Методы расчета мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах

Диссертация посвящена разработке двух методов расчета пространственных мод однородных в продольном направлении и неоднородных по поперечным осям оптических световодов и применению этих методов для расчета мод фотонно-кристаллических световодов.

Актуальность работы. Создание лазеров и их широкое применение привело к появлению ряда новых направлений науки и техники. Одним из таких направлений является современная волоконная оптика, изучающая стеклянные волноводы с низкими оптическими потерями. Наиболее важной и развитой в настоящее время областью применения волоконной оптики является волоконно-оптическая связь.

Постоянно расширяется круг практических применений световодов и оптических волокон, то есть волноводов цилиндрической формы. Среди них: волоконно-оптические датчики различных физических полей (акустических, температурных, электрических, магнитных), в которых волновод является чувствительным элементомволоконно-оптические лазеры и преобразователи частотыгенераторы суперконтинуумакомпенсаторы дисперсии.

Практический интерес к оптическим световодам и волокнам породил необходимость разработки методов их исследования, позволяющих численно анализировать свойства уже существующих образцов и прогнозировать перспективы применения синтезируемых средствами компьютерного моделирования волноводных структур.

Фотонно-кристаллические световоды (ФКС) — это относительно новый класс оптических волокон, использующих свойства фотонных кристаллов (J. С. Knight, 1996). В поперечном сечении ФКС представляют собой кварцевую или стеклянную микроструктуру с периодической либо апериодической системой микровключений или микроотверстий цилиндрической формы, ориентированных вдоль оси волокна. Дефект микроструктуры служит сердечником световода, обеспечивая волноводный режим распространения электромагнитного излучения.

Способность ФКС удерживать и направлять свет зависит от множества физических и геометрических параметров, поэтому с их созданием появились дополнительные степени свободы для управления характеристиками света, распространяющегося внутри световода.

Актуальной задачей остается разработка эффективных методов расчета мод ФКС, то есть электромагнитных волн, которые способны возбуждаться и распространяться в сердечнике световода. Любой пучок излучения, направляемый в световод, будет «раскладываться» в нем по совокупности пространственных мод и распространяться в виде линейной суперпозиции мод.

Исторически первым методом, примененным для расчета мод ФКС, стал метод эффективного индекса (Т.А. Birks, 1997). Метод эффективного индекса, суть которого состоит в замене сложной модели сечения ФКС с множеством микроотверстий на адекватную модель обычного круглого световода со ступенчатым профилем показателя преломления, является одним из самых быстрых, но при этом метод уступает конкурентам по точности.

Существует несколько методов, предназначенных для расчета мод ФКС. Все их можно условно разделить на три группы: приближенно-аналитические методы или методы декомпозиции, интегральные методы и конечно-разностные методы.

Методы декомпозиции. Основная идея, эксплуатируемая в данной группе методов, — это возможность представления поля моды световода в форме разложения по некоторому базису. В результате этой декомпозиции отыскание мод сводится к задачи на собственные значения и собственные вектора некоторой матрицы.

Разложение по плоским волнам (A. Ferrando, 1999) с периодическими граничными условиями дает решение для бесконечного, периодически повторяющегося в поперечной плоскости световода, что делает принципиально невозможным получение данным методом мнимой части константы распространения, соответствующей потерям при распространении вытекающей или несобственной моды.

Метод разложения по модам Гаусса-Эрмита (Т.М. Monro, 2000) оказывается более пригодным для описания сложной структуры сечения ФКС, нежели метод разложения по плоским волнам, однако данный метод ограничен применением только к ФКС с отверстиями в оболочке, расположенными в узлах правильной гексагональной решетки, так как расстояние между центрами любых двух соседних отверстий должно быть фиксировано, и значение этого расстояния входит в выражение для базисных функций.

Метод мультиполя, разработанный для расчета мод световодов с несколькими сердечниками (Е. Yamashita, 1985), был обобщен на случай ФКС (Т.Р. White, 2002). Основным его недостатком является обязательное требование округлости микроотверстий в оболочке. Сильная сторона метода состоит в том, что он позволяет вычислять как действительную, так и мнимую части константы распространения, и, в отличии от метода мультиполя для световодов с несколькими сердечниками, использующего технику поточечной стыковки поля на границах включений, данный метод обрабатывает граничные условия путем разложения компонент поля по ортонормальному базису.

