Построение функции цены в задачах сближения уклонения нескольких преследователей с одним убегающим

Теория дифференциальных игр является важной составной частью теории автоматического управления — науки о методах определения законов управления объектами, допускающих реализацию с помощью технических средств автоматики. Первое развитие теория получила применительно к процессам, встречающимся в технике: управление автомобилем, самолетом и др. Задолго до развития теории дифференциальных игр существовал хорошо развитый аппарат дифференциальных уравнений, что наложило определенный отпечаток на ее проблематику.

Постановка задач в теории дифференциальных игр предполагает наличие противоборствующих сторон — игроков, имеющих в своем распоряжении определеный ресурс управляющих воздействий на движение системы, описывающей процесс, определенный на некотором множестве. При этом каждая из играющих сторон может иметь различную степень информированности. Нахождение способа способа формирования управляющих воздействий игрока, которые при любом допустимом поведении партнера обеспечивают ему некоторые гарантированные, в частности, наименьшее или наибольшее значения заданного функционала, характеризующего процесс, и составляет задачёг’теории дифференциальных V. игр.

Задачи оптимального управления, осложненного различного рода помехами также составляют предмет исследования теории дифференциальных игр.

Интенсивное развитие теории дифференциальных игр обусловлено важностью этих задач и большим теоретическим интересом, который они представляют.

Теория дифференциальных игр развивает на новом, более высоком уровне идеи и методы математической теории оптимальных процессов. Вместе с тем дифференциальные игры как математическая наука являются разделом теории игр. Это находит определенное отражениев ее терминологии и проблематике. Специфика теории дифференциальных игр по сравнению с другими направлениями общей теории игр состоит в широком использовании аппарата дифференциальных уравнений. Это обстоятельство' порождает ряд принципиальных проблем, которые нехарактерны для других разделов теории игр.

Одной из первых работ в этой области можно считать опубликованную в 1925 году работу Г. Штейнгауза г971, в которой он впервые формулирует задачу преследования как дифференциальную игру. После почти двадцатилетнего перерыва, в середине 50-ых годов, теория дифференциальных игр начинает развиваться.

Б первых работах, относящихся к теории дифференциальных игр, использовался метод динамического программирования. Этот подход описан в монографии Р. Айзекса «Дифференциальных игры» ш, где предложены к рассмотрению некоторые примеры игровых задач динамики. Другое направление в теории дифференциальных игр, которое разрабатывалось американскими математиками, составляет исследование вопроса о существовании седловой точки дифференциальной игры. У. Флеминг ввел в рассмотрение специальные последовательности многошаговых игр, предельный переход в которых позволил доказать для некоторых типов дифференциальных игр существование ситуации равновесия г75−701 .

Интенсивное развитие теории дифференциальных игр в нашей стране связан с именами Н. ЕКрасовского и Л. С. Понтрягина. Основополагающие результаты теории получены Ю. С. Осиповым, Б. Н. Пшеничным, А. И. Суботиным. Значительный вклад в теорию дифференциальных игр внесли многие советские и зарубежные ученые НЛ. Григоренко, А. Б. Куржанский, Е. Ф. Мищенко, М. С. Никольский, А. А. Меликян, Н. Н. Петров, Л. А. Петросян, Г. К. Пожарицкого, Н. Ю. Сатимова, А. Г. Ченцова, А. А. Чикрия,.

Bernhard В., Breakwell J.V., Crandall M.G., Flieming W., Shinar J.

Фундаментальный вклад в развитие теории дифференциальных игр принадлежит школам академика Л. С. Понтрягина и Н. Н. Красовского.

