Математические модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре: пространственные и временные хаотические явления

Развитие современной нелинейной оптики в определённой мере происходит под воздействием нескольких важных тенденций. Во-первых, сказывается влияние синер-гетической парадигмы с её вниманием к проблеме сложного, в том числе — сложного поведения в нелинейных системах [1,2]. Во-вторых, расширяется выбор подходов к решению проблем обработки информации вообще. В частности и в особенности, это касается задач адаптивной оптики (включая атмосферную [3]), задач управления параметрами оптических полей [4, 5], разработки принципов и оптических устройств обработки информации [6−8].

Самостоятельным научно-техническим направлением становится в последнее время создание методов и систем конфиденциальной связи, использующих изучаемое синергетикой явление детерминированного хаоса [9, 10]. Причём именно в оптических системах этот феномен исследован недостаточно как в теоретическом, так и экспериментальном плане, хотя изучение его ведётся почти четверть века [11−16]. Детерминированный хаос имеет универсальный характер, он обнаруживается в системах самой различной природы [17−24]. На фундаментальное значение исследований хаоса указывает лауреат Нобелевской премии академик В. Л. Гинзбург. В своём обзоре «проблем, представляющихся особенно важными и интересными с учетом ситуации на конец XX века» [25] он отвёл 11-е по важности место (из 30-ти) следующему комплексу научных направлений: «Нелинейная физика. Турбулентность. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы».

Состояние вопроса и актуальность темы диссертации. Среди оптических систем, представляющих интерес одновременно во всех указанных аспектах, выделяется нелинейный кольцевой интерферометр (НКИ).

Начиная с классических работ К. Икеды и его соавторов (1979;1986) [11], проводятся теоретические и экспериментальные исследования поведения кольцевого интерферометра с керровской нелинейностью и запаздыванием. Этой теме посвящено много работ, например С. А. Ахманов и М. А. Воронцов с коллегами, 1990;1997 [12, 26−29]- П. С. Ланда, 1987 [17]- Н. Adachihara, H. Faid, 1993 [30]- V.J. Firth, 1994 [31]- Н. Н. Розанов, 1997 [13]- J. Garcia-Ojalvo, R. Roy, 2001, 2002 [9,10]- C.C. Чесноков, A.A. Рыбак, В. И. Станичук 2000, 2001 [14, 32]- H.M. Рыскин, A.A. Балякин, 2001;2003 [15, 16]. Они различаются по содержанию и форме моделей, что связано с выбором физических приближений и математического аппарата, а также по методам получения результатов.

Изучение моделей процессов в кольцевом интерферометре, предпринималось в предположении отсутствия дифракции, диффузии, крупномасштабного преобразования поля для случая однородности среды в поперечном сечении. Тогда становится возможным использование аппарата одномерных дискретных отображений [11]. Другие авторы, наоборот, придерживаясь традиции нелинейной оптики, изучают модели тех же процессов, построенные на базе дифференциальных уравнений в частных производных, но в приближении бесконечно малого запаздывания и монохроматического излучения.

Теоретический анализ явлений в НКИ проводится в приближении одного прохода или больших потерь [12, 14, 26, 30, 32]. При исследовании моделей процессов в кольцевом интерферометре, в данных работах, авторы также часто пользуются приближением мгновенного отклика среды (по сравнению со временем запаздывания в интерферометре). В реальных НКИ имеет место запаздывание (задержка) поля в контуре обратной связи. Изучение её роли весьма актуально. Как известно, в аналогичных радиотехнических устройствах при изменении времени задержки возникает цепь бифуркаций. На основе систем с запаздыванием возможно построение генераторов колебаний сложной формы — колебаний со множеством близких частот, между которыми существует обмен энергией и т. д. [17, 22, 33, 34].

В последнее время появились модели, предполагающие двухчастотность оптического поля, поступающего на вход нелинейного кольцевого интерферометра [15, 16,35].

До сих пор в текущей литературе незаметна тенденция сравнительного анализа результатов, полученных в рамках различных подходов и моделей, в контексте систематизации закономерностей, выявляемых на их основе. Показательно также, что количество работ, в которых обсуждаются возможности применения полученных результатов, весьма мало.