Характерной чертой метода согласованных синусоидальных мод (ССМ-метод) (A.S. Sudbo, 1993) является техника разбиения неоднородного сечения волноводной структуры на прямоугольные области с постоянным значением показателя преломления среды. В каждой из таких областей поле моды аппроксимируется суперпозицией факторизованных гармонических функций. А константы распространения мод находятся из условия минимизации невязки представлений поля на границах соседних областей, для чего используется интегральный подход. ССМ-метод использует процедуры поиска корней уравнений, и потому проигрывает по скорости методам, основанным исключительно на отыскании собственных чисел матриц.

Интегральные методы. Интегральные методы являются сеточными, то есть, в отличии от методов предыдущей группы, в данном случае решением задачи отыскания поля моды является сеточная функция, а не заданная аналитически.

Среди этой группы можно выделить метод конечных элементов (F. Brechet, 2000). Он представляет собой мощный инструмент векторного анализа, способный учитывать все особенности геометрии микроотверстий и расположение их в структуре сечения. Достаточно быстрый и гибкий, он часто используется для моделирования свойств ФКС. Среди недостатков метода конечных элементов можно назвать требовательность к ресурсам памяти, так как для описания структуры сечения ФКС требуется подробная дискретизация и большое количество переменных, а также необходимость вмешательства человека в работу алгоритма для лучшего определения граничных условий и сетки дискретизации.

Метод граничных элементов (N. Guan, 2003), где сечение разбивается на однородные области, а задача на собственные значения получается в результате применения теоремы Грина, отличает меньшая требовательность к ресурсам памяти. Однако существенным недостатком является возможность возникновения ложных решений.

В методе функции Грина (Н. Cheng, 2004) задача отыскания констант распространения мод также сводится к задаче на собственные числа матрицы, для решения которой разработан специальный быстрый алгоритм. Этот метод работоспособен в случае сложных геометрических форм микроотверстий ФКС, хотя и с меньшей скоростью сходимости, чем в случае круглых отверстий.

Конечно-разностные методы. Конечно-разностные методы, также как и методы интегральные, дают сеточное решение.

Метод конечных разностей (KP-метод) широко используется для решения разного рода уравнений. Благодаря простоте реализации, этот метод стал удобным инструментом для расчета мод оптических световодов, особенно тех, для которых не существует аналитического решения, например, таких как ФКС.

Наличие больших контрастов показателя преломления в структуре сечения ФКС требует использования полностью векторного подхода при расчете мод, вместо часто используемого для слабонаправляющих световодов скалярного подхода. Однако, как было продемонстрировано (7. КшИеёе, 2003), скалярный КР-метод может использоваться для получения как минимум качественной оценки распределения мод ФКС, в том числе на основе эффекта фотонных запрещенных зон.

Для более точного анализа были предложены векторные конечно-разностные схемы (О.И. НагсИеу, 1994). Дискретизации подвергаются дифференциальные операторы и функции, входящие в уравнение Гельмгольца или стационарные волновые уравнения.

Результатом применения специальных конечно-разностных схем к нестационарным волновым уравнениям или уравнениям Максвелла является семейство методов распространения пучка (С.Ь. Хи, 1994). Суть методов состоит в моделировании распространения когерентного пучка света вдоль световода, в результате чего получают моды данной структуры, как бы апостериорно. С помощью метода удобно исследовать энергетические потери при прохождении излучения по световоду, хотя это может быть и затруднительно в связи с проблемой сходимости метода к устойчивому состоянию, а плохо сходящиеся результаты для многомодового световода будут получаться всякий раз, когда более одной моды достигают устойчивого состояния одновременно.

Рассмотрим подробнее пару методов расчета мод световодов из двух принципиально разных групп: приближенно-аналитический метод согласованных синусоидальных мод, и дифференциальный сеточный метод, основанный на применении конечно-разностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям. Эти два метода усовершенствованы в данной диссертационной работе.