Работы Л. С. Понтрягина и его сотрудников посвящены раздельному изучению задач преследования и убегания. В работах Л. С. Понтрягина дифференциальная игра рассматривается как игра преследования и игра v убегания, в каждой из которых может выдвигаться требование различной информированности игроков. Например, в игре преследования преследователь имеет полное знание технических возможностей системы (уравнения движений и ограничения на управляющие воздействия) и информацию о поведении системы и убегающего вплоть до данного момента W V времени, в которой он выбирает свое управлениев игре убеганиянаоборот, полное знание системы и информацию о поведении противника имеет убегающий. В работах Л. С. Понтрягина г48i, г491, г501 разработаны достаточные условия завершения задачи преследования. Эти работы явились основой для ряда существенных обобщенийгл/, гз21. В работах Л. С. Понтрягина и Е. Ф. Мищенко г51 /, г521 рассматривалась задача об уклонении от встречи. В этих работах были не только сформулированы условия существования стратегии уклонения, но и проведены оценки гарантируемого расстояния между преследующим и преследуемыми объектами. Основные конструкции этих работ получили применение во многих работах.

Условия, при которых преследование можно завершить за конечное время исследовались Б. Н. Пшеничным. В /56 / рассматривалась дифференциальная игра общего вида, для которых была предложена операторная теория преследования, определяющая необходимые и достаточные условия разрешимости задача преследования.

Н.ЕКрасовскйм предложен г 141 следующий подход. Вводится в рассмотрение вспомогательная конструкция, основанная на программных движениях игроков.

Эта конструкция определяет некоторый способ формирования управления, называемый экстремальным прицеливанием.

Ввиду того, что при этом допускается использование информации лишь о текущей позиции игрока, то построенное управление вполне может оказаться разрывной функцией позиций игрока. Для формализации скользящих режимов, порождаемых разрывными управлениями, вводятся понятия обобщенных управлений игроков и используется аппарат теории дифференциальных уравнений в контингенциях. Данный подход позволяет охватить весьма широкий класс разрывных управлений и порождаемых ими скользящих режимов. При этом оказалось, что построенные экстремальные управления допускаютудобную аппроксимацию дискретными схемами Формирования управления, а доказательство соответствующих теорем о сходимости может быть выведено из существования решения системы дифференциальных уравнений в контингенциях.

Задача сближения и задача уклонения стали рассматриваться как одна дифференциальная игра сближения-уклонения в монографии nsi и в ее переработанном и дополненном издании Н. Н. Красовским и А. И. Субботиным, на основе разработанного позиционного подхода к решению игровых задач динамики, /стержнем которого является строгая Формализация позиционной дифференциальной игры, позволяющая при определенных предположениях соединять в пары так называемые чистые стратегии, смешанные стратегии и контрстратегии.

Для задач теории дифференциальных игр в nsursei доказаны принципиально важные теоремы об альтернативе, из которых следует, что для всякой начальной позиции игры справедливо одно и только одно из следующих утверждений: либо разрешима задача о сближении, либо разрешима задача об уклонении.

Этот подход дает концепцию строго формализованной дифференциальной игры, определяются стратегии игроков, порождаемые ими идеальные движения и цена игр ы. Вместе с тем формируются аппроксимационные утверждения, позволяющие осуществить переход от формальных конструкций к реализуемым на практике процедурам управления. Основу подхода составляет построение специальных множеств позиций-стабильных мостов, оканчивающихся на заданных целевых 4 терминальных) множествах и содержащихся в Фазовых ограничений введение «6 задачи. Движение по мосту гарантирует успешное завершение игры. Решение игровой задачи сводится таким образом, к последовательному выбору экстремальных управлений, сохраняющих движение исходно конфликтно-управляв мой системы на этом мосту. При этом следует заметить, что экстремальные управления упреждают неблагоприятное поведение противника, выбор этих управлений основан на информации о реализовавшемся: движении и не зависит от управления, которое выбирается или будет выбрано противником.

Наилучшее решение позиционной дифференциальной игры доставляют стабильные предельно широкие мосты в фазовом пространстве идущие на терминалное множество в случае задачи сближения и минующие цель в случае задачи уклонения. Существование этих мостов определяется теоремой' об альтернативе. Однако эффективное построение таких предельно широких систем стабильных мостов для исследования реальных конфликтно-управляемых систем весьма затруднительно. В связи с этим важной задачей является выделение классов игр, в которых возможно эффективное построение максимальных стабильных мостов.

Иным путем решения проблемы является эффективное построение систем множеств., которые, не являясь предельно широкими, обладали бы тем не менее подходящими свойствами стабильности для нахождения стратегий, разрешающих ту или иную задачу по принципу обратной связи.

