Некоторые применения измеримых многозначных отображений к задачам управления в банаховом пространстве

I. В последние годы большое развитие, как в теоретическом, так и в практическом плане, получила теория оптимального управления, основы которой были заложены А. С. Понтрягиным, В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко в 1959 году в их фундаментальной работе Гб] .В [б] впервые в монографической литературе в явном виде была сформулирована ставшая с тех пор стандартной математическая постановка общей задачи оптимального управления:

— поведение объекта на временном отрезке 10,1 ] описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром ш = т) — *(о) — о — (ол).

— в каждый момент времени параметр и. Ш, называемый управлением, можно менять в пределах некоторого замкнутого ограниченного множества ;

— на множестве пар, где, а — управление на отрезке Т, а Х ((1) соответсвующая ему траектория, т. е. решение системы (0.1), задан функционал 7 со значениями в.

Я ;

— требуется найти такое управление и*, что для любого управления и справедливо.

7(uUaO) ^ 3(U, X (U)). (0.2).

Обозначая множество [{(¿-.ХЛ)'- ие U (t)} через F (t, x), получаем задачу в близкой постановке с привлечением дифференциальных включений x (Ve F (tj x (t)) (0e3).

7(Х) men iQA).

Работа feJ посвящена получению необходимых условий оптимальности управления — наиболее важному с точки зрения приложений разделу теории. Однако в общей теории немаловажное место занимает и вопрос существования оптимального решения, который в конечном счете сводится к тому, достигает ли функционал своего экстремума на области определения. Ответ на этот вопрос зависит от двух факторов: свойств функционала и свойств его области определения. Б задачах оптимального управления областью определения функционала, как правило, является пучок траекторий, т. е. совокупность всех траекторий исходящих из начальной точки, или область достижимости за некоторое время.

Т, т. е. сечение пучка траекторий в этот момент времени ttT .в предлагаемой диссертации предпринимается изучение этих объектов для динамических систем вида (0.1) (0.3) в различных пространствах.

В первой главе изучаются такие их топологические свойства, как замкнутость и компактность, а в случае линейных систем — также и их экстремальная структура.

Во второй главе ставится в некотором смысле обратная задача: построить линейную систему с заданными областями достижимости. Дается ее приближенное решение для любых заданных областей достижимости в, а также условия точной разрешимости для простейшего случая в пространстве Фреше.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9−12,] .

2. Впервые системы типа (0.3) были рассмотрены, по-види-моьлу, Марию Г 56, Ь7] и Зарембой [68] в 30-е годы нашего столетия. Для непрерывной функции X они определяли в точке контингенциальную производную йХ (^о), как совокупность точек, представимых в виде предела.

Со для некоторой последовательности точек Ф /.

Основным объектом изучения был не пучок траекторий, и так называемая зона достижимости, которая представляет собой график этого пучка. Однако, после того, как Важевский [66, 67^1У61 году показал, что условия:

X — непрерывная функция, 0Х0У<= Г (ЬХМ) всюду на Т, при некоторых естественных предположениях эквивалентны условиям.

X — абсолютно непрерывная функция, х№) 6 F (t, x (t)) почти всюду на Т, систему (0.5) стали рассматривать в более удобной форме (0.3), а решения выбирать из класса абсолютно непрерывных функций.

Дальнейшее развитие теории по части существования решений системы (0.3) шло по пути ослабления ограничений на правую часть, см. [15,17,18,20,22,30} и др. В диссертации изучены теоремы существования для нового класса систем (0.3) — систем с невыпуклой слабокомпактной правой частью. Их доказательство использует идеи работ ?" 15, ?2.] и существенно опирается на доказанный автором новый признак слабой компактности в пространстве (Т, X) интегрируемых по Бохнеру функций со значениями в банаховом пространстве X (теорема 1.3.1).

Замкнутость и компактность пучка траекторий систем (0.1), (0.3) исследовалась многими авторами, см., например, 14,19, ??8,29,477. Однако, по-видимому, впервые компактность пучка была получена Филипповым [19]. Существенную роль в его доказательстве сыграла так называемая лемма Филиппова об измеримом выборе. Дальнейшее развитие теории измеримого выбора Г34,53, 58,667 позволило осознать эквивалентность систем (0.1)и (0.3) и, следовательно, эквивалентность изучения пучков их траекторий. Б 1972 году Берковиц [27] предложил довольно общий и простой метод доказательства замкнутости пучка траекторий в конечномерном пространстве, который позволял получить большинство известных в этой области результатов. Напомним суть этого метода. Из сходимости последовательности [Х^^иеА/} траекторий системы (0.3) к некоторой функции X получают слабую сходимость последовательности } их производных к.