Базовая идея ССМ-метода, также известного как техника поперечного резонанса, была впервые сформулирована в новаторской работе Унгера (H.G. Unger, 1966). Последующее развитие метод получил благодаря работам Пенга и Олинера (S.T. Peng, 1981), которые применяли его для расчета потерь излучения за счет вытекающих мод в ступенчатых световодах. Затем в работе Садбо (A.S. Sudbo, 1993) был введен описательный термин «согласование синусоидальных мод» и дана точная математическая формулировка. Несмотря на преимущества данного подхода, связанные с возможностями полного векторного анализа и непрерывным характером результирующего поля, ССМ-метод ранее не применялся для моделирования ФКС. Кроме того, в ССМ-методе процедуры поиска корней (нулей функции) как на начальном этапе отыскании локальных мод, так и при определении константы распространения, обладают существенным недостатком, а именно: возможен пропуск корней в том случае, если они располагаются вблизи друг друга или вблизи разрыва, на расстоянии меньшем шага дискретизации. Пропуск корней в первом случае ведет к неверному решению для пространственной моды, а во втором — и вовсе к ошибочному отрицанию факта существования моды световода с некоторым значением константы распространения. Поэтому в диссертационной работе ССМ-метод был модифицирован на этапе отыскания констант распространения с помощью итеративного метода Крылова решения нелинейной матричной задачи на собственные значения и вектора. А на этапе поиска локальных мод в диссертации предложен оригинальный «статистический» алгоритм нахождение корней характеристического уравнения.

За основу рассматриваемого конечно-разностного метода был взят подход, предложенный в работе Янг (R. Yang, 2004), где для расчета мод использовалась техника применения конечно-разностных аппроксимаций к стационарным векторным волновым уравнениям для монохроматического света. KP-метод выигрывает по скорости работы алгоритма у ССМ-метода, поскольку задача отыскания констант распространения и отсчетов сеточных решений для поперечных компонент электрической или магнитной составляющих напрямую сводится к линейной матричной задаче на собственные числа и вектора. В своей работе Янг приводит вывод только для электрической составляющей электромагнитного поля, хотя явный вид элементов матрицы не показан. Компоненты магнитной составляющей поля могут быть рассчитаны через компоненты электрической составляющей путем численного их дифференцирования, хотя это приведет к дополнительным ошибкам. В диссертационной работе сформулирована математическая задача расчета магнитной составляющей светового поля, и строится алгоритм ее решения. Полностью расписана структура матрицы линейной задачи на собственные значения и вектора для электрической составляющей. Совместное решение двух аналогичных, но независимых, задач для электрической и магнитной составляющих позволяет произвести внутренний контроль правильности работы метода путем сравнения значений констант распространения.

Каждый из двух рассмотренных методов позволяет производить полный векторный анализ мод ФКС. Сравнение результатов расчета мод двумя принципиально разными методами позволит говорить об их достоверности.

Целью диссертации является разработка двух численных методов расчета пространственных мод лазерного излучения фотонно-кристаллических световодов, а также сравнение между собой пространственных мод, рассчитанных этими методами.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

• Разработать метод согласованных синусоидальных мод для расчета поперечных мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах, основанный на итеративном методе Крылова решения нелинейной задачи поиска констант распространения мод. в Разработать метод расчета мод лазерного излучения в фотонно-кристаллических световодах, основанный на применении конечноразностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям и независимом решении задач расчета электрических и магнитных составляющих электромагнитного поля.

• Получить численные значения характеристик мод лазерного излучения, распределения их компонент в сечении фотонно-кристаллических световодов и провести сравнение результатов, полученных разными методами.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан метод согласованных синусоидальных мод для расчета электромагнитных мод фотонно-кристаллических световодов, в котором задача поиска констант распространения мод решается как нелинейная задача на собственные значения с помощью итеративного метода Крылова.

2. Разработан метод расчета электромагнитных мод фотонно-кристаллических световодов, основанный на независимом решении двух линейных матричных задач на собственные значения, получаемых в результате применения конечно-разностных аппроксимаций к векторным волновым уравнениям относительно электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля.

3. С помощью разработанных методов проведено численное исследование модового состава оптических световодов с оболочкой в виде двумерного фотонного кристалла, с круглыми и квадратными отверстиями, расположенными в узлах гексагональной и квадратной решеток, с заполненным и полым сердечниками. Показано, что оба метода дают сходные результаты: значения рассчитанных констант распространения отличаются на величину порядка 10″, а среднеквадратическое отклонение распределений амплитуд компонент поля по области сечения составляет менее одного процента.