Насколько можно судить по материалам конференций и научно-технической периодике, внимание специалистов по вопросам распространения лазерного излучения в нелинейных средах постепенно начинает переключаться на изучение факторов и механизмов, ограничивающих рост процессов, лежащих в основе нелинейных явлений. В работах (В.Е. Семенов и др., 2000 [36]- А. П. Сухоруков с коллегами, 2000 [37]- N. NRosanov et eil., 2001 [38]) подчёркивается необходимость учёта подобных механизмов при теоретических исследованиях и моделировании процессов распространения лазерного излучения в нелинейных средах. Однако в литературе неизвестны работы, в которых учтено влияние ограничения нелинейности применительно к каким-либо кольцевым системам.

Возможность использования нелинейного кольцевого интерферометра для управления лазерным излучением активно изучается с начала 1990;х гг. [4, 5, 26]. В статье [39] рассматривается вариант НКИ с дополнительным контуром обратной связи, содержащим фурье-фильтр, использование которого позволяет управлять формообразованием структур и подавлять турбулентный режим.

Однако в ранее опубликованных статьях не приводится каких-либо результатов по изучению сложной динамики в подобной оптической системе, в частности, режима детерминированного хаоса. Так, не изучен вопрос о том, как влияют на бифуркационное поведение параметры НКИ с дополнительным контуром обратной связи. Это обстоятельство ограничивает дальнейшее рассмотрение подобного устройства в плане применения его режимов функционирования в системах обработки оптической информации (в том числе — скрытой передачи сообщений), управления параметрами лазерного излучения.

В литературе широко освещены вопросы, касающиеся изучению временных [13, 16, 24, 40, 41] и пространственно-временных [11, 13, 42−46] процессов в кольцевых оптических системах. Однако не был проявлен интерес к изучению особенностей пространственных распределений величин каких-либо значимых характеристик (например, показателя преломления среды, амплитуды, фазы волны) оптической системы, функционирующей в статическом режиме.

Следовательно, представляется актуальным дополнить изучение — в указанных выше аспектах — закономерностей нелинейной динамики и бифуркационного поведения в моделях НКИ.

Актуальность избранной темы диссертации подтверждается и поддержкой исследований автора Федеральным агентством образования Минобрнауки РФ (Программа: «Развитие научного потенциала высшей школы»), проект № 60 321. Целями и вытекающими из них задачами диссертации являются: 1) построение моделей процессов в интерферометре в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и на языке дискретных отображений, а также соответствующих компьютерных программ, учитывающих: во-первых, его параметры: время запаздывания, тип крупномасштабного преобразования поля в контуре обратной связи (КОС), наличие многих проходов поля через НКИналичие ТУ-фотонных процессов в нелинейной среденаличие насыщения нелинейностиналичие дополнительного контура обратной связи и его параметровво-вторых, параметры оптического излучения: немонохроматичность светового поля, вид поляризации света, наличие модуляции фазы световой волны, наличие модуляции амплитуды световой волны, наличие модуляции положения плоскости поляризации.

2) Выяснение роли различных групп параметров в моделях интерферометра на сложную динамику процессов в нём.

3) Разработка теории, моделей и изучение особенностей пространственных распределений характеристик оптического поля на выходе НКИ, функционирующего в статическом режиме.

4) Аналитическое и численное исследование устойчивости решений и выяснение условий наступления бифуркаций различных типов в модели процессов в НКИ с дополнительным контуром обратной связи.

5) Изучение возможности использования различных схем интерферометра для целей обработки (главным образом, скрытой передачи) информации.

Для решения поставленных задач исследования были выбраны: методы теории устойчивости Ляпунова, методы теории колебаний и бифуркаций, методы численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, техника вычислительного эксперимента, понятия нелинейной оптики, теории множеств, теории графов и криптологии.

Результатом проведенных исследований стали следующие научные положения, выносимые на защиту:

I. В модели динамики нелинейного фазового набега в НКИ (с поворотом оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка на угол Д=120°) в приближении отсутствия диффузии имеют место — в зависимости от параметров нелинейности К и видности у — мягкая бифуркация Андронова-Хопфа (бифуркация рождения предельного цикла) либо жёсткое разрушение предельного цикла.

П. Пространственный детерминированный хаос — это статическое состояние нелинейной динамической системы с распределенными параметрами такое, что последовательность подмножеств Р, множества скалярных динамических переменных Р, выделяемая «наблюдателем» по некоторому (обусловленному особенностями динамической системы) регулярному алгоритму, является нерегулярной, апериодической, обладающей основными свойствами случайного процесса. Причём подмножества Р, равномощны, не совпадают (Р,^Рпри покрывают множество динамических переменных Р (Р = U/Р,), и пересечения Р, пРг+| равномощны.

