Метод инвариантного погружения в теории рупорных антенных решёток и нерегулярных волноводов

Волноводно-рупорные излучатели, имеющие плавный переход от одно-модового входного волновода до раскрыва, характеризуются хорошим естественным согласованием со свободным пространством в довольно широкой полосе частот. Поэтому они находят применение в качестве элементов фазированных антенных решёток (ФАР) для сканирования в ограниченном секторе [1−4], а так же в качестве элементов небольших решёток облучателей в многолучевых зеркальных антеннах, используемых в системах спутниковой связи [5, 6].

Основная проблема расчета характеристик таких систем состоит в корректном описание распространение поля в рупорном переходе, который является частным случаем нерегулярного волновода. Хорошо известны различные классические подходы к описанию поля в нерегулярных волноводах с изменяющейся шириной поперечного сечения. В прикладных задачах часто используются комбинированный метод согласования мод [7−11], который базируется на использовании ступенчатой аппроксимации профиля боковой стенки волновода с последующей итерационной процедурой, на каждом шаге которой используются условия согласования полей для учёта вклада каждой следующей ступеньки в характеристики всего участка. Не менее успешно для решения подобных задач применяется метод поперечных сечений [12−17], предложенный в работах А. Г. Свешникова, и далее развиваемый в работах Б. З. Каценеленбаума. Идея метода поперечных сечений которого заключается в представлении поля внутри нерегулярного участка в виде разложения по собственным модам регулярного волновода с переменными коэффициентами, для определения которых формулируется краевая задача. Этот подход позволяет перейти от уравнения Гельмгольца для поля к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для неизвестных коэффициентов. Не меньший интерес представляет метод интегрального уравнения [18, 19], который часто используется совместно со ступенчатой аппроксимацией для волноводов с переменной шириной поперечного сечения и неоднородным диэлектрическим заполнением.

Сопоставление этих методов, характеризующихся различными алгоритмами и математическим аппаратом в силу их сложности, возможны лишь после получения конкретных численных результатов. При этом в литературе [20, 21] отмечены случаи, когда проводить сравнения результатов, полученных различными методами некорректно поскольку существуют области параметров, при которых численные результаты не могут быть получены с достаточной точностью, и такие области для различных методов могут не совпадать.

Различные классические подходы описывают один и тот же объект — отрезок нерегулярного волновода. Поэтому возникает вопрос о существовании такого универсального метода, который мог бы использовать внутри себя любой из допустимых методов с одной стороны, и иметь универсальную (инвариантную относительно выбранного метода) вычислительную процедуру, с другой стороны.

В качестве такого объединяющего подхода целесообразно рассмотреть метод инвариантного погружения. Впервые идея погружения была предложена В. А. Амбарцумяном для задачи о диффузном отражении света от рассеивающего слоя [22] и получила дальнейшее развитие при решении различных задач в работах Белламана, Калабы и их коллег [23, 24]. Значительный вклад в развитие и применение метода для задач распространения и рассеяния волн в одномерных случайно-неоднородных средах был сделан В. И. Кляцкиным [25] Метод погружения так же хорошо зарекомендовавший себя при описании многократного рассеяния в случайно неоднородных средах и взаимодействии поля с возмущенными, неровными поверхностями [26−31], а также в задачах дифракции на фотонных кристаллах [32−35]. В таких задачах центральным моментом является корректный механизм включения борновского приближения в общую картину многократного рассеяния. В задаче о нерегулярном волноводе роль борновского приближения — метода описания взаимодействия излучения с бесконечно тонким слоем вещества, могут выполнять отмеченные выше классические методы с той лишь существенной особенностью, что применяться они будут к участку нерегулярного волновода бесконечно малой длины. Наличие этого малого параметра может существенно упростить алгоритмы классических методов, доводя их до простых аналитических формул.

Поэтому попытка реализовать такой подход в теории нерегулярных волноводов видится целесообразной и актуальной.