Г201-Г217.

Построение этих множеств должно обеспечивать выход к эффективно реализуемым процедурам управлений. Метод программных конструкций Г151, г 191, г211,[231,Г241,Г611, Г631 являвтся одним из мвтодов решения этой проблемы. Его — суть состоит во введении подходящих вспомогательных программных задач для решения исходной проблемы по принципу обратной связи. Эффективное построение стабильных систем tri множеств — важных аспект решения общей проблемы описания макимально стабильных мостов.

Субботиным А.И. и Ченцовым А.Г.в работе Гби развивается метод вспомогательных программных конструкций для решения дифференциальной игры в общем случае.

При этом процедура построения основных элементов, обеспечивающих эффективное решение дифференциальной игры, имеет вид итерационных процессов, в которых каждая итерация сводится к решению подходящей, универсальной для всех шагов, итераций программной задачи. Эти итерационные процессы являются способами решения соответствующих операторных уравнений программного поглощения ген.

Полученное Н. Н. Красовским и его сотрудниками результаты имеют Фундаментальное значение в теории дифференциальных игр. Ими созданы позиционные методы для решения игровых задач для дифференциальноразностных уравнений в частных производных, задач с распределенными парамерами. Разработаны методы управления и наблюдения в условиях неопределенности f141, fisi, гi9i, r2i иг2зи гззь.

Работы автора Г44 1, г 451, г571 примыкают к этому направлению. В них на основе формализации дифференциальной игры, предлагаемых в г и-isi, [ei построены Функции программного максимина и доказано их совпадение с функцией цены в игровых задачах динамики. Результаты этих исследований легли в основу глав 1, 2 и 3 диссертациии.

В работах АЖубботина, Н. Н. Субботиной и А. М. Тарасьева [58 ], [ 591, [ во 1, г б 1 ], [ зб ], Г98 ], г 991 предложены важные обобщения основного уравнения теории дифференциальных игр (уравнения Беллмана-Айзекса), сформулированы необходмые и достаточные условия для функции цены дифференциальной игры. Доказана эквивалентность этих необходмых и достаточных условий и неравенств, определяющих «вязкое» решение уравнения Гамильтона-Якоби, полученных в последние годы в ряде работ зарубежных авторов гвб1, г? л, Г83]. Заметим, что обобщенное основное уравнение можно использовать для проверки важных свойств заданной Функции (например, свойства «-стабильности) Г861. в качестве необходимого условия его применяют для построения функций, претендующих на роль Функции цены. Именнно в этом состоит основное содержание попятной процедуры, сформулированной Р.Айзексом.

Достаточные условия разрешимости и уравнение для оценки решения нелинейной дифференциальной игры сближения получены в работе г4п. При построениям этих результатов используется теорема о необходмых и достаточных условий Функции цены игры, сформулированное в терминах основного уравнения Беллмана-Айзекса. На основе предлагаемых подходов дано решения некоторых конкретных игровых задач динамики.

В последние годы интенсивно разрабатываются численные и приближенные мктоды решения задач теории дифференциальных игр. Первые работы по численному исследованию игровых задач основывались на уравнении Беллмана-Айзекса, обоснованность которого еще не была проверена г1 и г821.

Как показывают исследования последних лет особый интерес.

• I ! It— ii i — i И К? i Ян 'Т i lukri! i ¦•,/ -±'Н н hit— i/i i-ii :ГКй Mi? Kki H i/Imг': iii m i ¦¦¦"< лм i ! i-i hi X mi hi II: i II u’iiin -, -/i Й IV" - ' i ' i — .i.- ' '? ' «.

M l'? I. ?i ?bM ?i)''./ H ri i I i/i ri Mi-! H h! Wik Ib. l l-lh (? HiliO')!- ?II-! H ii iii i i v>- kiki. ii t «Й > I >- Iii I 4i4/iKii I i ' i'4 i I I i У «i V ¦

— i ' ¦ J. Il" j. ¦ X. 'J'" ' «J.' I if-ii. II I i’Kri MI"i — ?it-iHjib!» И. i i J-'AUJ L':'1 :UH H H К! ч lyiM’j I I eil Ih i niiim И ¦.- > >? k м, ,, ¦¦, i i i, л 'm ?-i г i i ii — н ij «h? Wc r' i ¦ гм.: я. ни iS. if-? -i >i hi? hh i/i mi Ц X ул н «i/kk—-' h in k уу-м ,?¦ .i y ¦ ' - i i j.

