Исследование динамики в моделях теории поля с бесконечным числом производных

В локальной теории поли имеется хорошо известное соответствие между частицами и полями. Каждой частице, которая характеризуется неприводимым представлением алгебры Пуанкаре, соответствует квантовое поле. Это иоле удовлетворяет классическим уравнением движения. Для скалярной частицы соответствующее уравнение является уравнением второго порядка. Начальные данные задачи Кошп подвергаются квантованию, и на этой основе строится квантовая теория ноля [1|-|5]. Заметим, что в последние десятилетия по лучило развитие представление о том, что, используя классические решения типа солитонных, можно получить описание нескольких типов частиц при помощи одного поля [4, 5, 6].

В 1960;х годах при изучении спектра адронов было обнаружено большое число частиц с линейной зависимостью массы от спина — так называемый реджевский спектр. Вводить повое иоле для каждой из таких частиц представлялось нецелесообразным. Была предложена идея получать весь этот спектр как результат квантования единого объектаструны, которая описывалась действием Ыамбу-Гато |7, 8]. Последовательная процедура квантования приводила к известным трудностямтеорию не удавалось сформулировать в четырехмерном пространстве-времени и в спектре струны (замкнутой струны) содержалось безмассовое иоле спина 2, а соответствующее возбуждение отсутствовало в спектре адронов.

Шерком и Шварцем [7, 8] была высказана идея рассматривать струну как фундаментальную теорию, из которой следовало получать все известные взаимодействия, при этом безмассовое ноле спина 2 отождествлялось с гравитоном. Одна из основных мотивировок такого рассмотрения была связана с тем, что среди известных элементарных частиц, как отмечалось выше, не было безмассовой или очень легкой частицы со спином 2. Другой важной мотивировкой было то, что квантовая гравитация не является в обычном смысле [1| перенормирусмой теорией. Предполагалось, что включение дополнительных полей, соответствующих другим струнным возбуждениям, а также появление специфических форм-факторов во взаимодействии, отражающих нелокальность теории струн, поможет решить проблему построения квантовой теории свободной от ультра-фиолетовых расходимостей и включающей квантовую гравитацию. В дальнейшем это и было реализовано для суперструн [7, 8].

Одна из первых трудностей, которая возникает на пути построения теории струн, связана с тем, что в спектре бозонной струны имеется возбуждение, соответствующее «частице» с отрицательным квадратом массы, т. е. бозонная струна содержит тахион. Это утверждение относится как к открытым, так и к замкнутым бозопиым струнам. Поскольку тахион приводит к неустойчивости, то, в свое время, это рассматривалось как существенный недостаток бозонной струпной теории.

Для борьбы с этой неустойчивостью было предложено рассматривать фермнонную струпу и брать в пространстве ее возбуждений сектор, в котором нет тахиона (аналог такого сектора нельзя выделить в бозон-ной струпе). Это так называемый GSO+ (Глиози, Олив, Шерк) сектор. В этом секторе струнные возбуждения, упорядоченные по массе, начинаются с безмассового векторного ноля и безмассового спипорного поля. В GSO~ секторе возбуждения начинаются с тахионного поля с квадратом массы равным (—½) (в единицах натяжения струны а'), т. е. тахиона.

В рамках как бозонной, так и фермионной теории струи, была предложена схема вычисления амплитуды рассеяния струнных возбуждений. Однако заметим, что эта схема не следовала напрямую из лагранжиана, как это имеет место в обычной квантовой теории поля [1]. Эта схема использовала интуитивные представления, которые в дальнейшем оформились в так называемый первичный подход к теории струн, о распространении струны как мирового листа. Амплитуда перехода в этом подходе, в соответствии с принципами квантовой теории, определялась суммированием по всем возможным конфигурациям мирового листа с весом пропорциональным экспоненте от действия струны. При этом амплитуды, соответствующие различным возбуждениям струны, задавались с помощью так называемых вершинных операторов.

В дальнейшем была предложена полевая теория струны в специальной калибровке, так называемой калибровке светового конуса, в которой задавался исходный лагранжиан, и по нему, но правилам, аналогичным правилам Фейнмана, вычислялась амплитуда рассеяния [7].