X. Затем, используя теорему Мазура, выбирают последовательность /У^'1^'^/, элементами которой являются выпуклые комбинации элементов из, такую, что она сходится к X в пространстве (Т}Х). В силу требуемой непрерывности функции в метрике Хаусдорфа и требуемой выпуклости ее значений получают, что Га, Х ({)) / В (£) почти всюду на Т для любого? > О. Здесь В (?) ~ шар радиуса? с центром в нуле. Теперь остается только перейти к пределу по?. В бесконечномерном случае из сходимости траекторий слабая сходимость их производных, вообще говоря, не вытекает. Поэтому схема Берковица не проходит. В диссертации предлагается другой подход. Он основан на одном результате из теории измеримых многозначных функций (леммы 1.2.1 и 1.2.4), который позволяет получить включение ха) е Гдля выпуклозначной функции ^ из имеющейся сходимости ^ Хк —^ X для любого измеримого множества, А Т .

В бесконечномерном случае мы сталкиваемся с еще одной трудностью. Дело в том, что в этом случае не всякая абсолютно непрерывная функция почти всюду дифференцируема. В диссертации эта трудность обходится двумя путями, позволяющими получить почти всюду дифференцируемость абсолютно непрерывной функции: сужается класс рассматриваемых пространств, а именно, берутся только банаховы пространства со свойством Радона — Ий-кодиманакладываются дополнительные ограничения на правую часть, а именно, требуется слабая компактность множеств (см. § 2 гл. I). Второй подход с более жесткими ограничениями на функцию Г предпринят также в [14] .

Известные автору результаты о замкнутости пучка траекторий, в том числе и доказываемые в диссертации, получены при предположении выпуклости правой части системы (0.3). Интересно выяснить, насколько условие выпуклости необходимо для замкнутости пучка траекторий. По-видимому, первый результат такого сорта был получен Бруновским [31]: выпуклость значений непрерывной функции Р необходима для замкнутости пучка траекторий системы (0.3), рассматриваемой в Толстоногов [16] показал, что для замкнутости пучка траекторий системы (0.3) с непрерывной компактнозначной функцией Г ^ рассматриваемой в банаховом пространстве, необходима выпуклость множеств почти всюду на Т вдоль всякой траектории X. В диссертации с помощью полученных теорем существования доказан аналогичный результат, который кратко можно сформулировать так: для слабой замкнутости пучка траекторий системы (0.3) с непрерывной слабокомпактнозначной функцией Р необходима выпуклость множеств /" V X) .

В бесконечномерном и конечномерном случаях для линейных систем вида (0.1) (слабую) компактность пучка траекторий обычно получают как следствие (слабой) компактности множества управлений [29, 47], которое является множеством измеримых селекторов некоторой многозначной измеримой функции. Поэтому здесь на первый план выходит получение (слабой) компактности множества измеримых селекторов таких функций в пространстве. Первые такие результаты о слабой компактности были получены Дистелем [42] и затем улучпены Бирном [32]. Как уже отмечалось выше, в диссертации (теорема 1.3.1) получен довольно общий результат подобного сорта: требуется только слабая компактность значений измеримой многозначной функции. Доказательство опирается на критерий Джеймса слабой компактности множеств в банаховом пространстве [54] (см. также стр.30), а также существенно использует теорию измеримых многозначных отображений.

36, Ы, 64, 65] .

Исследование экстремальной структуры пучка траекторий линейной системы вида (0.1) опирается на описание крайних точек множества измеримых селекторов измеримой многозначной функции (лемма 1.4.2). Полученный результат кратко можно сформулировать так: при некоторых условиях крайние и сильно выступающие точки замыкания пучка траекторий системы являются ее траекториями.

3. В [46] Хермс поставил два вопроса: когда для системы (0.3) существует линейная система вида (0.3) с такими же (с точностью до выпуклой оболочки) областями достижимостикогда многозначная функция Р является интегралом на Т, т. е. когда существует другая многозначная функция (/ такая, что /•7?)= // 6- для всех ttT, где интеграл понимается в смысле Аумана [2б]. Эти вопросы тесно связаны, так как хорошо известно [4б], что функция достижимости линейной системы является неопределенным интегралом Аумана с точностью до семейства линейных преобразований.