ЧЧЧ lIMili^ l’iH J4 I I ?,|? -j j! i i-i t-, ! X III 1 4 j L. J-iJ. i. y hii i k y mi ii — .ilk /4 H'/i.x i-ir-i 11 jii-i к .iji-j h i.'i iii jir-iX к i/i Ч’Ч" H 4'hi h i ¡-я ¡-л' ?? i/i (Mih Гу-: h ! i ЫЧ— «пи hi x i/iiii? i X Hrt’Thi KriH Г ?/пЧц» !КЦн krtik-iUw Г: /k:4k44/iM У нй («. K?) ?i К К i/i х i i i пн кгж— Цы и ->• -i. i >. i, л i а. 1 Г, гч nil IV i. ?ni ti. Г tri м К i-i Vi HVI Hr-1 m I iri к /IH H Ш! Л UIHb’H I: M Hi-i/i Vi ' J. I ?

С 'Ч./ J -, I t I J ^ i. fJ] I •¦'.> i 1, Г 'JuJ TT— ! л if] «/! M i Si H I ! ! !Л > i,'- ! ! ?i 'i К i t H, MM! li,!/? ! X i^j^iiHi-,^ i iiti ii i-? ill It, i UI I П !< Ш i-i r? i ! i мл IWtr^ f i. h'-? H hH ! i-i! ' К н: -, i-! — ?i'- ! Г-.. , i i— i 1 iwi f H r-i, ,? i n r-i i' ! j { ! IVi H M ! :| ti.)? j i ! H > |/l W. — ! r’i ii i.'i i,»! hH, ti 4>i IV! iVi iV M ! ?i {'M!-J ' ! I К o. «' .' ' x' J.» .: «1.

H i~- I i y i-'v./ii ii 4 i 4 i H.uj. i/n НЧ.Я.лЯ i/.i IK i y I. i' i-kH4:w i: .-iVi'! im i IH iiiH i-i !¦ - .'(Л liflM.

Ч I ihI IV >•" i i i.-iyi I i ri I. j?)Ч '' n j/i |1lli4h.]S I I l.'l il I ! il I I! S 1Л IVIIIII il ш к IHJillillMh. il— —'.h il Iii i i ri i i i ' isi- .—i i ' M iii H h i ri /iiiUj h f-i i ii-t i 1иЧ 'п д ?4.4! Гг ! i/i i: i и ¡-и H H’I i i'. V/ Mlii IIIP-: H 4.1 — л .,?. — • - ~ i. '? j. — ?

T TT 1. Г-. TT i, 7T «: TTrr M/1 ii i, ij iii: rl 1 — :I I H. iij, «H. ! i^-: i. i .1!, и — !! I liiir» H i. m m i i i i i 'i i л t t.. v — ¦>¦¦¦'.

-•. I-J ~'i I, M 14 il iii У— i.'i. jjx’jj’r >., i.. i'. M'.iiirui' II .I. 1л? i i i i i j," <

Jti.Mi?H K.: i ' i/! и i4 hin i" iHУ, V ,.ii Ь' |''r-i ' iЧ-.1 i ii. i i U: IMH H ifi ii i? ih (II (I)I-I i iir i-i I I bi r-i ?iЧ t-i i-, i k u? i ¦ i i I I. il— 1, 'i ?ir— il i I Hr i H i/l H (.1 Í-M-Ц 1 '4l, .1 i i, Д-i i I 1 1 II Mill I M II I I I II, 1 i.: — -.,.

1 '" i. '. V ' i i. X < i.