Ш. Для ш-мерной динамической системы, описываемой совокупностью т (/77"1) эволюционных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вектора динамических переменных q (t)={q (t), q2(t), ., qm (t)}, в случае статического режима возможен переход к у'-мерному дискретному отображению с пространственной эволюционной переменной, где ]<т, а количество итераций ограничено и не превышает т— 1. При таком переходе в модели нелинейного кольцевого интерферометра для замкнутой цепочки транспозиционных точек имеет место (не)устойчивость в дискретном отображении, если статическое состояние системы (не)устойчиво.

IV. Для модели изменения нелинейного фазового набега в кольцевом интерферометре проявляется чувствительность сложной динамики к трёхфотонному процессу, когда интенсивность низкочастотного компонента Ъ в спектре велика настолько, что верно условие 2 ?"2 (/|Зь)½>1, где [Зь — размерный параметр, характеризующий долю потерь энергии на единицу длины нелинейной среды протяжённостью /. При 2 Ъ2 (/рь)½"1 влиянием трёхфотонного процесса можно пренебречь.

V. Для «точечной» модели двух контурного нелинейного кольцевого интерферометра (ДНКИ) в приближении больших потерь и пренебрежении временами /езапаздывания поля в контурах обратной связи, в которых потери равны, когда оптическое поле в поперечной плоскости лазерного пучка поворачивается на угол Д,=2кМ^/т (где /=1,2- т и М1 — целые числа, определяющие количество транспозиционных точек и шаг перемещения по ним), причем Д,=0, Л/^О:

— если т — чётное, то строение бифуркационных диаграмм (БД) такое же, что и для модели одноконтурного НКИ с Л=0;

— если т — нечётное, то структуры БД для модели ДНКИ существенно отличаются от аналогичных для моделей НКИ как с Д=Л" так и с А=Ду.

VI. В качестве основы устройства конфиденциальной связи двухконтурный нелинейный кольцевой интерферометр с различными временами запаздывания произвольной комбинацией углов Дь Д2 поворота оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка и удвоенных коэффициентов потерь/передачи уь у2 в контурах обратной связи более устойчив к «взлому» (методами корреляционного анализа) значений tf¡-ь Л-, у,-, чем одноконтурный НКИ, где /=1,2.

Достоверность защищаемых положений. Достоверность I положения обеспечивается, во-первых, результатами моделирования процессов в нелинейном кольцевом интерферометре на основе программ, испытанных на тестовых задачах, а также подвергнутых проверке с помощью независимо созданных программво-вторых, согласием с известными представлениями о причинах сложной динамикив-третьих, согласием со структурой бифуркационной диаграммы, построенной в книге [12, с. 278, рис. 6.9] для случая Д=180° и Д=120° [47, с. 77, рис. 3.8- 48] в НКИ.

Достоверность II и III положений основывается, во-первых, на строгом математическом выводе дискретного отображения с пространственной эволюционной переменнойво-вторых, в пользу корректности этих положений говорит следующий факт. Детерминированное, но нерегулярное распределение нелинейного фазового набега 27, (т.е. пространственный детерминированный хаос) в поперечной плоскости выходного лазерного пучка в НКИ формируется тогда и только тогда, когда множество Р разбивается на подмножества Р&bdquoкоторые удовлетворяют условиям,' указанным в выдвинутом теоретико-множественном определении пространственного детерминированного хаоса (ПДХ). Данное утверждение базируется на комплексе расчётов и построений: с одной стороны структур 27(г, t), генерируемых в НКИ, а с другой — дискретного пространственного распределения 27/ (эквивалент временной реализации), фазового портрета, спектра Фурье, ляпуновских характеристических показателей, А (ЛХП), фрактальной размерности Д>.

Корректность модели, методики и данных вычислительных экспериментов доказывает сходство карт D0(K, у), А (К, у) с картой динамических режимов [24, с. 72] и с картой распределения старшего ляпуновского показателя, А на плоскости параметров отображения Икеды в [24, с. 163].

Достоверность IV положения подтверждается данными вычислительных экспериментов, послуживших основой для построения комплекса карт ЛХП: А (К, у), А (К, Кьо s), МК, Ф), А (К, Qa), А (КЬ0 s, rj), а его содержание согласуется с классическими представлениями нелинейной оптики о трёхфотонных процессах в керровских средах [49, с. 195−196].

Достоверность V положения доказывается анализом комплекса построенных бифуркационных диаграмм. Модели, алгоритмы и компьютерные программы, использовавшиеся, для построения БД, протестированы путём сведения к случаю одноконтурного НКИ.