4. Рассчитана зависимость дисперсионного параметра фотонно-кристаллических световодов от длины волны, и показано, что при выбранных параметрах световод с заполненным сердечником обладает нормальной дисперсией, а аналогичный световод с полым сердечником — аномальной. Световод из плавленого кварца с полым сердечником может обладать дифракционными потерями (0,1 дб/км) меньшими, чем потери за счет поглощения света (0,2 дб/км) в световоде с заполненным сердечником.

Защищаемые положения:

• Метод согласованных синусоидальных мод, усовершенствованный итеративным алгоритмом Крылова позволяет без пропусков рассчитывать константы распространения пространственных мод фотонно-кристаллических световодов.

• Независимый расчет поперечных составляющих электрического и магнитного векторов электромагнитных полей мод фотонно-кристаллических световодов с помощью метода конечно-разностных аппроксимаций, применяемых к стационарным волновым уравнениям, позволяет получать одни и те же константы распространения мод, отличные друг от друга на доли процента.

• Основная мода моделируемого фотонно-кристаллического световода с квадратными отверстиями, расположенными вокруг сердечника, рассчитанная двумя разработанными методами отличается в среднем по сечению не более чем на один процент, а константа распространения отличается в третьем знаке после запятой.

• Предложенная в диссертации реализация ССМ-метода в среде МайаЬ дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа Р1ММЛ^АУЕ.

Практическая ценность работы определяется следующими обстоятельствами: Разработанный метод согласованных синусоидальных мод позволяет получить в виде Фурье гармоник аналитическое описание любой составляющей любой собственной моды фотонно-кристаллического световода с произвольно заданным поперечным сечением.

• Разработанный метод расчета мод лазерного излучения, основанный на применении конечно-разностных аппроксимаций к стационарным волновым уравнениям, позволяет быстро получать отсчеты амплитуд электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля мод световода с произвольным поперечным сечением.

• Оба метода позволяют рассчитывать дисперсионные кривые для ФКС с полым и заполненным сердечниками и определять области нормальной и аномальной дисперсии групповой скорости света.

• Оба разработанных метода также позволяют с помощью дополнительного оптимизационного алгоритма проектировать профиль показателя преломления в сечении световода, который бы обеспечил заданный модовый состав с требуемыми свойствами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: на IV и V международных конференция молодых ученых и специалистов «Оптика -2005» и «Оптика — 2007», проводимой Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, точной механики и оптики (г. Санкт-Петербург, октябрь 2005 и 2007гг.) — на третьем Самарском региональном конкурсе-конференции научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике, — проводимом Самарским филиалом Физического института РАН (г. Самара, ноябрь 2005 г.) — на Всероссийском семинаре по моделированию, дифракционной оптике и обработке изображений, проводимом Самарским государственным аэрокосмическим университетом (г. Самара, июнь 2006 г.) — на международном конгрессе «Оптика 21 века» на конференции «ICO Topical Meeting on Optoinformatics», проводимой Санкт-Петербургским государственным университетом информационных технологий, точной механики и оптики (г. Санкт-Петербург, сентябрь 2006 г.).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ, 8 из которых опубликованы в научных журналах рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, списка цитируемой литературы (95 наименований), приложения, изложенных на 149 страницах и содержит 45 рисунков.

Выводы к главе 4 | ;

1. Применение двух методов расчета мод ФКС (ССМ-метода и КР-метода) приводит к хорошо согласующимся результатам, что, учитывая также качественное и количественное соответствие результатов, полученных для круглых световодов, аналитическому решению, доказывает работоспособность обоих методов и достоверность получаемых модовых характеристик.

2. Численные исследования показали, что отверстия в сечении оболочки ФКС следует располагать в «шахматном порядке», чтобы избежать существования мод, распространяющихся в оболочке.

3. Из полученной ССМ-методом численной зависимости эффективного индекса первых шести мод ФКС диаметром отверстий в оболочке 0,4мкм от длины волны в диапазоне от 1мкм до 1,6 мкм следует, что одномодовый режим для данного ФКС реализуется при Л0 > 1,15 мкм. I.