Продвигаясь в решении первого вопроса, Хермс с помощью леммы Дорна показал, что всегда существует линейная система с минимальными в смысле порядка по включению областями достижимости, содержащими области достижимости нервоначальной системы. В диссертации ставится чуть измененная задача: когда существует линейная система с заранее заданными областями достижимости? Показывается, что в К*1 задача всегда имеет приближенное решение, т. е. для любого £>о существует линейная система с областями достижимости, отличающимися в метрике Ха-усдорфа от заданных множеств не более чем на €. Основное место в доказательстве занимает построение абсолютно непрерывной многограннозначной функции, приближающей заданную абсолютно непрерывную выпуклозначную функцию.

На второй вопрос ответ был дан Хермсом в той же работе [4б]. В более удобной форме, предложенной Артштайном [23], он выглядит так: выпуклозначная функция ^ является неопределенным интегралом Аумана тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и для любых точек существует такой выпуклый компакт, что Р (Б)+ К (5, = Г а) .

Абсолютная непрерывность здесь понимается в обычном смысле, только под расстоянием имеется ввиду метрика Хаусдорфа. Легко видеть, что этот результат можно сформулировать как теорему Радона — Никодима для многозначной меры. Действительно, для любого отрезка положим — .Допустим, что меру /Л можно продолжить на борелевскую & -алгебру отрезка Т. Тогда результат Артштайна выглядит так: мера с выпуклыми компактными значениями абсолютно непрерывная относи" тельно меры Лебега на отрезке имеет производную РадонаНикодима, т. е. существует такая многозначная функция &, что ~ для любого борелевского множества, А — Т. Таким образом, мы приходим к дифференцированию многозначных мер. В этой области развитие идет в основном по пути ослабления условий на значения меры. Различные случаи были рассмотрены в [13,24,35,38−40,45,48]. В диссертации рассматриваются меры со значениями во множестве всех выпуклых ограниченных подмножеств сепарабельного пространства Фреше, обладающего свойством Радона — Никодима. Полученные результаты улучшают подобные результаты работы [4д] в случае банаховых пространств и обобщают их на случай пространства Фреше. В доказательстве используется мартингальный подход. С каждой мерой А1 связывается многозначный мартингал ^ > пе N^, где, а возрастающая последовательность конечных измеримых разбиений /^, порождает & -алгебру измеримых подмножеств. Основной шаг — доказательство существования «замыкающей» этот мартингал многозначной функции, которая и является производной Радона — Никодима меры Л1 .

4. Ь диссертации в основном используются методы функционального анализа и теории измеримых многозначных функций. В качестве источника для ссылок по функциональному анализу используется хорошо известная книга Данфорда и Шварца [I]. По теории измеримых многозначных функций нет столь же известного и доступного источника. Поэтому в диссертации (см. § I гл. I) приводятся основные понятия и необходимые результаты этой теории, которые можно найти, например в [51, 64] .

Система ссылок в работе такова: формулы, леммы и теоремы внутри каждой главы имеют автономную двойную нумерацию: первое число обозначает номер параграфа, второе — номер формулы (леммы, теоремы) внутри этого параграфа, фи ссылках на результаты другой главы используется тройная нумерация, где первая цифра обозначает номер главы.

Цитированная литература приводится в алфавитном порядке. В работе используются следующие обозначения: 1*1 — норма точки Л банахова пространства X — |Д[ ** Sup/lXl: Xf А} - с? А (ш?/) (слабое) замыкание множества, А — со Д (со А) (замкнутая) выпуклая оболочка множества, А — TntА — внутренность множества, А — diantflдиаметр множества, А ;

W, А — множество крайних (extreme) точек множества, А — S&f, А — множество сильно выступающих (strongly exposed) точек множества, А — JC, А — характеристическая функция множества, А — 0 — ноль линейного пространстваX* - топологически сопряжённое к X пространствозначение функционала X* на элементе хе X — da А) — - расстояние от точки X до множества, А в метрическом пространстве (Х, 1) — В (А,?)= [Х (X: Sj замщутая <f-окрестность подмножества, А метрического пространства X. При этом В (®,?) = В (£), 8(1) — В (Х)= В ;

— расстояние.