Достоверность VI положения подтверждается серией вычислительных экспериментов на базе моделей ДНКИ и НКИ. Построение автои кросскорреляционных функций для временных реализаций амплитуд в точках поперечного сечения лазерного пучка на выходе ДНКИ демонстрирует невозможность восстановления значений параметров модели ДНКИ. Кроме того, содержание шестого положения согласуется с результатами компьютерной имитации процесса шифрации и дешифрации информационного сигнала с помощью ДНКИ и НКИ.

Новизна защищаемых положений.

Новизна I положения заключается в том, что для широкого интервала значений параметров нелинейности и потерь исследован характер переходов между динамическими режимами в модели (2.17).

Новизна II и III положений заключается в разработке содержания понятия пространственного детерминированного хаоса и вытекающей из неё идеи рассматривать дискретное отображение с пространственной эволюционной переменной — в противоположность традиционному подходу (например, К. Икеды), оперирующему временной переменной. Кроме того, новизну положению III придаёт демонстрация (на конкретном примере) того свойства, что устойчивость статического состояния НКИ обусловливает устойчивый режим в дискретном отображении и наоборот. В литературе подобные выводы не обнаружены.

Новизна IV положения характеризуется, во-первых, предложением учесть роль трёхфотонного процесса, во-вторых, построением соответствующей математической модели, в-третьих, выдвижением адекватных приёмов изучения влияния физических факторов и представления результатов моделирования. .

Новизна У положения обусловлена тем, что до сих пор в литературе не предпринимались попытки построения и анализа БД для моделей ДНКИ.

Новизна VI положения характеризуется отсутствием в литературе анализа устойчивости ДНКИ как шифратора к «взлому» значений его параметров.

Научная ценность защищаемых положений.

Научная ценность II положения состоит в математической строгости определения пространственного детерминированного хаоса, которое необходимо для идентификации ПДХ в контексте анализа пространственных распределений параметров оптического излучения, НКИ и других нелинейных систем.

Научная ценность Ш положения заключается в том, что, во-первых, в общем случае для многомерной динамической системы в статическом режиме обоснован переход от её модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) к многомерному дискретному отображениюво-вторых, анализ устойчивости системы (на примере НКИ) в статическом состоянии сводится к анализу дискретных отображений (ДО) и не требует обращения к модели в форме ОДУ, поэтому отпадает необходимость в привлечении методов вычислительной математики для решения ОДУ.

Научная ценность IV положения заключается в указании условий, при которых начинается влияние генерации третьей гармоники на сложную динамику в модели НКИ, когда на его вход поступает лазерное излучение высокой интенсивности.

Научная ценность V положения состоит в том, что выполнен анализ устойчивости найденных стационарных решений для «точечной» модели двухконтурного НКИ и выяснена зависимость их расположения от управляющего параметра, а также их поведения при изменении параметров модели.

Практическая значимость защищаемых положений.

Практическая значимость I положения способна проявиться при создании оптической системы обработки информации.

Практическая значимость V положения заключается в том, что указаны условия, при которых модели двухи одноконтурного НКИ равносильны с точки зрения бифуркационного поведения.

Практическая значимость VI положения состоит в том, что выяснено и обосновано преимущество двухконтурного НКИ как основы криптосистемы оптического диапазона. Например, результат дешифрации чувствителен к несовпадению углов поворота поля в контурах обратной связи интерферометра-шифратора и в дешифраторе, причём значения этих углов не вскрываются средствами корреляционного анализа.

Внедрение результатов диссертации и рекомендации по их дальнейшему использованию.

Большинство результатов диссертации получены автором в период 1998— 2005 гг. Ряд результатов внедрён в учебный процесс (на кафедре квантовой электроники и фотоники ТГУ): в курсы «Основы синергетики», «Функциональная электроника» и «Нелинейная оптика», в содержание НИПС 3−6-го курсов. Результаты диссертации, касающиеся: содержания модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом трёхфотонных явлений, а также методики построения и интерпретации карт дробной размерности аттракторов, использованы в НИР на кафедре общей физики РГППУ (г. Екатеринбург). Копии документов о внедрении представлены в Приложении А.

Апробация работы и публикации.