В полевой теории струн обычное соответствие части ца*-щоле замепяется соответствием струна*->бескопечный набор nojieii. Этот набор полей образуют ноля с массами и спинами, получающимися в результате квантования исходной струны. Другими словами, действие S в струпной теории поля зависит от бесконечного набора локальных полей, А — {0п (х)}, т. е. S[A] = 5[{^п (.'е)}]. Отметим, что формализм струнной теории строится так, что координаты х, от которых зависят локальные поля в действии S являются координатами центра масс струны.

В конце 1980;х годов Виттеном [9] из общего принципа калибровочной инвариантности было предложено ковариаптное нолевое бозонное струнное действие «9 [.Л], в котором полевой переменной является произвольный вектор состояния первично-квантованной струны. Отметим, что это действие было предложено для открытой бозонной струны. Из действия S[A] автоматически получаются действия для всех полей фп{х). Тахиону в этом наборе соответствует скалярное поле ф с квадратом массы.

Действие открытой бозонной струнной полевой теории в подходе Вит-тена имеет вид здесь струпное поле, А = А[Х (а)-, с (сг), Ь (а)] зависит от координат струны Xlt (a) и гостовского с{а) и антигостовского Ь{а) нолей, до — безразмерная постоянная описывающая взаимодействие струи, — БРСТ заряд вида.

S = < Л, QB, А «» Л, Л, А «.

3<7о где Тх{ст) и Tic (a) — тензоры энергии-импульса для координат струны и гостов. Здесь используется конформное представление для полилинейных функционалов •,. -§>. Если ограничиться только тахионными модами ф{к) в разложении струнного поля, то имеем d2Gk где вершинный оператор имеет вид.

A = A (w) = I —^ф^МЬш).

V (k, w) =: c (w)e2ik" x^w) :

Здесь w — комплексная переменная. Можно показать, что в этом случае виттеновское действие сводится к виду здесь ф{х) — Фурье образ ф{к), а' - натяжение струны, 7 — число (7 = т^д), характерное для описания взаимодействия локальных мод в полевой теории [10] и.

Ф{х) = е°'н~<)аф{х) Оператор Даламбера определяется л где Д = щ + • • • + -7²—оператор Лапласа.

По аналогии с ситуацией с TV-образным потенциалом в локальной теории поля естественно предположить, что в теории бозонной струны, в которой имеется тахион, приводящий, как указывалось выше, к нестабильности, может существовать другой вакуум отличный от пер-турбативного, в окрестности которого тахион отсутствует. Вопрос о существовании такого вакуума в теории струны связан с существованием специальных вакуумных решений. Это предположение высказали в 1987 году Костелецкий и Самуэль [10] и проверили его численными вычислениями, ограничиваясь простейшим приближением.

В последние несколько лет велась активная работа по исследованию нетривиальных (ненулевых) вакуумных, т. е. не зависящих от времени и пространственных координат, решений в струнной теории поля. К настоящему времени гипотеза о существовании стабильного вакуума подтверждена многочисленными вычислениями [11| - показано, что в кова-риантной теории открытых бозонных струн имеется непертурбативный стабильный вакуум и, естественно, спектр струны меняется в окрестности нового вакуума. Это явление аналогично хорошо известному явлению Хштса [2]. Интересно отмстить, что большинство таких исследований проводится с помощью существенного использования численных вычислений [11, 12, 13, 14].

Представляет интерес нахождение классических решений, интерполирующих между различными вакуумными решениями. Подчеркнем, что в отличие от аналогичной задачи по изучению решений солитонпого или кип ко во го типа в локальной теории поля, где обычно рассматривается интерполяция по пространственным переменным [4, 5], в струнах в связи с задачей о распаде D-бран рассматривается интерполяция по времени [15].