Г «I г r~ - r i— „. —. — T“ l. .. i. i,-?l H I i r! A? i.e., ,.? :.JKJJ i. К J—± I.KJJ. L ii’i i-HIJlhMWji i i И l/i i i i H— l: i i i-i ! i (i i n iu il — f-i II nri I-|H KII—- H/» i ivi: — i i i i 114 .) ii 11 ' i/i i/i i i) liiiH i/i ' i.'H 1 j i.) И И ?4 H 'i 'M i! i j i-i id i 4 ! i./'. И — M4 4 4i •.

4 i i i/i kf! il i-i и f. i !-. «!'Ihiiiim4 i i i if—i: H i/f.H i 4 ! У il i ii) Ы i i i) H, 4ijk/4 i ! — !>'i i i y-, 1 11 'i i i H-: i r» i ii ii in-' i 'i i iii 'VA Kl i j i V-i ii iii i (Л ii i lii lii-' H i ' |Л k IH i l i ir- - i i i l i—- ii ¦- 'i >-i 1. i. i/i i -¦•- ^ i i i i — 'I:: ¦,—.-¦¦•••—'¦ .". •• i. ±? ¦ ¦ ••¦•¦¦¦ v —. ¦. ' ' i 'i ' ' ' '.

— 1 ' г ^— -i ТГ — -. — • U-! i — .Ml—: il i I ' i. ?4 .ii 4. i. ink! o iiJ ik4 i i. hi IJCiO1 У /4'. ^ - Ч! i iH H i мл iip k kii— in i ¦/ мл i — ii м i 11 '. m i U-: i ' 11 in — -i -¦.:¦-.¦ i ч V i i.'i i i i '¦¦/? ¦ i ' hr V i ii— i 4i iliii i-'i «, rt i } i i • i i г- '< ~ 1Л i 4 i ¦ >i '/i i r ' ' i ¦ ¦< ¦¦¦ i .¦ ¦ ' * >- -•. -, «j. ¦. простыми движениями исследовались в работах пи.

В работах Г27−281, г 39−401, [441 исследованы игровые задачи сближения двух преследующих объектов, а в г451 и г571 — трех с одним преследеумым при различных предположениях о динамики объектов. Эти работы являются одними из немногих, в которых построена фунция оптимального результата (цены игры) для любых возможных позиций. Все рассмотренные задачи исследованы на основе единой методики, используемой и в предлагаемой диссертации.

Приложения теории дифференциальных игр к практическим проблемам, возникающим технике, экономике, военном деле, медицине, биологии и других областях приводят к необходимости исследования разнообразных конкретных задач. Наряду с прикладным значением, решение подобных задач помогает развитию актуальных проблем самой теории дифференциальных игр.

Данная дисссертационная работа посвящена решению задач сближения-уклонения теории дифференциальных игр. структура работы 1| ,.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из.

1. Айзеке Р., Дифференциальные игры.М., Мир, 1967,480 с.

2. Батухтин В. Д. О дифференцируемое&tradeцены дифференциальной • игры сближения.-Дифференц.уравнения, 1972^ 12, с .2140−2148з. Беллман Р. Динамическое программирование.!., Ил., 1960,400с.

3. Брайсон к.', Хо Iii-ши.Прикладная теория оптимального управления. М., 'Мир, 1972, 522с.

4. Григоренко HJ. О квазилинейной задаче преследования несколькими объектами.-ДАН СССР, 1979, t.249,n5,с.1040−1043.

5. Григоренко Н. Л. К линейной задаче преследования несколькими объектами.-ДАН СССР, 1981, t.258,n2,c.273−279.

6. Григоренко ЕЛ. Преследование несколькими разнотипными объектами одного убегащего. ДАН СССР, 1982, t.286,n3,c.529−533.

7. Григоренко НХИгра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего.-Вестник МГУ, 1983, cep. l5,Nl, c.41- 47.

8. Иванов Р. П., Ледяев Ю. С. Оптимальность времени преследования в дифференциальной игре многих объектов с простым движением.^Труды МИАНД981, т.158,с.87−97.

9. Красовский H.H., Теория управления движением.М.Наука, 1968, 475с.

10. Красовский H.H., Игровые задачи о встрече движений. М. Наука, 1970, 420с,.

11. Красовский H.H., Субботин А. И., Позиционные дифференциальные игры.М.Наука, 1974,455с.