Цель и задачи исследования

Цель работы заключается в расширении области применения метода погружения на класс задач о нерегулярных волноводах, на примере рупорного перехода и антенных решётках.

Для достижения указанной цели были рассмотрены следующие задачи.

1. Используя идеологию метода погружения получить общий вид уравнения погружения для матрицы рассеяния нерегулярного волновода.

2. Опираясь на известные классические методы и используя как преимущество наличие малого параметра в методе погружения, найти аналитический вид коэффициентов уравнения погружения для полей различной поляризации.

3. Исследовать конечно-разностный вид уравнений погружения для описания периодических структур (антенных решёток) в базисе углового спектра поля.

Методы исследования. В качестве центрального, в работе используется метод инвариантного погружения, с выбранным в качестве параметра погружения линейным размером нерегулярного участка волновода. Для решения вспомогательной задачи о взаимодействии поля с элементарным слоем используются такие методы как метод согласования мод, метод поперечных сечений и метод интегрального уравнения. В работе используется математический аппарат теории дифференциальных и интегральных уравнений, а так же численные методики интегрирования ОДУ.

Научная новизна работы. В работе получено уравнение эволюции (уравнение погружения) матрицы рассеяния нерегулярного волновода по параметру погружения — линейном размеру нерегулярного участка. На основе различных классических методов, с учётом появляющегося в методе погружения малого параметра, найден аналитический вид коэффициентов уравнения погружения для различных случаев поляризации волнового поля. На уровне аналитических соотношений показана асимптотическая эквивалентность результатов классических методов для рассматриваемой задачи.

Основные результаты работы. В ходе диссертационной работы были получены следующие основные результаты.

1. Получено уравнение эволюции матрицы рассеяния нерегулярного волновода при использовании базиса волноводных мод, имеющее вид уравнения Риккати.

2. На основе таких классических методов как метод согласования мод, метод поперечных сечений и метод интегрального уравнения (МИУ) найден аналитический вид решения для вспомогательной задачи о матрице рассеяния для бесконечно малого участка нерегулярного волновода для случаев полей различной поляризации.

3. В рамках метода погружения, показана асимптотическая эквивалентность указанных решений классических методов для всех областей значений параметров рассмотренной задачи.

4. Аналитически обоснована интегрируемость уравнения погружения в окрестности критических сечений нерегулярного волновода — точек сингулярности коэффициентов уравнения.

5. Получен конечно-разностный вид уравнения погружения для задачи о взаимодействии поля с периодической структурой (антенной решеткой) в базисе углового спектра волнового поля.

6. В рамках исследования конечно-разностного уравнения погружения, для подзадачи о дифракции на прямоугольных брусьях получено решение на основе использования разложения по полному периодическому базису, которое позволило существенно улучшить точность расчётов и стабилизировать рост числа обусловленности полученной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) по сравнению с результатами, представленными в работах [36−38].

Практическая ценность работы заключается в разработке унифицированного подхода к расчёту характеристик нерегулярного волновода на основе решения задачи Коши для матрицы рассеяния. Для задачи о дифракции на брусьях получены результаты, позволяющие значительно улучшить выполнение теоремы Пойнтинга и стабилизировать рост числа обусловленности рассматриваемых систем линейных уравнений.

Достоверность научных результатов обеспечивается корректность вывода уравнения погружения и его коэффициентов. Результаты расчётов по полученным уравнениям были численно (для случая ^-поляризации) сравнены с результатами расчётов по комбинированной модели ступенчатого рупора, и показали хорошее соответствие. Для случая Я-поляризации поля было произведено сравнение результатов расчёта с известными в литературе. Для всех расчётов проводилась проверки энергетического баланса и сходимости решения по количеству учитываемых мод.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах «Математическое моделирование волновых процессов» под рук. Лукина Д. С. в РосНоу (Москва, 2009 и 2010), «Численные методы электродинамики» под рук. Свешникова А. Г., Ильинского А. С. физфак МГУ (Москва, 2010), «Фельдовский семинар» под рук. Шевченко В. В., Скобелева С. П. ИРЭ РАН (Москва, 2010) и конференциах Progress In Electromagnetic Research Symposium (Moscow, 2009, Beijing, 2007), «Авиация и космонвтика» МАИ (Москва, 2009), «Гагаринские чтения» МАТИ (Москва, 2009), «Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества» МГТУГА (Москва, 2008).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 16 работ, включая 7 работ в журналах из перечня ВАК.