При исследовании непертурбативных свойств струны оказалось, что существуют решения, в которых ноля сосредоточены на гиперповерхностях, т. е. решения тина солптонов в обычной локальной теории поля. Такие решения были названы £)-бранамп. Имеется аналогия между доменными стенками [16, 17] и D-бранами. Выяснилось, что поскольку D-браны — объекты теории струны, локализующие на своей мировой поверхности концы открытых струп, то одним из способов описания динамики таких бран является рассмотрение струны с граничными условиями, заданными па этих гиперповерхностях. Точнее, если рассматривать струну, на (рf- 1) пространственно-временную координату которой наложены условия Неймана, а на остальные координаты граничные условия Дирихле, то Дирихлс-брана (jD-брана) будет той самой (р + 1) мерной гиперповерхностью, на которой находятся концы струны. При этом обычные струнные возбуждения, например тахион, находятся на бранс. Это связано с тем, что в результате наложения условий Дирихле по (cl— р+ 1]) переменной координаты центра масс струны оказываются фиксированными по этим направлениям и поэтому в действии S[A] возникают поля, зависящие только от первых (р + 1) координат х.

Задача нахождения решений, интерполирующих между различными вакуумамп, в струнной теории поля имеет две существенные специфики, но сравнению с аналогичной задачей локальной теории поля. Прежде всего, как отмечалось выше, полевая теория струн соответсгвует бесконечному набору локальных полей {(/2,t (:/-)}. Во-вторых, взаимодействие, получающееся для этих полей, нелокально в том смысле, что соответствующие уравнения движения содержат бесконечное число производных. Заметим, что в отличие от некоммутативной теории поля, где имеется бесконечное число пространственных производных, в струпной теории ноля присутствуют пространственные, временные и смешанные производные {18].

Интерполяция между различными вакуумами изучалась в [19] в рамках приближения, в котором в качестве действия для тахиона рассматривалось действие Борна-Инфельда (20]. Однако, получение этого действия непосредственно из струнной теории поля является трудной задачей. По-видимому, это действие получается интегрированием исходного струнного полевого действия по бесконечному набору нолей с высшими спинами [21].

Переходы между различными вакуумами в струнной теории, т. е. между вакуумами с которыми связана определенная картина бран, можно изучать также со стороны гравитации. При таком подходе эти переходы описываются специальными решениями, так называемыми s-бранами [22, 23]. Локализация полей на брапах в рамках гравитационного подхода активно изучается в современной литературе [17]. Соответствующие квантовые эффекты рассматривались, например в [24].

Задача о построении решений описывающих переходы между различными вакуумами непосредственно в струнной теории поля в рамках специальной итерационной процедуры недавно рассматривалась в работе А. Сена [25]. В этом рассмотрении учитывалось, что у вакуумных решений несколько компонент локальных полей {</?"} могут быть отличны от нуля.

Если ограничиться случаем одного скалярного тахионного поля ф (х) получаются уравнения вида а’П + 1) с-2"/1п<7)° ф = Д-Ф2, (0.1) 7 здесь как и выше а' - натяжение струны, 7 — число (7 = Переменная Ф связана с исходным тахионным полем ф нелокальным преобразованием.

Если оператор в правой части понимается в виде формального ряда.

-¦¦¦(^?^(-«Чпт)» ^ (0.2) п.

11=0 то приведенное выше уравнение движения является дифференциальным уравнениям с бесконечным числом производных. Оно описывает динамику пространственно-однородного тахионного поля в теории струн в пренебрежении вкладом остальных полей. Для определенного класса интегрируемых функций оно записывается как нелинейное интегральное уравнение. Это уравнение удобно привести к каноническому виду, сосредоточив все имеющиеся в теории параметры в одном параметре г/,.

2П+1)е-аФ = Ф2 (0.3).

Оказывается это уравнение в пренебрежении кинетическим слагаемым, сводится к нелинейному уравнению, возникающему в р-адической теории струн [26]. Напомним, как получается р-адпческая струна. Хорошо известно, что если с струпной теории рассмотреть рассеяние тахиона, то получается амплитуда Вснсциапо [7, 8], которая представима в виде бета функции. Если эту бета функцию заменить р-адичсской бета функцией, то получится амплитуда рассеяния тахиона в /—адической струне [26, 27]. Эту амплитуду можно получить также из эффективного действия, которое называется эффективным действием />адической струны [28].