12. Красовский Н. Н., К теории дифференциальных игр. ПММ, 1970, т.34, вып.2., с.197−207.

13. Красовский ЕЕ, К задаче ' о пресдедованииДАН СССР, 1970, т.191, N2, с.270−272 f.

14. Красовский H.H., Минимаксное поглощение в игре сближения-ПММ, 1971, т.35, вып. б, с.945−951.

15. Красовский H.H., Экстремальное управление в нелинейной позиционной дифференциальной игре.- ДАН СССР, 1972, т.203, n3, с.520−523.

16. Красовский H.H., Дифференциальная игра сближения-уклонения. i Изв. АН СССР.Техн.кибернетикаД973,N2,c.3−18.

17. Красовский H.H., Дифференциальная игра сближения-уклонения. п Изв. АН СССР.Техн.кибернетикаД973,мз, с.22−42.

18. Красовский H.H., Дифференциальные игры. Аппроксимационные и Формальные модели.-Мат.сборник, 1978, т.1П7, n4, с.541−571.

19. Красовский H.H., К задаче унификации дифференциальных игрДхАН СССР, 1976, т.266, n.6, с 1260—1263.

20. Красовский H.H., Программное поглощение .в дифференциальных играх, — ДАН СССР, 1971, т.201, n.2, с.270−272.

21. Красовский H.H., Третьяков В. Е. Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры.-ДАН СССР, 1981, ni, с.24−27.

22. Красовский H.H., Третьяков В. Е. 0 программном синтезе позиционного управления. ДАН СССР, 1982, т.264, иб, с.1309−1312.

23. Левченков A.D. Об одной задаче сближения двух различных преследователей с одним убегающим. ПММ, 1988, т.52, вып.1, с. 3−8.

24. Левченков А. Ю., Пашков А. Г. Игра оптимального сближения двух инерционных объектов с одним безынерционным.-ПММ, 1985, т.49,вып.4, ' с.536−547.

25. Меликян A.A. Оптимальное взаимодействие двух преследователей в игровой задаче-Известия АНСССР, Техническая кибернетика 1981, N2,с.49−56.

26. Мищенко Е. Ф., Никольский М. С., Сатимов ЕЮ. задача уклонения от встречи в дифференциальной игре многих лиц-Труды МИАН СССР, 1977, т.143, с.105−128.

27. Никольский М. С. Линеаризуемые объекты и их применение в дифференциальных играх преследованияДАН СССР, 1972, т.205, n4, с.787−790.

28. Никольский М. С. Об альтернативном интеграле Л. С. Понтрягина. -Мат.сборник, 1981, т.116, м.1, с.136−144.

29. Осипов Ю. С. Альтернатива в дифференциально-разностной игре. ДАН СССР, 1971, т.197, N5, с.1022−1025.

30. Пацко B.C., Тарасова С. И. Нерегулярная дифференциальная игра сближения-Изв.АН СССР, Техн. кибернетика, 1984, N4, с.134−142.

31. Пашков А.Г.Об'-'одной, игре сближения.-ПММД970,т.34,вып, 5, с.804−811.

32. Пашков А-Г.Об одной оценке в дифференциальной игре сближения-ПММ, 1972, т.36, вып.6, с.1015−1021.

33. Пашков AT., Терехов С. Д. Об одной игре оптимального преследования двумя объектами одного.-ПММ, 1983, т.47, вып.6, с.898−903.

34. Пашков А. Г., Терехов С. Д. Дифференциальная игра сближения двух динамических объетов с третьим.-йзв. АН СССР, МТТ, 1986, Ю, с.66−71.

35. Пашков AT. О сравнении решений линейных и нелинейных дифференциальных игр сближения-ПММ, 1986, т.50, вып.5, с.551−56 042 Пашков А. Г. Об оценке гарантированного результата в нелинейной дифференциальной игре сближения-ПММ, 1990, т.54, вып.5, с.760−766.

36. Пашков А. Г. Об одном достаточном условии игр сближения и у клоне ния Из в. АН СССР, МТТ, 1972, N6, с.44−48.