По теме диссертаций опубликовано 50 печатных работ: 12 статей (из них 5 — в журналах РАН и журналах серии «Известия вузов», 1 — в российских научно-методических журналах, 3 — депонировано в ВИНИТИ, 2 — в SPIE, 1 — в IEEE), материалы 38-ми докладов на конференциях (в том числе — 29-ти — на международных). Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: — научных семинарах кафедры квантовой электроники и фотоники ТГУ- -научных семинарах кафедры электронных приборов Томского университета систем управления и радиоэлектроники;

— на международных и всероссийских конференциях: «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1999;2004), «Циклы. Cycles» (Ставрополь, 1999, 2002, 2005), «Современные проблемы физики и технологии» (Томск, 20 012 004), «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2001;2002), «Восьмая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых» (Екатеринбург, 2002), «Математика. Компьютер. Образование.» (Дубна, 2002), «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2002), «Организация структур в открытых системах» (Алматы, 2002), «Оптика и образование» и «Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2002, 2004), «0птика-2003» и «0птика-2005» (Санкт-Петербург), «Кристаллофизика 21-го века» (Москва, 2003), «Atomic and Molecular Pulsed Lasers» (Томск, 2003, 2005), «Современные проблемы физики и высокие технологии» (Томск, 2003;2005), «58-я Республиканская научная конференция молодых ученых, магистрантов и студентов» (Алматы, 2004), «Анализ и синтез как методы научного познания» (Таганрог, 2004), «IV International young scientists' conference on applied physics» (Киев, 2004, 2005), «Frontiers of nonlinear physics» (Нижний Новгород, 2004), «Fundamental Problems of Optoand Microelectronics» APCOM'2004 (Хабаровск, 2004), «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2004), «Physics and Control» (Санкт-Петербург, 2005), «Systems of Optical Security» (Варшава, 2005).

Личный вклад диссертанта.

В диссертации использованы только те результаты, в которых автору принадлежит определяющая роль. Опубликованные работы написаны либо без соавторов, либо в соавторстве с сотрудниками научной группы. В совместных работах диссертант принимал участие в расчётах, объяснении и интерпретации результатов моделирования. Постановка задач исследований осуществлялась научным руководителем, а в ряде случаев — и к.ф.-м.н. Измайловым И.В.

Автор признателен за помощь им, а также к. ф.-м. н. доценту ТУСУР A.JI. Магазинникову — за консультации по методам математического моделирования и анализа устойчивости. Автор благодарен коллективу кафедры квантовой электроники и фотоники ТГУ за многолетнюю моральную поддержку. В работе автору — в той или иной форме — помогали соавторы: как старшие, так и младшие «по званию», среди них — С. М. Авдеев, П. Е. Денисов, C.B. Лесина, М. Е. Назаров, И. В. Романов, Д. А. Шергин.

Структура и объём диссертации.

Приведённые цели и задачи определили структуру и содержание исследования. Диссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, списка литературы и Приложений. Общий объём диссертации 217 страниц текста, в том числе 86 рисунков и 4 таблицы (на 53 стр.), 5 Приложений (на 18 стр.). Библиографический список (на 20 стр.) включает 262 наименования.

Выводы.

Проанализирован материал нескольких статей, посвященных кольцевым оптическим системам, в состав которых добавлен ещё один контур обратной связи. Такая модификация расширяет возможности этих систем в отношении управления как регулярными, так и хаотическими процессами в них.

Описана оптическая схема ДНКИ и построена математическая модель динамики амплитуды а (г, ?), фазы ф (г, ?) и нелинейного фазового набега Щг, () с учётом многих проходов оптического поля в интерферометре (4.1). Наряду с общей рассмотрена модель в «точечном» приближении (4.2), т. е. при отсутствии диффузии молекул нелинейной среды (0С=0).

Исходя из состояния вопроса в литературе, сформулирован ряд задач исследований: анализ устойчивости решений уравнений для некоторых из конфигураций ЦТТоценка криптографической стойкости модели ДНКИ на предмет вскрытия параметров кодирующего устройствавыяснение чувствительности результата дешифрации к расстройке параметров дешифратора относительно параметров шифратора.

Для «точечной» модели ДНКИ в приближении больших потерь или одного прохода и пренебрежении временами запаздывания поля в контурах обратной связи (4.4) найдены стационарные решения, и выполнен анализ их устойчивости.

Составлены соответствующие программы поиска стационарных решений моделей (4.4), и проверки решений на устойчивость. С их помощью построены бифуркационные диаграммы для ряда комбинаций углов Д] и Д2 поворота оптического поля поперечной плоскости пучка в основном и дополнительном контурах обратной связи модифицированного НКИ. Проведено сравнение структур БД для одноконтурной и двухконтурной схем НКИ. Выявлено влияние параметров дополнительного контура обратной связи в НКИ на строение БД.