Уравнение £>-адичсской струны в приближении одного скалярного поля ф (х) имеет вид [27, 28] р-^Ф = Ф", где как и выше? — оператор Даламбера. Оператор как и оператор 1п (7)? появившейся выше в струнной теории поля можно представить в виде ряда, аналогичного (0.2).

00 1 п".

Z 71.

71=0.

Как видно из приведенного выше соотношения рассматриваемое уравнение движение содержит производные всех четных порядков. Получаемые уравнения являются уравнениями нового класса, они отличаются от уравнений, ранее рассматривавшихся в математической физике [29], и их исследование представляет большой интерес.

Полевые теории с бесконечным числом производных естественным образом связаны с нелокальными квантовыми теориями поля, изучающимися в связи с попытками избежать ультрафиолетовых расходимо-степ, а также в связи с теорией струн [30, 31].

Проблема постановки задачи Копш для таких уравнений недавно исследовалась Мюллером и Цвибахом [18]. Было показано, что наличие бесконечного числа производных приводит к ограничениям на возможное множество начальных условий.

Отметим, что несмотря на наличие бесконечного числа производных, решение соответствующего линейного уравнения, в классе функций, допускающих преобразование Фурье, зависит не от бесконечного числа произвольных функций (или констант, для решений зависящих от одной переменной), а только от двух произвольных функций пространственных переменных, как это имеет место для обычного уравнения Клейна-Гордона [4]. Действительно, если решать линейное уравнение f (O).

< Л < 1 имеем два корня.

При Л > 1 получаем тахион.

Заметим однако, что для пространственно-однородных конфигурации, т. е. случая, когда полевые функции зависят только от времени, исходное уравнение движения можно переписать в виде свертки с гауссовым ядром |18, 27, 42], которая после нерерастяжки.

Таким образом па пространственно-однородных конфигурациях исходное уравнение переписывается в интегральной форме, которая удобна как для анализа так и для численных вычислений. Численный анализ дифференциальной формы уравнения как правило основывается на пренебрежении вкладом высших производных [18], в то время как анализ интегральной формы уравнения основывается на стандартных методах вычисления квадратур [49, 50]. Сравнение динамики подчиняющейся соответствующим дифференциальным уравнениям в пренебрежении вкладом высших производных и тем же уравнениям, записанным в интегральной форме, недавно проводилось в серии работ, в частности в [18, 39, 40, 43]. Заметим также, что интегральное уравнение допускает вообще говоря более широкий класс функции.

Интерес к задаче о построении нестационарного, пространственно-однородного классического решения, интерполирующего между различными вакуумамп [67]-[80], связан с возможными применениями в космологии. Л пмешю, А. Сен [19j предложил отождествлять тахион в бозонной струпной теории с космологическим скалярным полем.

Попеку и исследованию решений нелинейных уравнений такого типа посвящено много работ. В частности, Беккн, Фрейдом, Олсеном и Впттеном [27| было численно построено зависящее от времени решение типа кинка, интерполирующее между двумя нетривиальными вакуума-ми теории р-адической струны р = ф3 (0.4) для случая р = 3. В дальнейшем эти вычисления были проверены с более высокой точностью в работе [18]. В работе [41] с использованием было численных оценок была продемонстрирована сходимость соответствующего итерационного процесса. Наконец, в [42] было проведено полное теоретическое доказательство существования решения для любого нечетного р, что окончательно подтвердило гипотезу, выдвинутую первоначально в [27].

Уравнение (0.3) имеет два вакуумных решения: пертурбатпвный вакуум фо = 0 и нетривиальный вакуум фц — 1. В недавней работе Мюллера и Цвибаха [18] проведено исследование существования решения уравнения (0.3), интерполирующего между вакуумамп фо = 0 и фо = 1. Показано, что таких монотонных решений не существует. Этот результат связан с кубическим характером взаимодействия. Было естественно рассмотреть аналогичную задачу для тахиона фермиониой струны, в которой Taxiioiiiibiii потенциал является потенциалом 4-ои степени [13].

