Гидродинамические аналогии в численном конформном отображении и исследование проницаемых профилей

Метод конформного отображения относится к числу важнейших в математике. Он находит многочисленные приложения к самым различным областям знаний, а именно, при помощи метода конформных отображений с успехом решают практические задачи гидрои аэродинамики, теории упругости, теории фильтрации, теории теплового, магнитного, электростатического полей, электрои радиотехники, электронной оптики и других наук, лежащих в основе современного технического прогресса.

Комплексными числами и функциями комплексного переменного и, в частности, конформно преобразующими функциями математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII веке. Особенно велики заслуги Леонарда Эйлера (1707−1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного (ТФКП). Эйлер привел многочисленные приложения функций комплексного переменного к различным математическим задачам и положил начало применению их в гидродинамике и картографии.

После Эйлера открытые им результаты развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX века ТФКП оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. Основные заслуги здесь принадлежат Огюстену Коши (1789−1857) и Карлу Вейерштрассу (1815−1897), развившим интегральное исчисление и теорию представления функций рядами, а также Бернхарду Риману (18 261 866), обосновавшему геометрические вопросы теории функций и их приложения.

Отдельные задачи, связанные с конформными отображениями, решались Дж.Л. Даламбером, Л. Эйлером и К. Ф. Гауссом. Опираясь на их работы, Б. Риман в своей диссертации «Основы общей теории функций комплексного переменного» (1851 г.) положил начало геометрической теории функций и, в частности, сформулировал основную теорему о возможности конформного отображения произвольных односвязных областей друг на друга (но доказана она была позднее). В своих исследованиях Б. Риман систематизировал и развил теорию конформных отображений, исходя из физических представлений.

Со второй половины XIX века инициатива широкого применения конформных отображений к конкретным практическим задачам и наиболее принципиальные результаты в этом направлении принадлежат русским ученым — Н. Е. Жуковскому, С. А. Чаплыгину, М. А. Лаврентьеву, М. В. Келдышу, Л. И. Седову (гидрои аэродинамика), Г. В. Колосову, Н. И. Мусхелишвили, А. Н. Диннику, Г. Н. Савину (теория упругости), H.H. Павловскому, П.Я. Полубариновой-Кочиной (теория фильтрации) и их многочисленным последователям и ученикам. Среди них следует отметить A.B. Кузнецова, Н. Б. Ильинского, Л. М. Котляра, А.Г. Теренть-ева, Д. В. Маклакова, В. Н. Васильева, В. П. Житникова и др.

В математике существует ряд аналитических методов, которые позволяют в большинстве случаев полностью решать задачи об отображении. Однако обычно приходится рассматривать области, для которых отображающую функцию нельзя получить в явном виде, хотя ее существование обеспечивается теоремой Римана. Точное или хотя бы удовлетворительное приближенное построение этой функции для заданной односвязной области и притом в форме, удобной для использования в приложениях, представляет собой сложную математическую задачу. Разработка приближенных методов конформных отображений ведется уже несколько десятилетий и литература, посвященная этим вопросам, насчитывает многие сотни названий.

В теории плоских конформных отображений и ее приложениях принципиальным является вопрос о возможности однолистно и конформно отобразить одну заданную область на другую, а в практических приложениях — вопрос о возможности это сделать посредством сравнительно простых функций. Первую задачу для случая односвязных областей, границы которых не пусты и не вырождаются в точки, решает в положительном смысле теорема Римана о конформном отображении [19, 43]. Вторая задача для некоторых областей специального вида решается с применением элементарных функций комплексного переменного, формул Кристоффеля-Шварца для отображения полуплоскости или круга на многоугольник, применением принципа симметрии, приближенных методов конформного отображения.

Первыми работами по теории конформных отображений, опубликованными в нашей стране в двадцатых годах, были работы В. И. Смирнова [65], И. И. Привалова [59], М. А. Лаврентьева [94].

С именем М. А. Лаврентьева связано возникновение вариационных методов теории конформных отображений, о применении которого упоминается в работах [43, 45, 46, 79]. М. А. Лаврентьеву принадлежит также идея метода последовательных конформных отображений [79].