Так, если в одном из КОС нет поворота поля, а в другом осуществляется поворот, соответствующий чётному значению числа т точек в ЦТТ, то строение БД для модели ДНКИ такое же, что для модели одноконтурного НКИ без поворота поля в КОС. Однако, если число т нечётное, то структуры БД для моделей НКИ и ДНКИ существенно отличаются. С ростом числа точек ЦТТ т, который происходит при изменении угла поворота поля в одном из КОС, увеличение числа ветвей наблюдается при меньших значениях параметра нелинейности К. Структура БД существенно зависит не только от соотношения потерь/пропуекания уп/уп, но и от самих величин у (2, у13. Положение ветвей БД, соответствующих одинаковым значениям фазовых набегов Uh остаётся неизменным для любых комбинаций Ai и А2.

Если же углы поворота поля в контурах ДНКИ, А ,=90°, А2=180°, то отличия структуры БД от её аналогов для соответствующих моделей одноконтурных НКИ проявляются в том что: отсутствует бистабильность при ifе[2.0- 5.1]- существенно изменяется конфигурация устойчивых и неустойчивых ветвей БД. В частности, в отличие от случая модели одноконтурного НКИ с А=90°, возникают устойчивые ветви при К > 8.

В рамках точечной модели ДНКИ с учётом многих проходов поля через КОС (4.2) проведён корреляционный анализ динамики амплитуд поля в точках поперечного сечения пучка. Результаты проведённого корреляционного анализа динамики амплитуды поля в точечной модели (4.2) демонстрируют, что совместное построение автои кросскорреляционных функций позволяет: 1) при произвольных, но a priori известных (криптоаналитику) комбинациях углов поворота поля в первом и втором контурах ДНКИ легко выявить разность времён запаздывания Ate = | te 2 — te i |, но не сами величины te2, ts ь 2) ценой больших вычислительных затрат определить принадлежность точек к одной ЦТТ (произвести разбиение точек поперечного сечения пучка по множеству ЦТТ). Но определить саму структуру ЦТТ (углы поворота поля Аь А2 в КОС ДНКИ) невозможно. Таким образом, двухконтурная схема НКИ является более устойчивой по сравнению с одноконтурной в плане «взлома» её параметров с помощью корреляционного анализа.

Имитация шифрации сигнала с помощью НКИ и ДНКИ показала, что на выходе шифратора во всех случаях формируется хаотический сигнал, ничем не напоминающий информационный. Визуальное сравнение формы сигналов на выходе дешифратора, когда параметры шифратора и дешифратора не совпадают, позволило выяснить, что в случае ДНКИ результат дешифрации менее чувствителен к расстройке параметров, чем в случае одноконтурного интерферометра. Преимущество ДНКИ состоит в том, что результат дешифрации чувствителен к несовпадению углов поворота поля в ДНКИ и дешифраторе к нему. Таким образом, ДНКИ может быть использован как основа для разработки оптических криптосистем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Подводя итог проделанной работе, можно утверждать, что поставленные во Введении цели достигнуты. Резюме основных разделов диссертации составлены и помещены в виде заключения каждой из глав. Наиболее существенные итоги исследований сформулированы в виде защищаемых положений во Введении. Кроме того, обобщая результаты диссертации и стремясь показать работу в целом, полезно сгруппировать их по характеру научно-исследовательской деятельности. По нашему мнению, целесообразно выделить следующие аспекты.

Модельный аспект. Для анализа влияния физических факторов на сложное поведение поля и нелинейного фазового набега в однои двухконтурном НКИ составлен ряд базовых математических моделей в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Сформулированы соответствующие приближения. Построена математическая модель динамики амплитуды а{г, 0> фазы ср (г, и нелинейного фазового набега и{г, /) с учётом многих проходов оптического поля в интерферометре, а также модель в «точечном» приближении.

Составлены модели процессов в НКИ на языке дискретных отображений для случаев: монохроматического и бихроматического излучения на входе, с учётом /V-фотонных явлений либо насыщения нелинейностиа также с учётом многих проходов поля в контуре обратной связи.

Методологический аспект. Смысл понятия пространственного детерминированного хаоса раскрыт через категории теории множеств, разработано соответствующее определение и комплекс поясняющих иллюстраций. При описании его физического содержания введена фигура «наблюдателя», который задаёт алгоритм перебора точек пространства, где регистрирует значения характеристик поля либо нелинейной среды.