В настоящей работе проведено исследование существования решений тахионных уравнений, интерполирующих между вакуумами фермион-пой струны. Как отмечалось выше, в фермпонной струне существует тахион в GSO~ секторе. Смысл рассмотрения такого сектора состоит в том, что именно фермионная струпа без выделения GSO+ сектора, описывает так называемое неэкстремальные D-браны [15]. А именно фермионная струна, на (р+ 1) координату которой наложены условия Неймана, а на остальные координаты граничные условия Дирихле, и описывает неэкстремальную D-брапу (non-BPS брану), на которой находятся концы струны. Если в этой теории ограничиться только тахионным полями (их теперь два, хотя второе поле является вспомогательным и не содержит кинетического члена), то соответствующий лагранжиан для пространственно-однородных конфигураций имеет вид знак д здесь и далее обозначает производную, но времени, остальные обозначения описаны в главе 3. Это действие приводит к уравнениям движения типа 1 где.

U = е-а'1п^)02и, Ф — е-а'1пЬ)°2ф e-2a'lnh)0^U{f) 1 ф.

67 ^.

0.5).

В приближении слабо меняющегося поля и эти уравнения можно заменить уравнением (после перерастяжки, сосредоточивающей все параметры в q, подробнее §§ 3.3−3.4).

— q2d2 + 1) е^Фф = Ф (03 (0.6).

При <7 = 0 это уравнение переходит в уравнение р-адичсской струны при р = 3.

Другой интересный аспект настоящего развития исследований физического процесса распада нестабильной D-браны связан с учетом взаимодействия открытой и замкнутой струп. В настоящее время имеется проблема отсутствия согласованности результатов относительно энергии нестабильной Л-брапы, полученных в рамках процедуры обрезания по уровням для кубической открытой струны и рассмотрения методами конформной теории поля. Это повлекло за собой исследования системы взаимодействующих открытой и замкнутой струн. Предполагается, что необходимо учитывать диссипацию энергии D-браны в сектор закрытой струны в процессе скатывания в стабильный вакуум полной теории.

Мы будем исследовать модель с двумя взаимодействующими тахионными полями, которая недавно была предложена Омурп в [33]. Эту модель можно рассматривать как упрощенную модель теории взаимодействующих открытой и замкнутой струп в которой выполнено приближение обрезания по уровням, при чем часть членов отброшена даже па первом нетривиальном уровне. Несмотря на то, что эта модель может рассматриваться лишь как упрощенная модель полной открыто-замкнутой струпной теории, она допускает интересные роллипговые решения. Пер-турбатпвпый вакуум теории интерпретируется как фон нестабильной D-браны, а стабильный вакуум отвечает вакууму открытой струны вблизи которого отсутствуют возбуждения D-браны.

Исследуемая модель [33, 45] взаимодействующих открытой и замкнутой струн, описывается действием где Ф = ехр (№)0, Ф = ехр (гаШ)'</>, к и т — некоторые постоянные, для численного анализа мы согласно [33] кладем к = rn = In 2. Здесь днекоторая константа, величина которой обсуждается ниже.

Для пространственно-однородных конфигураций Ф = Ф (£), Ф = Ф (t) уравнения движения имеют вид.

Мы исследуем свойства системы и указываем на наличие решений при значениях параметра д = ^ и д = [45]. Решения для случая д = были численно построены в [33].

План работы следующий. В главе 1 проведено исследование уравнений 7>адической струны при р — 3. Уравнение представлено в интегральной форме. Для этого уравнения построена итерационная процедура нахождения решения, интерполирующего между вакуумами Ф = ±1, и доказана ее сходимость.

S =.

— д2 + 1) е2^2ф — Ф2 + r/Ф — 2ФФ = О (-д2 + 4) е2ш^2ф + дФ — Ф2 = О.