4. Для ФКС с полым сердечником доля энергии электрической составляющей, распространяющейся в сердечнике, составляет 50%. Эффективный индекс несобственной фундаментальной моды комплексный и по модулю меньше единицы. Мнимая часть эффективного индекса составляет незначительную величину в диапазоне длин волн от 0,55мкм до 0,65мкм, что соответствует малым энергетическим потерям, в частности порядка 0,1 дБ/км для длины волны 0,6мкм, это меньше фундаментального предела затухания в обычных кварцевых волокнах (0,2 дБ/км).

5. Расчет зависимости дисперсионного параметра от длины волны КР-методом для ФКС показал, что ФКС с полым сердечником в диапазоне длин волн от 0,55мкм до 0,65мкм обладает аномальной и меньшей по абсолютному значению дисперсией, по сравнению с нормальной дисперсией аналогичного ФКС с заполненным сердечником.

6. Результаты расчета эффективного индекса, полученные с помощью разработанных методов и коммерческой программы РТММЛУАУЕ для двух моделей ФКС с заполненным сердечником совпадают с точностью до 0,2% .

7. Предложенная в диссертации реализация ССМ-метода в среде Ма1:1аЬ дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа РХМММУАУЕ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан метод синусоидальных согласованных мод, позволяющий без пропусков рассчитывать моды фотонно-кристаллических световодов, основанный на применении итеративного метода Крылова решения нелинейной задачи на собственные значения.

2. Численно показано, что фундаментальная мода слабонаправляющего одномодового световода переносит 100% энергии гауссового пучка, радиус которого в 1.17 раз больше радиуса сердечника.

3. Численно показано, что скалярная мода ФКС близка по распределению интенсивности и значению константы распространения к доминирующей компоненте векторной моды ФКС с таким же номером. Скалярный ССМ-метод, в применении к ФКС будет давать хорошее приближение для наиболее интенсивной из шести компонент вектора электромагнитной моды: Ех, Еу, Е, сВх, сВу, сВ:.

4. Разработан метод расчета мод фотонно-кристаллических световодов, на основе независимого решения двух линейных задач на собственные значения для электрической и магнитной компонент светового поля, полученных с помощью конечно-разностных аппроксимаций соответствующих стационарных волновых уравнений.

5. Разработанный КР-метод применен для расчета НЕи моды слабонаправляющего ступенчатого волокна и ступенчатого световода с круглым сердечником, который не является слабонаправляющим. Выявлено отсутствие ^ радиальной симметрии основной моды у последнего. В обоих случаях результаты согласуется с аналитическим решением для аналогичного световода с неограниченной оболочкой. Поведено сравнение двух разработанных методов расчета мод фотонно-кристаллических волноводов и показано, что оба метода дают почти одинаковые результаты (отличие менее 1%), если в методе согласованных синусоидальных мод выбирать более 15 локальных мод в каждой ячейке разбиения, а в конечно-разностном методе выбирать шаг сетки отсчетов меньше, чем десятую долю длины волны.

Показано, что отверстия в сечении оболочки ФКС следует располагать в «шахматном порядке», чтобы избежать существования мод, распространяющихся в оболочке. ССМ-методом рассчитаны зависимости эффективного индекса от длины волны нескольких первых мод фотонно-кристаллического световода и определен диапазон длин волн, при котором данный световод является одномодовым.

Для ФКС с полым сердечником доля энергии электрической составляющей, распространяющейся в сердечнике, составляет 50%. Эффективный индекс несобственной фундаментальной моды комплексный и по модулю меньше единицы. Мнимая часть эффективного индекса составляет незначительную величину в диапазоне длин волн от 0,55мкм до 0,65мкм. Показано, что энергетические потери составляют порядка 0,1 дБ/км для длины волны 0,6мкм, это меньше фундаментального предела затухания в обычных кварцевых волокнах (0,2 дБ/км).

Расчет зависимости дисперсионного параметра от длины волны КР-методом для ФКС показал, что ФКС с полым сердечником в диапазоне длин волн от 0,55мкм до 0,65мкм обладает аномальной и меньшей по абсолютному значению дисперсией, по сравнению с нормальной дисперсией аналогичного ФКС с заполненным сердечником.

11. Результаты расчета эффективного индекса, полученные с помощью разработанных методов и коммерческой программы Р1ММЛ^АУЕ для двух моделей ФКС с заполненным сердечником совпадают с точностью до 0,2% .

12. Предложенная в диссертации реализация ССМ-метода в среде МаЙаЬ дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа РГММХ^АУЕ.