37. Пашков AT., Синицын A.B. Построение функции цены в игре сближения-уклонения двух преследователей с одним убегающим с фазовым ограничением.-Изв.РАН, Техн. кибернетика, 1994, n3, с.152−162.

38. Пашков А. Г., Синицын A.B. Построение функции цены в игре сближения-уклонения трех преследующих объектов с одним убегающимПММ, 1995, Т-59, ВЫП. б, С.985 994.

39. Не трос ян Л. А, Дифференциальные игры преследования. Л. Изд. Ленингр. ун-та, 1§ 77, 222с.

40. Петросян Л. А., Рихсиев Б. Б. Преследование на плоскости. М., Наука, 1991, 96с.

41. Понтрягин ¿-1С. К теории дифференциальных игрУМН, 1966, т.21, n4, с .219−274.

42. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх.i.ДАН СССР, 1967, т.174, n6, с.1278−1280so. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх. и, ДАН СССР 1967., т.175., N6, с.764−766.

43. Понтрягин Л. С., Мищенко Е. Ф. Задача об убегании одного управляемой объекта от другого.- ДАН СССР, 1969, т.189, n4, с.721−723.

44. Понтрягин Л. С., Мищенко Е. Ф. Задача уклонения от всречи i линейных дифференциальных играхДифференциальный уравнения, 1971 N3, с.436−445.

45. Понтрягин Л. С. Линейная дифференциальная игра убеганияТрудь МИАН, 1971, т.112, с.30−36.

46. Понтрягин Л. С. Линейная дифференциальная игра преследования-Мат. сборник, 1980, т.112, N3, с.307−330.

47. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. Б., Мищенко Е. Ф Математическая теория оптимальных процессов, М. Наука, 1976, 392с.

48. Пшеничный Б. Н. Простое преследование несколькими объектам. Кибернетика, 1976, КЗ, с.145−146.

49. Синицын A.B. Построение Функции цены в игре преследования несколь объектами., ПММ, 199з, т.57, ВыпД, с. 52 57.

50. Субботин А. И. Обощение основного уравнения теории дифференциальных игр.- ДАН СССР, 1980, т.254, n2, с.293−297.

51. Субботин А. И., Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены игры.- ДАН СССР, 1978, т.243, Ч, с.862−863.

52. Ченцов А. Г. К игрововой задаче наведенияДАН СССР, 1976, т.226,Ni, с.73−76.

53. Чикрий А. А. Групповое преследование при ограниченных координатах убегающегоПММ, 1982, т.46, вьш. б, с.906−913.

54. Чикрий А. А., Раппопорт И. С. Линейная задача преследования несколькими управляющими объектами-Кибернетика, 1978, n3? с.86−94.

55. Barron E.N., Evans L.C., Jensen R. Viscosity solutions of Isaacs equations and differential games with Lipshitz control. J. Different. Equat, 1984, v.53, N 2, p.213−223.

56. Basar T. Informationa11 у non-unique equilibrium solutions in differential games. SIAM Journal of Control and Optimization, 1977, v.15, N 4, p.636−660.

57. Botkin N.D., Kein V.M., Patsko V.S., Turova V.L. Aircraft Landing Control in the Presence of Windshear. Problems of Control and Inform. Theory, ''1939, vol.18, N 4, p.223−235.

58. Bernhard P. Singular surfaces in differential games. In.: Lecture Notes in Control and Information Sciences, 1977, v.3, p.1−33. 70'. Blaquiere A., Gerard P., Leitmann G. Quantitative and qualitative games. New York: Academic Press, 1969, 172p.

59. Breakwell J.V., Hagedorn P. Point capture of Two Evaders in Succsion. J. Optimiz. Theory and Appl., 1979, v.27, N 1 p.89−97.

60. Cockayne Y. Plane pursuit with Curvature Constraints. SIAM J. Appl. Math., 1967, v.15, N 6, p.1511−1516.

61. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity Solutions of HamiltonJacobi equations. Trans. Amer. Math. Soc., 1983, vol. 227, N 1, p.1−42.

62. Elliot R. The existence of value in stochastic differential games. SIAM Journal of Control and Optimization, 1976, v.14, p.85−94.

