие графики для случаев термоупругой волны третьего и седьмого азимутального порядка.

Заключение

.

В соответствии с проведенными исследованиями получены следующие основные результаты:

1. Рассматриваются связанные линейные уравнения движения и теплопроводности для трех случаев (GNI/CTE, GNU, GNIII) обобщенной термоупругости. Обобщенная GNIII модель характеризуется четырьмя безразмерными материальными постоянными, независящими от частоты и одной безразмерной частотой.

2. С помощью условий совместности Адамара-Томаса проведен анализ слабых разрывов перемещений и температуры при переходе через волновую поверхность для классической GNI/CTE и обобщенной GNIII-термо-упругости, а также слабых разрывов перемещений и температурного смещения для гиперболической GNII теории. Показано, что в случае связанной GNI/CTE-термоупругости термический сигнал распространяется с бесконечно большой скоростью. Установлено, что для гиперболической теории GNII-термоупругости присутствуют ровно две скорости распространения слабых разрывов температурного смещения.

Проведен анализ плоских гармонических связанных GNIII-термоупру-гих волн. Получены формулы для отыскания волновых чисел. Определены условия нормальности волновых чисел распространяющихся волн, т. е. условия, при которых волна является затухающей и распространяется в положительном направлении. Показано, что каждому набору определяющих постоянных связанной плоской GNII-термоупругой волны соответствуют два значения волнового числа, являющихся вещественными.

3. Получено решение связанных уравнений гиперболической GNII-термоупругости для цилиндрического волновода круглого поперечного сечения со свободной теплопроницаемой боковой стенкой. Решение содержит достаточное число произвольных постоянных, а именно пять, и удовлетворяет граничным условиям, в том числе условию конвективного теплообмена через боковую поверхность волновода.

Определены волновые числа СШ1-термоупругих волн, распространяющихся вдоль оси свободного теплопроницаемого волновода при различных безразмерных частотах. Установлено, что волновые числа связанной гиперболической термоупругой волны могут быть как вещественными, так и чисто мнимыми. Найдены выражения для перемещений и температуры СШ1-термоупругих волн с произвольным азимутальным порядком. Определены и построены формы перемещений и температуры и приведены соответствующие графические представления в случае азимутального числа п = 3.

4. Рассмотрена задача о распространении связанных обобщенных СШП-термоупругих волн в свободном цилиндрическом волноводе круглого поперечного сечения, через боковую стенку которого происходит конвективный теплообмен с окружающей средой. Данная граничная задача содержит шесть безразмерных определяющих постоянных (пять из них являются материальными и одна безразмерной частотой).

Численно исследован эквивалентный аналог частотного уравнения ?> = О, где I) — частотный определитель размерности 5×5, который равен левой части частного уравнения. Описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения, а также выполнен его численный анализ. В ходе визуального определения корней частотного уравнения, строятся графики пулевых линий уровня вещественной и мнимой частей частотного определителя. Исследовались случаи, когда азимутальный порядок волны равен 1, 7 и 70 с использованием системы символьных вычислений МаЛета1лса 6.0. В зависимости от безразмерной частоты, найдены близкие к нулю волновые числа СШН-термоупругих волн в задаче о распространении термоупругих волн с наличием теплообмена через боковую поверхность волновода. Найдены выражения для форм перемещений и температуры обобщенных СШП-термоупругих волн в случае произвольного азимутального порядка.