Хаусдорфа между подмножествами, А и С — у у х — множество всех непустых подмножеств пространства л — & (X) — множество всех замкнутых ограниченных подмножеств пространства X — 1&-с (X) множество всех слабокомпактных подмножеств пространства X — N — натуральный ряд;

— (гмерное евклидово пространство с обычной нормой, фи этом? ;

— положительный ортант пространства — Л.

1 — класс эквивалентности, порождённый измеримой функцией р л. Замечание. Обычно мы не будем различать ^ и ^ - /7 С 7~, Х) — пространство классов эквивалентности интегрируемых по Бохнеру функций р Ж с нормой ^./Д^/ ;

— пространство непрерывных функций: X с нормой /// = - Х (Х, У) — пространство линейных непрерывных отображений.

1: ^ V с нормой 1Л1= su. pl !Ах} В (Х)} .

1. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. -М: ИЛ, 1962. — 895 с.

2. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. — 479 с.

3. Леваков A.A. Некоторые свойства решений дифференциальных включений в банаховом пространстве. Вестник Б1У. Сер. I, физ., мат., мех., 1981, $ 2, с.54−56.

4. Мейер П А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973. -322 с.

5. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. M. s ГИТТЛ, 1957. 552 с.

6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1969. — 384 с.

7. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. — 319 с.

8. Рыбаков В. И. О векторных мерах. Изв. Высших учэбн. завед. Математика, 1968, т. 74, с. 92−101.

9. Суслов С. И. Управление в банаховых пространствах со свойством Радона Никодима. — В кн.: Управляемые системы, 1982, вып. 22, с.58−65.

10. Суслов С. И. О замкнутости пучка траекторий в банаховом пространстве. В кн.: Управляемые системы, 1982, вып. 22, с.66−69.

11. Суслов С. И. Реализация многозначных функций линейными управляемыми системами. В кн.: Управляемые системы, 1980, вып. 21, с. 62−69.

12. Суслов С. И. Мартингалы многозначных функций и теорема Радона Никодима для многозначных мер. — Препринт ИМ СО АН СССР, 1982, № 16.

13. Толстоногов A.A. К теоремам Радона Никодима и A.A. Ляпунова для многозначной меры. — ДАН СССР, 1975, т.225, № 5, с.1023−1026.

14. Толстоногов A.A. О структуре множества решений дифференциальных включений в банаховом пространстве. Мат. сборник, 1982, т. 118(160), с. 3−18.

15. Толстоногов A.A. О дифференциальных включениях в банаховом пространстве с невыпуклой правой частью. Существование решений. Сиб.мат.журн., 1981, т.22, № 4, с.182−198.

16. Толстоногов A.A. О плотности и граничности множества решений дифференциального включения в банаховом пространстве. -ДАН СССР, 1981, т.261, № 2, с.293−296.

17. Филиппов А. Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 1967, № 3, с. 16−28.

18. Филиппов А. Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений. Мат. заметки, 1971, т.10, № 3, с.307−313.

19. Филиппов А. Ф. Онекоторых вопросах теории регулирования. Вестник МГУ, Сер. матем., мех., 1954, № 2, с.25−32.

20. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью. ДАН СССР, 1963, т.151, № I, с.65−68.

21. Шварц Л. Анализ, т.1. M. s Мир, 1972, — 824 с. 22. dfttoaeurici HCL., СебСспа СС. CotiUnaous sefectcoas and dcffeienticLC zefatc’ons ^ IDcff. fycLcit19t-Г y1S, vZ, p, 336−593.

22. COisistecn. A. • Ohtke cc? Acc??aj o^ cfoSeci &a?uec?J/ichajuz Ukcfc fiaUi^^ vZifi /Vf p. ^i.

23. Ciaste tu A. feiL-?a^cced /ve&nciej ^ ftdfy fa., /9², y /?T, p /03-/2r.

24. CLtfsfek. 2., V? to?e JP.a. (Z sAtvy Aa^ocf riu*K&tj fen tancfani cenyoef 6Lhn., i26. (Zccfricomi f! 7. c^ j? CM. cZcoti4. -?frM*th. ?ZW. Ofpt., 19ey> V/2J t/11 p. /27. B&icourt'te byu’steftce ?n frioe&wjY efytmoe Wi/- Siccdca Hatit., 19 1−2, V A.

