Развитие и исследование алгоритмов вероятностного моделирования движения малых тел солнечной системы

Актуальность проблемы, рассматриваемой в работе, определяется возросшим в последнее время интересом к исследованию движения малых тел (астероидов и комет) Солнечной системы, что вызвано рядом причин. Основной из них является осознание того, что исследование орбитальной динамики малых тел проливает свет на эволюцию Солнечной системы в целом. Значительное увеличение количества открываемых в настоящее время астероидов и комет (общее количество открытых к настоящему времени объектов уже более пятисот тысяч и процесс обнаружения новых, ранее не наблюдавшихся, объектов активно продолжается) требуют развития эффективных вероятностных и численных методов и средств их реализации, способствующих более точному исследованию движения объектов.

Целью работы является совершенствование и разработка математических методов вероятностного описания движения малых тел Солнечной системы, а также их применение к решению ряда практических задач.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.

1. Разработаны в линейной и нелинейной постановке эффективные методы определения областей возможных значений параметров орбит малых тел по граничным поверхностям доверительных областей. Для варианта, когда доверительная область может быть с высокой точностью представлена в параметрическом пространстве в виде эллипсоида, разработано три линейных алгоритма отображения возможных значений параметров орбит на его граничную поверхность. Для варианта, когда представление доверительной области в виде эллипсоида неправомерно и граничная поверхность рассматривается в виде уровенной поверхности, определяемой целевой функцией, разработан более трудоемкий нелинейный способ отображения на эту поверхность.

2. Разработаны и исследованы различные способы определения в параметрическом пространстве точности аппроксимации доверительных областей эллипсоидами, которая рассматривается как характеристика (показатель) нелинейности и позволяет судить в какой постановке (линейной или нелинейной) надо решать задачу построения области возможных значений параметров орбиты рассматриваемого объекта.

3. Исследованы особенности задачи наименьших квадратов (НК) и построения начальных областей возможных значений параметров орбит в разных системах координат.

4. Разработан комбинированный метод отображения во времени начальной области возможных значений параметров орбит, включающий в себя линейное и нелинейное отображения.

5. Исследован способ отбраковки наблюдений и введения весовых множителей, основанный на уменьшении объемов доверительных областей.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

1. Разработаны алгоритмы построения граничных поверхностей доверительных областей в линейной и нелинейной постановке.

2. Предложены варианты приближенных и более точного, имеющего простое геометрическое толкование, способов вычисления показателей нелинейности.

3. Показано, что при решении задач НК и определении начальных областей возможных значений параметров орбит малых тел, наблюдаемых в одной оппозиции, лучшей системой параметров орбит является декартовы координаты и скорости.

4. Предложен комбинированный способ отображения во времени начальных областей возможных значений параметров орбит, включающий в себя линейное и нелинейное отображения.

5. Предложены способы отбраковки наблюдений и введения весовых множителей, основанные на предположении, что лучшей выборкой наблюдений и лучшими весовыми множителями является вариант, в котором определяемая доверительная область имеет меньшие размеры.

6. Определены показатели нелинейности в задачах построения начальных областей возможных значений параметров орбит 412 АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции.

Практическая значимость работы.

Представленные в работе методы и разработанное на их основе программно-математическое обеспечение могут быть использованы в задачах исследования вероятностной эволюции движения малых тел Солнечной системы, построения эфемерид их движения, идентификации объектов, а также в задачах определения вероятности столкновения исследуемых объектов с большими планетами. Особенностью методов является их направленность на уменьшение численных расчетов, которая включает в себя следующее.

1. Применение быстрых и более точной оценок показателей нелинейности для выбора линейных либо нелинейных методов построения областей возможных значений параметров орбит объектов. В частности, в работе получены такие оценки для 412 АСЗ, которые наблюдались в одной оппозиции. На основе полученных оценок даются четкие рекомендации по использованию алгоритмов построения доверительных областей.

2. Представление областей возможных значений параметров орбит в виде граничных поверхностей доверительных областей, что позволяет осуществлять нелинейные отображения областей во времени значительно меньшим количеством возможных траекторий объектов.

3. Применение комбинированного способа отображения во времени начальных областей возможных значений параметров орбит, что позволяет уменьшить интервал времени, на котором нужно использовать трудоемкое нелинейное отображение, основанное на расчете ансамбля большого числа возможных траекторий объекта.