Большой вклад в развитие теории конформных отображений и их технических приложений был сделан в ряде совместных работ М. А. Лаврентьева и М. В. Келдыша [36] и других авторов. В своих дальнейших трудах М. В. Келдыш [34, 35] разрабатывает вопросы представления функций комплексного переменного совокупностью полиномов и вопросы конформного отображения многосвязных областей.

Экстремальные свойства отображающей функции [30] дали возможность применить для ее построения различные полиномы, ортогональные на контуре или в области. Первые успешные попытки построения таких полиномов были предприняты в двадцатых годах Карлеманом, Сеге, Бохнером и Бергманом [30]. К этому же направлению тесно примыкают работы В. И. Смирнова [65] и других авторов.

Новое направление в развитии приближенных методов конформных отображений было дано в работах участников семинара при Институте математики и механики Ленинградского университета, который был организован в начале тридцатых годов В. И. Смирновым. Среди них надо отметить работы Г. М. Голузина [19] и П. В. Мелентьева [52], которые затем вошли в монографию Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [30].

Для разработки аналитических методов построения отображающих функций в виде полиномов Л. В. Канторовичем [29, 30] были использованы сопряженные тригонометрические ряды. Г. А. Николаева занималась дальнейшей разработкой метода, предложенного Л. В. Канторовичем, для отображения близких областей [56]. Этот способ был применен ею к отображению областей, значительно разнящихся друг от друга, путем введения нескольких промежуточных областей. Г. А. Николаева также разработала численный вариант этого метода и осуществила детальное исследование сходимости процесса, используя теоремы о методе Ныотона. Некоторому варианту метода Л. В. Канторовича посвящена работа А. З. Закарина [26].

Численный метод конформных отображений, основанный на тригонометрической интерполяции, изложен в работе П. Ф. Фильчакова [82]. Указанная методика обобщена на случай внешних и двусвязных областей.

Для построения конформного отображения односвязных областей П. Ф. Фильчаковым был предложен численный метод [81], основанный на методе последовательных конформных отображений [78], разработанный им же ранее. Данный метод применим к отображению областей любой связности. Дальнейшее исследование метода изложено в работах [79, 80, 82]. Необходимо также отметить работы В. П. Фильчаковой, например, [84].

В практике конформных отображений важное место занимает отображение прямолинейных и круговых многоугольников, определяемое с помощью формулы Кристоффеля-Шварца и дифференциального уравнения Шварца. Наибольшее затруднение представляет нахождение неизвестных параметров, входящих в указанный интеграл и уравнение, особенно так называемых акцессорных параметров, появляющихся при конформном отображении круговых многоугольников. В книге В. Коп-пенфельса и Ф. Штальмана [39] основное внимание уделено теории и практике конформных отображений многоугольников: прямолинейных и круговых, односвязных и двусвязных.

Определению констант Кристоффеля-Шварца посвящен ряд работ [21, 31, 47, 79, 95, 103]. Например, в работе E.-S. Meyer [95] задача вычисления параметров сводится к решению системы нелинейных уравнений модификациями Бройдена и Шветлика метода Ньютона. В работе Zheng Zhi-giaig [103] конформное отображение осуществляется при помощи интеграла Кристоффеля-Шварца, для нахождения констант которого предлагается численный метод. В статье И. С. Хары [86] при отображении многоугольника на круг предложено использовать в качестве параметров, определяющих отображение, не образы вершин многоугольника, а расстояния между ними. Последние определяются методом последовательных приближений. В работе A.C. Грищен-ко [21] утверждается, что формула Кристоффеля-Шварца для отображения верхней полуплоскости на внутренность прямоугольника может быть обобщена на случай прямоугольника, одна сторона которого заменена на непрерывную кривуюпостроена непрерывная функция осуществляющая взаимно однозначное соответствие вещественной оси комплексной плоскости 2 на границу заданной области g.

Хорошо известно [39], что решение задачи конформного отображения канонической области на круговой четырехугольник представляет принципиальные трудности, обусловленные тем, что соответствующее дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет отображающая функция, содержит два неопределенных параметра. Связь этих параметров с геометрическими характеристиками заданного четырехугольника заранее неизвестна. В работах А. Р. Цицкишвили [88, 89] указан общий путь решения задачи конформного отображения полуплоскости на круговой четырехугольник, который удалось распространить на многоугольник с любым числом вершин [87].