Краткое содержание работы.

В первой главе рассмотрена задача о расчёте волнового поля в плоском нерегулярном волноводе с изменяющейся шириной сечения и описан подход к решению на основе метода инвариантного погружения. Идеология метода погружения базируется на рассмотрении множества геометрий задачи, отличающихся значением одного параметра — параметра погружения. Такое множество задач порождает пространство решений, в котором выделяются две особые точки — искомое решение и решение, которое может быть легко получено. Соединяя эти две точки траекторией, можно исследовать как решение эволюционирует при изменении параметра погружения. Уравнение эволюции, определяющее как изменяется решение вдоль указанной траектории, называется уравнением погружения.

Стоит отметить, что величины рассматриваемые в качестве решения должны удовлетворять принципу динамической причинности по параметру погружения, т. е. решение задачи для конкретного значения параметра погружения может зависеть только от решений, полученных для предшествующих значений этого параметра.

Для задачи о нерегулярном волноводе в качестве параметра погружения удобно выбрать протяженность нерегулярного участка — к. Поскольку электромагнитные поля не удовлетворяют принципу динамической причинности, то в качестве решения следует рассмотреть матрицу рассеяния прохождения соответственно, записанные в базисе собственных мод регулярных участков волновода.

Для построения уравнения погружения относительно? необходимо определить, как изменяется решение при добавлении бесконечно малого элементарного слоя высотой А/г.

Поскольку высота элементарного слоя А/г — малая величина, и в конечном результате будет произведен предельный переход при А/г —" 0, то мы вправе представить коэффициенты отражения и прохождения в виде разложения по А/г. матричные коэффициенты отражения и г^/гА/г) = р±{К)/к + о (Д/г) 10 гАН) = I + ^{ЩАН + о (Д/г).

Такое разложение позвляет записать дифференциальную форму уравнения погружения для матрицы рассеяния нерегулярного волновода.

Общий вид полученного уравнения не зависит от геометрии волновода и типа возбуждения, вся информация о которых заключена в характеристиках элементарного слоя р±и т^.

Полученное уравнение можно трактовать как некое правило «суммирования» для характеристик элементарных участков, при этом, выражение для последних может быть получено на основании различных классических методов теории нерегулярных волноводов с той лишь разницей, что при использовании метода погружения, в задаче возникает малый параметр — высота элементарного слоя. Отмеченный выше факт, как показано во второй главе работы, позволяет записать решение для коэффициентов уравнения в компактном аналитическом виде.

Вторая глава работы посвящена решению задачи о взаимодействии волновых полей различной поляризации с элементарным слоем бесконечно малой высоты АН.

В главе показано, что наличие малого параметра АН, присущего методу погружения, позволяет значительно упростить решения классических методов и получить аналитический вид для для р и г — коэффициентов уравнения погружения. х+ + + + Бх-Э. очевидными начальными условиями ?

Первым рассматривается случай^{-поляризации} поля с геометрией неоднородности аппроксимируемой бесконечно малой ступенькой. Для решения поставленной задачи используется метод согласования мод. Показано, что, отбрасывая в уравнениях члены порядка о (А/г), решение можно записать не в виде СЛАУ относительно характеристик отражения (г) и прозрачности (?), как это обычно делают при использовании метода согласования мод, а в виде следующих аналитических выражений относительно р и т: трк =^Рк + Ррк + (Фр> Ф’к).

Здесь фр — у^у 8 т (^щХ + 5 — собственные моды регулярного участка волновода (базисные функции) для Е-поляризации поля, а кр — постоянная распространения р-ой моды.