Кроме того, предлагаемый в работе способ отбраковки наблюдений и введения весовых множителей в ряде случаев позволяет повысить точность НК-оценок параметров орбит объектов и уменьшить размеры вероятностного разброса возможных значений этих параметров. Применяя этот способ, автором получена новая система начальных параметров орбиты кометы Гершель-Риголле и на основе ее построена новая эфемерида кометы.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Алгоритмы построения граничных поверхностей доверительных областей, определяемых в линейной и нелинейной постановке.

2. Способы определения показателей нелинейности в задачах построения областей возможных значений параметров орбит малых тел и их применение к АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции.

3. Комбинированный способ отображения во времени областей возможных значений параметров орбит, включающий в себя линейное и нелинейное отображения.

Апробация результатов исследования.

По результатам исследования опубликованы 25 работ, из которых 11 статей в российских изданиях (Черницов и др., 2006а: Черницов и др., 2007аЧерницов и др., 2007bСюсина и др., 2009; Сюсина и др., 2010bСюсина и др., 2011аСюсина и др., 2011bСюсина и др., 2011сСюсина и др., 201 IdСюсина и др., 2011еСюсина и др., 2012), входящих в перечень рецензируемых научных изданий, а также 14 работ в других изданиях (Дубае, 2005; Дубае и др., 2005; Дубае, 2006аДубае, 2006bДубае, 2008; Дубае, 2009; Черницов и др., 2006bЧерницов и др., 2006сChernitsov et. all, 2007; Сюсина и др., 2010аСюсина и др., 2010сСюсина и др., 2010dСюсина и др., 2010еСюсина и др. 2010f).

Во всех работах, написанных совместно с A.M. Черницовым и В. А. Тамаровым, A.M. Черницов}' принадлежит выбор тем исследования, постановка задач и обсуждение полученных результатов. В. А Тамаров принимал участие в тестировании на упрощенных моделях численных расчетов и подготовке публикаций. Соавторы А. П. Батурин (Сюсина и др., 2011е) и A.A. Кудашкина (Сюсина и др., 2010сСюсина и др., 2010f) принимали участие в тестировании ряда численных расчетов, связанных с построением численной теории движения кометы Гершель-Риголле. Соавторы работы (Черницов и др., 2007b) В. А. Авдюшев и М. А. Баныцикова принимали участие лишь в численном эксперименте для спутника Юпитера Himalia, результаты которого в диссертации не приводятся. Автору во всех публикациях принадлежит разработка рабочих алгоритмов, их программная реализация и проведение всех численных экспериментов, включенных в диссертацию.

Результаты исследований докладывались и обсуждались на 14 конференциях:

1. XXXIV Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 31 января — 4 февраля 2005 г.;

2. Всероссийская астрономическая конференция «Околоземная астрономия — 2005», г. Казань, 19 — 24 сентября 2005 г.;

3. V всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 3−5 октября 2006 г.;

4. XXXV Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 30 января — 3 февраля 2006 г.;

5. Международная научная конференция «Современные проблемы астрономии», г. Одесса, 2007 г.;

6. International astronomical meeting «Dynamics of Solar System Bodies» in Siberia, Tomsk, July 27 — 31, 2008 г.;

7. VI Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 25 сентября — 2 октября 2008 г.;

8. Всероссийская конференции «Современная баллистика и смежные вопросы механики», г. Томск, 17 — 19 ноября 2009 г.:

9. XXXVIII Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 2−6 февраля 2009 г.;

10. Всероссийская астрономическая конференция (ВАК—2010) «От эпохи Галилея до наших дней», пос. Нижний Архыз, 12 — 19 сентября 2010 г.;

11. Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Математическое и физическое моделирование опасных природных явлений и катастроф», г. Томск, 18−20 октября 2010 г.;

12. VI Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 12 — 14 апреля 2011 г;

13. Международная конференция «Околоземная астрономия — 2011», Красноярск, 5−10 сентября 2011 г.;

14. II Всероссийская Молодежная научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики», г. Томск, 11−13 апреля 2012 г.