63. Fleming W. The convergence problem for differential games J. Math. Anal. and. Appl., 1961, v.3, N 1, p.102−116.

64. Fleming W. The convergence problem for differential games II. Ann. of Math. Studies, 1964, N 52, p.195−210.

65. Friedman A. Differential games. Pure and Applied Math., v.25. New-York: Wiley Interscience, 1971, 350p.

66. Getz W.M., Pachter M. Capture ability in two target game of two cars. — J. Guidance and Control, 1981, v.4, N 1, p.15−21.

67. Hagedorn P., Breakwell J.V. A differential game with two Pursuers and one Evader. J. Optimiz. Theory and Appl., 1976, v. 18, N 1, p.15−29.

68. Hajek 0. Pursuit Games, New York: Academic Press, 1975, 120p.

69. Kakutani’S. A generalization of Brouwer’s fixed point theorem. Duke Math. J., 1941, v.8, N 3, p.457−599.

70. Kelley H.J., Lefton L. Calculation of differential turning barrier surfaces. J. of Spacecraft and Rockets, 1977, v.14. N2, p.87−95 .

71. Kim Y.S., Cho U.S., Bien Z. A New Guidance Law for Homing Missiles. J. Guidance, Control and Dynamics, 1985, v.8,N 3, p.402−404 .

72. Krasovskii N.N., Chentsov A.G. On the design of differential games. I. Probl. Control and Inform. Theory, 1977, v.6, N 5−6, p." 381−395 .

73. Krasovskii N.N., Chentsov A.G. On designing differential games II. Probl. Control and Inform. Theory, 1979, v.8, N 1, p.3−11.

74. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game Theoretical Problems. — New York etc. Springer — Verlag, 1988, 518p.

75. Levxhenkov A. I, Pashkov A.G. Differential Game of Optimal Approach of Two Inertial Pursuers to Noninertial Evader. J. Optimiz. Theory and Appl., 1990, v.65, N 3, p.501−518.

76. Lions P.L., Souganidis P.E. Differential games, optimal control and differential derivatives of viscosity solutions of Bellman’s and Isaacs equations. SIM J. Control Optimiz., 1985, v.23, N 4, p.566−583.

77. Merz A.W. The homicidal chauffer. AIAA Journal, 1974, v.12, N 3, p.259−260.

78. Merz A.W., Hague D.S. Coplanar tail-chase aerial combat as a differential game. AIAA Journal, 1977, v.15, N 10, p.1419−1423.

79. Olsder G.J., Breakwell J.V. Role determination in aerialdogfight. International Journal of Game Theory, 1974, v.3, p.47−66.

80. Pashkov A.G., Terekhov S.D. A. Differential Game of Approach with Two Pursuers and One Evader. J. Optimiz. Theoryand Appl., 1987, v.55, N 2, p.303−311.

81. Pachter M., Getz W.M. The geometry of the barrier in the game of two cars. Optimal Control, Appl. and Methods, 1980, v. l, N 2, p.103−118.

82. Peng W.Y., Wincent W.L. Some aspects of aerial combat. AIAA Journal, 1975, v.13, N 1, p.7−11.

83. Prasad. V.R., Rajan N., Rao N.J. Planar pursuit evasion with variable speeds. — Z. Optimiz. Theory and Appl., 1981, v.33, N 3, p.401−439.

84. Shinar J., Medinah M., Biton M. Singular surfaces in a linear pursuit evasion game with elliptical vectograms. — J. Optimiz. Theory and. Appl., 1984, v.43, N 3, p.p.431−456.

85. Steinhaes H. Definitions of a theory of games and pursuit.-" Mysl.acad.", 1925, vol.1, N 1.

86. Subbotln A.I. Generalization of the Main Equation of Differential Game Theory. J. Optimiz. Theory and Appl., 19S4, v.43, N 1, p.p.103−133 .

87. Subbotin A.I., Tarasyev A.M. Stability properties of the value function of a Differenial game and a viscosity solutions of HamiltonJacobi equations. Probl. Control Inform. Theory, 1986, v.15, N 6, tp.451−463.