Далее в тексте работы рассматривается вопрос о том, насколько сильное влияние на решение имеет форма аппроксимации геометрии нерегулярного участка волновода. При этом предлагается отказаться от ступенчатой аппроксимации, рассмотрев аналогичную задачу для клина. Для такой геометрии наиболее удобным методом решения является метод поперечных сечений, основная суть которого заключается в представлении решения в виде разложения поля в произвольном сечении нерегулярного участка по собственным модам волновода.

В работе показано, что вид аналитического решения полностью совпадает с результатами полученными при использовании ступенчатой аппроксимации профиля волновода.

Такое совпадение можно трактовать как асимптотическую эквивалентность (в смысле предельного перехода при АН 0) метода согласования мод и метода поперечных сечений, в следствии того, что аналитический вид коэффициентов, а значит и уравнения эволюции, эквивалентны при всех значениях параметров задачи.

Далее в главе описано решение аналогичной задачи для случая Н — поляризации поля. На основе метода согласования мод и ступенчатой аппроксимации профиля волновода получены аналогичные случаю^{-поляризации} результаты для коэффициентов уравнения Риккати, имеющие следующий вид: волновода для случая Н-поляризации. Как видно из сравнения структура решений для различной поляризации поля схожа и отличается лишь видом базисных функций, что приводит к изменению свойств симметрии, фигурирующих в выражениях матриц. на боковой границе волновода. Проблема заключается в том, что векторное поле, усреднённое по физически бесконечно малому объёму, у боковой границы волновода должно быть перпендикулярно исходной гладкой поверхности. Вопрос о переходе к усреднённому полю и его ортогональности к боковой границе волновода, к сожалению, пока не нашёл своего разрешения.

Предлагается другой подход к этой проблеме, основанный на использовании метода интегрального уравнения, не требующего обязательной ступенчатой аппроксимации. При рассмотрении гладкой поверхности в МИУ условие ортогональности выполняется автоматически. Совпадение результатов при различных способах моделирования поверхности будет являться косвенным подтверждением выполнения условий ортогональности для сту.

Трк ЪКрЗрк Ррк Ррксобственные моды.

В случае Я-поляризации, возникает вопрос об ориентации вектора Ё пенчатой аппроксимации.

Используя это преимущество малого параметра, на основе условий непрерывности поля на верхней и нижней границах элементарного слоя можно получить искомое решение, которое полностью совпадает с результатами для ступенчатой аппроксимации.

В заключительной части главы рассмотрено поведение решения матричного уравнения погружения, в окрестности особых точек — критических сечений волновода. Т. е. таких значений высоты неоднородного участка, при которых постоянная распространения одной из мод обращается в нуль.

В таких точках часть коэффициентов уравнения Риккати становятся сингулярными. В работе подробно рассмотрен вопрос о поведении решения в окрестности особых точек. При этом показано, что правая часть уравнения погружения может быть легко разделена на сингулярную и регулярную части. Вблизи особых точек регулярной частью можно пренебречь, что позволяет получить простую диагональную систему ОДУ, которую можно аналитически проинтегрировать.

Анализ результатов показывает, что решения не противоречат основным физическим принципам. Проведенный в работе анализ данных решений позволяет говорить об интегрируемости уравнения Риккати в особых точках, т. е. особенности коэффициентов не приводят к особенностям в решении.

В третьей главе рассматриваются вопросы применения метода погружения в задаче об излучении фазированной рупорной антенной решетки (PAP). Декомпозиция задачи позволяет выделить часть непосредственно решаемые с помощью метода погружения — это задача о поле в рупорном переходном слое, и часть, связанную с согласованием поля в волноводах и в свободном пространстве.

Характеристики отражения {RhAA) и прохождения всей PAP определяются из соотношений.

Rhaa =^я + THrL [[/ — RHtL] Т+,.