25. Bic’ci^vt? Af. Juyectozy? frtejfa&S ta fiuutiW.- Pctu^cc f. f/aXb.t I9?0y V^/YI, p.

26. T.F. thertp o^ cCcffemifi’a? efccaJtc’GKjftaiAi. 7/iortjr1CJ69, v3, //A A ft-so.

27. B^ef^h. a. Oh. cicffeterice teectfcow i&t'U ?me*cendc^umM ic.?9−9?.

28. P. Cu o^.

29. C. fofliOAsfo cm. -ZAiX y&A ?f??epy Sk?/u2?A and? ZctmztuL, — ^ MM.19?8, v69. J A/1, p. 2.93−2V6,.

30. C&J-'icdb.j с Va? ac?c&? /Vа^ьсс^^ otnc? trvzpyuwMjz ылЛХс^te riote , — ?ecta/Le Afouj iAzMotl?, уШ, B&-lù-'k. сьъеС AW ^WSpu'fc^l V&le&p,.

31. CitcCtiMjz S. S). Mc (/Xcft^& (жмнУьр&Н'Се coi? tAe Rad&h A/ijt&dtfm ХАь&УШъ сн Всь/ъасА Spaced. — Afdu/i. ScQMd., 1962, f-21- Y1.

32. C&$t? 6C. La pwjyzvke' de P&??*n -/VtfodptnC. P. CZcac?. Sec. Pa/l?j} A, i WO, p. 1Г/ГtJTft.

33. Cette CC.} Pa?? ftc-cCe l? Всши&г Р. Cik. t&esi&fbe cU PacunAfcAootyfn ржл. -eej et ctmwpej a? c.

34. Юм-yte/ P^ma^yPd ampz&f/z&zfUt L, (/с, Я/- (f&Jpwr plati. V, /Y" f, p.

35. Tu’cu F. Pacam- /VcjL#??^rn ^°<П ~V*. Vf, p 96- 91<$.

36. УбсОс F. ?un?

37. С PiectrmfOLot GebabActtm ^ /ъифг^-¿-he (^тпХСшьс^у o^ h (a, x).—paik. Шы ъ-. Podara — i 9?-1 v ГО, р. 1<9S~-?.

38. Joffe Ct. Jt). ZeptSde^?"/^ sepytz&?d m^pptrt^S.- Jzcom. (ZfrLOi. М<�г?/?, Soc., i99−9^V 2У2, p. 11}-9</6.53. 'pXLCu^s Q. Puna^ko (Пг -¿-¿-те Ъеаш^SPaM J. fod&i, i??7-, уГ p. 622−62?.

39. P.C. УеаЖ&г С&тъ-раоТ? -plaXA. Sec., v 913, p. 729−7<60.55. kcoz^ot&ykitkeeWK <т jeact&bi.- ?a?tt C? ca??. fc?} S??. M^A, UUmcrtK. PAjH. j (//Л p- 39?- W,.

40. Pp> ftf, puf? cc.

41. Яску^рн^и S. 9u пмсгггиНЖ arattrf? m aofzccitb Spctce, — ?to&k/r^ of CetztzeC ctncC J/?ebf, 1? SQ} v9,/vZ, p. 121- /32,61. jW ?. ?fettatitcU?, fHhtj et py??>-pU?6i te fatwi-A/c'JkedpmCP. tfca??. fc?. Pz/??d, S&d7W!T? i 2/0, tp.

42. Van uwt&frz ?. te am^&xes ^e%s>ie?r а&аЯбъЛе* (?chtet^ht fe псе. Utw. J^rtt. Pettzcafre, JWZ, ~e ?W, и/f, p. ЗбУ-JJS:

43. Уа? о, сСс?4. /V/. e? p>?ba>rzce cem???&&njee?& nw? ecfrcr (pxe runz й&гп. Jmt. JP p&z'k.c&it^19S0, t В XVI,/vZ? p f09- Ш.

44. Ш<�рмг ?0. bvwey of seekcti^m tAeeuwtj.- SPdM? untvt cutc? 0ft., 197?, v/f, А p tr9-J?o3.Zzfpcj: Cfin Ufdafa. ?WW иг V W, f. Вег&ъ ctncl NeuIfoiA ,.

45. Усс^ел^кг' 7 Г Р^р&т^ de с^шт^п^ ea e^ua/СГИ4 ayP/iyi, WY, v? p, irf- /077.

46. Ycoiom^c T, fcc^ (¿-иг CJTLcu’fc’uK erau cm^u^^cp. ?2ca:?p. J&.PloA* Cfyfakent, fiyJ-, КУ, p. МГ-ftf*68. ^ceA&fr/z S. С. ax j&fcz&Vi.