В главе 2 проведено исследование краевых задач для ограниченных решений уравнения р-адичсской струны. Соответствующему уравнению движения придается точный смысл в терминах обобщенного преобразования Фурье. Исследуются свойства ограниченных решений. Для нечетных р доказана экспоненциально быстрая сходимость итерационной процедуры к непрерывному нечетному решению, выходящему па ±1 при t —* ±00.

В главе 3 проведено исследование существования решения приближенного уравнения (0.6), интерполирующего между вакуумами Ф = ±1, в зависимости от параметра q. Уравнение сведено к интегральной форме, и показано, что при достаточно больших q уравнение допускает периодическое решение, а при малых q имеется решение типа кинка с асимптотиками ±1 на бесконечности. Особое внимание уделено нахождению критического значения параметра gcr, при котором происходит смена режима — интерполирующее решение переходит в периодическое. Численными вычислениями показано, что q2r ~ 1.38. Физически интересным решением является решение при.

О1 = Qstring = «0.96.

Далее, в главе 3 аналогичное исследование проведено для системы уравнений (0.5). Показано, что в этом случае q2T ~ 2.22. И, наконец, проведено сравнение построенных решений полных уравнении (0.5) и решений приближенных уравнений (0.G) при физически интересном значении q2 = q2atTing.

В главе 4 исследована модель взаимодействующих открытой и замкнутой струн. Исследована эффективная механическая задача, получаемая из исходных уравнений в приближении высшими производными, а также решения интерполирующие между различными вакуумамп теории.

В Приложении описаны алгоритмы построения итерационного решения рассматриваемых уравнений, и проведена оценка их сложности.

Основные результаты диссертации представлены в работах автора [41, 42, 43, 44].

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. В. Белокурову за постоянное внимание и неоценимую поддержку, B.C. Владимирову за внимание и ценные советы, а также И. Я. Арефьевой и Б. Драговичу за полезные обсуждения. Автор также хочет поблагодарить JI.B. Жуковскую за интересные советы и поддержку.

Заключение

.

В работе получены следующие основные результаты:

• Исследованы решения нелинейных уравнений движения с бесконечным числом производных, описывающих зависимость от времени тахионного поля р-адической струны. При р = 3 эти уравнения описывают поведение тахионного поля на неэкстремальной бране при пренебрежении кинетическим слагаемым в приближении слабо меняющегося вспомогательного поля. При нечетном р построена итерационная процедура нахождения решения интерполирующего между различными вакуумами и аналитически доказана ее экспоненциально быстрая сходимость.

• Исследована динамика тахионного поля на неэкстремальной бране, интерполирующего между вакуумами в приближении слабо меняющегося вспомогательного поля в зависимости от параметра q. Численно показано, что при g2r ~ 1.38 происходит смена режимаинтерполирующее решение переходит в периодическое.

• Численно установлено существование решения системы уравнений, описывающей, без предположения о слабо меняющемся вспомогательном поле, тахион на неэкстремальной бране. Решение интерполирует между различными вакуумами при q < qcr, численно найдено g2r ~ 2.22. Тем самым установлено, что как для приближенного уравнения, так и для полной системы уравнений для тахиопа на неэкстремальной бране при физическом значении параметра q2 = q2lrmq ~ 0.96 имеет место интерполирующий режим.

• Получено качественное обоснование наличия критического значения параметра q при помощи рассмотрения линеаризованной системы при больших временах. Показано, что при q оо интегральное уравнение переходит в дифференциальное уравнение для ангармонического осциллятора, что подтверждает численно найденный переход в осцилляторный режим.

• Исследована эффективная модель Омури, описывающая взаимодействие тахионов открытой и замкнутой струн. Найдены значения параметров теории, допускающие интерполирующие решения. Предложена итерационная процедура, которая численно сходится к новому решению, интерполирующему между двумя непертурба-тивиымп вакуумами теории.

В основу диссертации положены работы, выполненные в 2002;2004 годах иа кафедре квантовой статистики и теории поля Физического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на научных семинарах МГУ, МИАН РАН, па Международной конференции, но р-адичсской математической физике, VIII научной конференции молодых ученых и специалистов, Дубна, ОИЯИ.