Здесь — характеристики рупорного перехода, которые определяются из уравнения погружения, а rj, iJ — коэффициенты отражения и прохождения для антенной решетки из усеченных волноводов, для вычисления которых используется хорошо известное решение на основе метода согласования мод [39].

Для проверки адекватности предложенной методики расчёта была проведена серия совместных численных экспериментов, включающих в себя как расчёт на основе метода погружения, так и расчёт с использованием модели ступенчатого рупора. Расчёты показали хорошее численное совпадение, в среднем с точностью до 1СГ6 (в худшем случае результаты различались на 1СГ3). Для контроля корректности результатов проводилась проверка энергетического баланса, которая показала, что, при отсутствии критических сечений, точность проверки может быть доведена до машинной погрешности порядка 10~15. В случае наличия нескольких критических сечений на интервале интегрирования точность проверки падала до 10~3. Время работы различных алгоритмов расчёта при одинаковом количестве шагов (количестве ступенек, для ступенчатой аппроксимации и количества шагов метода Рунге-Кутта для метода погружения) различается незначительно. Однако, в тексте работы отмечено, что при изменении количества шагов метод погружения показывает более быструю скорость сходимости по количеству шагов в методе Рунге-Кутта.

Для случая Н-поляризации было произведено сравнение результатов счёта с известным в литературе, в частности были рассмотрены геометрии аналогичные работам [20, 21], при которых в ДН наблюдаются провалы обусловленные продольными вудовскими резонансами.

В главе 4 рассмотрена возможность применения метода погружения для систем, характеризующимися конечными (не стремящимся к нулю при Ah —> 0) значениями коэффициента отражения элементарного слоя. В качестве тестовой рассмотрена задача о взаимодействии поля с решёткой полупрозрачных волноводов составленной из идеально-проводящих цилиндров. Подобная геометрия является моделью electromagnetic bandgap (EBG) структуры и может использоваться в качестве матричной облучающей системы, а также служить для подавления боковых лепестков в разряженных антеннах [40, 41] Для данной системы элементарный слой можно представить в виде решетки из прямоугольных брусьев бесконечно малой высоты. С целью повышения точности решения для вспомогательной задачи в работе был предложен метод согласования мод с разложением по полному периодическому базису. Полученная в результате СЛАУ при решении позволяет получить более точный (в смысле проверки теоремы Пойнтинга) результат, по сравнению с классическим решением аналогичной задачи2. Отдельно следует отметить, что для полученной СЛАУ наблюдается стабилизация роста числа обусловленности при увеличении количества учитываемых компонент углового спектра.

В заключении сформулированы основные вывода по результатам проведенного исследования.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты полученные в диссертации.

• Полученное в первой решение можно рассматривать с той позиции, что изначальная задача о взаимодействии поля с участком нерегулярного волновода конечной высоты была сведена к гораздо более простой задачи для элементарного слоя и единому (для разных типов неоднородности) правилу «суммирования», записанному в виде уравнения Риккати.

• В работе показано, что наличие малого параметра позволяет получить более простой виде решения при использовании различных классических методов. Проведённый анализ метода согласования мод, метода поперечных сечений и метода интегрального уравнения для различных типов волновых полей позволяет говорить, что в не зависимости от выбранного метода решения наличие малого параметра позволяет значительно упростить задачу.

Анализ полученных решений показал полную эквивалентность решений на основе рассмотренных методов, поскольку уравнения погружения для них имеют идентичный вид при всех возможных значениях параметров задачи.

• Исследование поведения решений в окрестности критических сечений волновода показало, что сингулярности возникающие при наличии особых точек являются интегрируемыми, а сами решение полностью согласуются с основными физическими принципами.

• Исследование конечно-разностного вида уравнений погружения показало возможность их применения для расчёта характеристик периодических многослойных структур для тех случаев, когда использование дифференциальной формы уравнения погружения на представляется возможным.

• Полученные для вспомогательной за, дачи о дифракции на брусьях решения на основе разложения нолей по полному периодическому базису обладают хорошими свойствами устойчивости по числу учитываемых мод.