Результаты, представленные в диссертации, включены в отчеты по проекту N 2.1.1/2629 «Развитие и применение основанных на параллельных вычислениях математических моделей сложных космических систем естественного и искусственного происхождения», выполняемого в рамках АВЦП «Развитие потенциала высшей школы» — в отчеты по гос. контрактам N П1247 и N П882 в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» — в отчеты по гранту РФФИ N 05−02−17 043 и N 11−02−918-а.

Содержание диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (99 наименований), двух приложений, содержит 23 рисунка и 15 таблиц. Объем диссертации составляет 117 страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Проведенное исследование по совершенствованию и разработке математических методов вероятностного описания движения малых тел Солнечной системы, а также их применение к решению ряда практических задач, позволяет сделать следующие выводы:

1. Получены в линейной и нелинейной постановке эффективные методы определения областей возможных значений параметров орбит малых тел по граничным поверхностям доверительных областей. Численными экспериментами показано, что способ задания граничной поверхностью начальной доверительной области позволяет минимизировать количество необходимых для этого точек. Оценки показывают, что для построения доверительных областей в б-ти мерном параметрическом пространстве по граничной поверхности требуется на несколько порядков меньше точек, чем в случае заполнения этими точками всего объема области.

2. Для оценки нелинейности решаемой задачи предложены приближенные и более точный способы вычисления показателей нелинейности. Численные оценки для 412 АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции, показали хорошее совпадение значений показателей, вычисленных разными способами. Поэтому можно применять приближенные способы для быстрой оценки степени нелинейности задачи, что позволяет выбрать, не прибегая к трудоемкому точному способу, в какой постановке (линейной или нелинейной) надо решать задачу построения области возможных значений параметров орбит рассматриваемого объекта.

3. Разработан комбинированный метод отображения на заданный момент времени начальной (эллипсоидальной) области возможных значений параметров орбит, включающий в себя линейное и нелинейное отображения. В предложенном комбинированном способе построения отображений вначале применяется линейное отображение начальной области с последующей оценкой полученной области на нелинейность. Если показатель нелинейности для отображенной области оказывается больше заданного порогового значения, то область вычисляется линейным способом на некоторый предельный момент времени, для которого она еще остается эллипсоидальной. Затем на последующем интервале времени осуществляется нелинейное отображение. Определение на примере четырех астероидов допустимых интервалов, на которых возможно применение линейных отображений, показало, что такой подход дает возможность значительно уменьшить вычислительные затраты, так как позволяет сузить интервал, на котором нужно использовать нелинейное отображение.

4. Исследованы особенности задачи наименьших квадратов и построения начальных областей возможных значений параметров орбит малых тел в разных системах координат и при выборе различных моментов времени, на которые определяются начальные параметры их опорных орбит. На примере нескольких исследуемых астероидов показано, что если объект наблюдался в одной оппозиции, процесс улучшения начальных параметров следует проводить в пространстве декартовых переменных, так как в этом случае скорость сходимости метода дифференциальных поправок будет выше, а область сходимости шире. Для большинства объектов, наблюдавшихся в двух и более оппозициях, лучшей системой начальных параметров является кеплерова система, но существует ряд исключений, поэтому для таких объектов нет однозначного ответа о выборе лучшей системы начальных параметров. Показано также, что начальную область желательно определять на момент времени внутри интервала наблюдаемости объекта, например, на момент, равный среднеарифметическому моментов времени наблюдений. Такой выбор момента времени уменьшает нелинейность задачи оценивания начальной области и позволяет во многих случаях использовать для ее решения линейный подход.

5. Для объектов, содержащих малые систематические ошибки в модели движения и наблюдениях, исследован способ отбраковки наблюдений и введения весовых множителей, основанный на уменьшении объемов доверительных областей. Способ применен для построения новой численной теории движения кометы Гершель-Риголле. Выбор этой кометы для исследования связан с тем, что ее наблюдения в значительной мере неравноточные, и поэтому на этом объекте возможна в полной мере демонстрация рассматриваемого способа отбраковки наблюдений. Учесть негравитационные возмущения в движении этой кометы невозможно, так как она наблюдалась только в двух появлениях. В то же время, из-за низкой точности визуальных наблюдений кометы Гершель-Риголле в первом ее появлении и значительных ошибок многих фотографических наблюдений во втором появлении, можно сделать предположение, что систематические ошибки, связанные с ис учетом в модели ее движения негравитационных возмущений относительно велики и тем самым позволяют считать результаты отбраковки корректными.