Для случая т-мерной динамической системы, временные процессы в которой описываются совокупностью т эволюционных уравнений относительно вектора динамических переменных Ят^)}, обоснован переход к^{-мерному} дискретному отображению с пространственной эволюционной переменной. Переход осуществлён для случая статического режима, т. е. при отсутствии изменений во времени (ск}/с!/=0). Оценена область допустимых значений начальных условий дискретного отображения. Выявлены ограничения на число итераций и размерность системы, вытекающие из алгоритма перебора точек пространства, в которых регистрируются значения характеристик оптического поля либо среды.

Предложена процедура экструзии (от лат. ех1гияит < ех — из + 1хис1о — толкать, т. е. выталкивать, выдавливать) фазового пространства в дополнительное измерение и соответствующая ей экстраполяция спектра ляпуновских характеристических показателей. Найдено ограничение на численное значение дополнительного ляпуновского показателя Лл<+1.

Введён ряд параметров: Хьов — параметр, характеризующий уровень интенсивности низкочастотного компонента в спектре, начиная с которого проявляется действие трёхфотонного процесса на сложную динамику в моделиК5 — параметр нелинейности, соответствующий интенсивности насыщения.

Предложены исследовательские приёмы: а) построение линий бифуркаций на основе бифуркационных диаграммб) сравнение структур карт ЛХП, соответствующих модели на языке дискретных отображений, с линиями бифуркаций для модели в виде обыкновенных дифференциальных уравненийв) объединение карт ЛХП с бифуркационными диаграммами для морфологической интерпретации карт и объяснения типа динамики в моделиг) вычисление доли Р площади карты, соответствующей хаотическому режиму, для количественной характеристики карты как некой целостностид) построение графиков плотности распределения значений фрактальной размерности Д>- е) построение карт с координатой Кь0 3 для выяснения границы влияния трёхфотонного поглощения в нелинейной среде на сложную динамику в НКИж) построение карт разности 51) значений 1)0 и.

Теоретический аспект. Проведён цикл вычислительных экспериментов. В частности, построены: временные реализации и фазовые портреты процессовамплитудные спектры Фурьеавтокорреляционные функциизависимости двух старших ЛХП от параметра нелинейности К и от временикарта динамических режимов на плоскости параметров модели К-ураспределения нелинейного набега фазы в поперечной плоскости лазерного пучказависимости порогового значения нелинейности (при котором наступает бифуркация удвоения периода) от времени запаздывания в контуре обратной связи НКИ.

Идентифицированы динамические режимы в модели (2Л 8), выяснено влияние на них параметра нелинейности К и видности у. Построенная карта динамических режимов позволяет установить, в каких областях параметров системы реализуется устойчивая стационарная точка, предельный цикл, странный хаотический аттрактор.

Для изучения условий возникновения пространственного детерминированного хаоса построены карты ляпуновских характеристических показателей и дробной размерности ?)0 аттракторов, графики плотностей распределения значений ?>0 для этих карт, и рассчитаны доли Р площади карт, соответствующей хаотическому режиму. Показана обусловленность строения карты ЛХП для модели в виде дискретного отображения структурой семейств линий бифуркаций для модели на языке обыкновенных дифференциальных уравнений. А именно структура карт повторяет конфигурацию участков между линиями бифуркаций.

Выявлено, что тип динамики существенно зависит от строения спектра входного излучения. На основе справочных данных для Ш) С1: Ка-лазера, Не-Ые-лазера, широкополосного СО-лазера, АЮаАз/ОаАз-лазера оценено значение расстройки спектральных компонентов, входящей в ключевые модели.

Установлено, что появление трёхфотонного процесса обогащает нелинейные эффекты в модели НКИ благодаря генерации третьей оптической гармоники. Изучено влияние параметра КЫ) 5 на структуру карт ляпуновских характеристических показателей, А и дробной размерности ?>0.

Исследовано влияние параметра К, — насыщения нелинейности, на структуру карт ляпуновских характеристических показателей, А (К, у). Обнаружено, что области (на картах), в которых имеет место хаотическое поведение, локализуются даже при К>Ка. Так, в структуре карт присутствуют области, где сохраняются морфологические особенности типичные для карт при Кц=со.

Из сравнения результатов, полученных для моделей с учётом многих проходов поля через КОС, с аналогичными для модели в приближении больших потерь установлено: 1) количественные характеристики аттракторов (значения ?)0) отличаются в зависимости от типа модели НКИ- 2) строение карт для разных моделей не совпадает- 3) существуют некоторые инварианты в структуре карт. Из расчётов долей Р площади карт, соответствующей хаотическому режиму, выведено: 1) доли Р зависят от набора значений параметров модели- 2) отличие значений Р для разных моделей зависит от набора значений параметров- 3) это отличие не превышает 8%. Обнаружено, что доля Р площади карт, соответствующая хаотическому режиму, практически одинакова для двух моделей: построенной в приближении одного прохода и модели с учётом многих проходов поля через контур обратной связи — при равноценных параметрах этих моделей. В первом случае значения соответствующие режиму пространственного детерминированного хаоса, лежат в интервале [0.9- 1]. Во втором же — они лежат в интервале [0.9- 1>0тах], причём равномерно распределены по всему интервалу.

Проверена правомерность процедуры экструзии фазового пространства для случая, когда на входе НКИ присутствует бихроматическое излучение, и на примере отображения окружности. Сделан вывод о неединственности «экструзированной» системы и о том, что всего одна система из этого набора (с =-оо) является идентичной исходной.

Выяснено влияние параметров дополнительного контура обратной связи в НКИ на строение БД. Например, с ростом числа т точек в цепочке транспозиционных точек (ЦТТ) увеличение числа ветвей БД наблюдается при меньших значениях параметра нелинейности К. Структура БД существенно зависит не только от соотношения потерь/пропускания 712/7135 но и от самих величин у12, упПоложение ветвей БД, соответствующих одинаковым значениям фазовых набегов Uh остаётся неизменным для любых комбинаций Ai и Д2. Для углов поворота поля в контурах двухконтурного НКИ Ai=90°, А2=180° отличия структуры БД от её аналогов для соответствующих моделей одноконтурных НКИ проявляются в том, что: отсутствует бистабильность при Ке[2.0- 5.1]- существенно изменяется конфигурация устойчивых и неустойчивых ветвей БД, в частности, возникают устойчивые ветви при К > 8.

Совместное построение автои кросскорреляционных функций амплитуд поля в точечной модели позволяет: 1) при произвольных, но a priori известных (криптоана-литику) комбинациях углов поворота поля в первом и втором контурах ДНКИ выявить разность времён запаздывания Ats= te2-te 11 (с точностью ±1,25%), но не сами величины te2, h ь 2) ценой больших вычислительных затрат определить принадлежность точек одной ЦТТ (произвести разбиение точек поперечного сечения пучка по множеству ЦТТ). Но определить саму структуру ЦТТ (углы поворота поля Дь Д2 в КОС ДНКИ) невозможно.

Прикладной аспект. Составлен комплекс тестированных программ для изучения моделей. В частности, для: решения нелинейных уравнений в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и дискретных отображенийпоиска стационарных решенийпроверки решений на устойчивость.

Результаты, касающиеся: содержания модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом трёхфотонных явлений, а также методики построения и интерпретации карт дробной размерности аттракторов, использованы в НИР кафедры общей физики Российского гос. педагогического профессионального университета (г. Екатеринбург) — см. Приложение А.

Проведена имитация шифрования сигнала с помощью НКИ и ДНКИ, показавшая, что на выходе шифратора формируется хаотический сигнал. Причём в случае ДНКИ результат дешифрации менее чувствителен к несовпадению параметров шифратора и дешифратора, чем для одноконтурного интерферометра. Обоснована рекомендация относительно целесообразности использования ДНКИ как основы оптических криптосистем.

Часть материалов литературного обзора использована при составлении методических указаний для студентов РФФ ТГУ, использующихся в учебном процессе в курсе «Функциональная электроника» (см. Приложение А).

Построена классификация дробных размерностей аттракторов.

Постановочно-проблемный аспект. Разработка понятия пространственного детерминированного хаоса стимулирует постановку проблемы выяснения степени распространённости данного явления в системах различной природы и возможностей его практического применения.

Попытка расширения сферы применения гипотезы Каплана-Йорке при помощи процедуры экструзии фазового пространства имеет своим естественным продолжением постановку задачи о нахождении дополнительных примеров систем и моделей, для которых правомерна гипотеза с расширенными указанным образом границами применимости.

Из анализа сложной динамики в модели ДИКИ вытекает задача оптимизации его характеристик и режимов для управления параметрами лазерного излучения и оптической обработки информации, включая генерацию оптических вихрей и защиту информации.