Вопросам конформного отображения многоугольников и круговых многоугольников посвящен целый ряд работ Э. Н. Береславского [8]-[10]. В статье Э. И. Зверовича и Г. Г. Чаевского [27] предлагается метод построения аналитических функций, осуществляющих конформное отображение круговых пятиугольников частного вида на полуплоскость.

Для построения конформно отображающей функции использовался также метод интерполяционных полиномов Лагранжа, который нашел свое применение в трудах В. А. Ботова [12] и А. Г. Угодчикова [76]. Так, в работе [12] излагается этот метод и предлагается его модификация, что позволяет отображать значительно более сложные однолистные области, а также расширить сферу применения данного метода на отображение неоднолистных областей.

Как известно, аналитическое построение отображающих функций для многосвязных, в частности, двусвязных областей связано с большими трудностями [1, 19] - здесь встает вопрос о степени возможности однолистного конформного отображения любых двух данных п-связных областей друг на друга. Для односвязных областей это, по теореме Ри-мана, возможно всегда, за малыми исключениями. Иначе обстоит дело в случае п-связных областей с п > 1. Для того, чтобы две такие области были однолистно отобразимы друг на друга, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы две круговые области, на которые они могут быть однолистно отображены, также допускали однолистное отображение друг на друга. Эти круговые области можно брать «специального» вида, а именно, кольца вида д < г < С} с п — 2 круговыми вырезами внутри, ибо любую круговую п-связную область можно всегда отобразить на область такого вида посредством надлежащей дробно-линейной функции.

Разработке методов конформных отображений двусвязных и многосвязных областей посвящены работы В. А. Зморовича [28], Г. Я. Хажалия [85], Р. Куранта [90].

В работе Л. Е. Дундученко и С. В. Гончаренко [24] используется явный вид функции w — h (z), однолистно и конформно отображающей n-связную круговую область на круг единичного радиуса с разрезами по дугам концентрических окружностей с общим центром в точке w = 0. В статье С. В. Гончаренко [20] построены точное и приближенные аналитические выражения функции h (z), дана оценка допускаемой погрешности.

A. Harrington [91] излагает приближенный способ построения функции, конформно отображающей данную многосвязную область на область с граничными компонентами в форме прямоугольников и приводит примеры с расчетами. В работе Н.-Р. Hoidn [92] описан приближенный метод конформного отображения (так называемый метод соприкосновения) двусвязной области на кольцо. В статье D. Homentcovschi [93] получено асимптотическое представление функции, реализующей конформное отображение внешности п кривых с конечным радиусом кривизны на плоскость с п разрезами по вещественной оси. В работе Б. И. Рабиновича и Ю. В. Тюрина [60] рассматривается задача конформного отображения на кольцо областей, ограниченных замкнутыми линиями, близкими в некотором смысле к концентрическим окружностям. Предлагается рекуррентный численный метод. Об отображении круговой многосвязной области на плоскость и круг с разрезами вдоль конечных прямолинейных отрезков рассказывается в статье Л. Е. Дундученко [23]. А. Л. Кудрявцевым [41] предложен приближенный метод конформных отображений двусвязной области на кольцо.

Наряду с аналитическими методами и, главным образом, в силу их сложности, возникли методы графоаналитические. Здесь прежде всего следует отметить метод П. В. Мелентьева [38] (с. 80−89), [52, 53]. Ю. В. Благовещенский [11] применил метод П. В. Мелентьева для конформного отображения на круг областей, близких к кругу, придав этому метод, у аналитическую форму.

Для решения задачи конформного отображения наперед заданных областей использовался также метод электрогидродинамических аналогий (ЭГДА) H.H. Павловского, который представлял собой первую электрическую модель конформного преобразования одной односвязной области (прямоугольник) на другую (область фильтрации). А.Г. Угод-чиков [76], пользуясь электропроводной бумагой и, исходя из метода П. В. Мелентьева, разработал экспериментально-аналитический метод построения функции, конформно отображающей произвольную од-носвязную область на круг, а также двусвязную область на круговое кольцо. Этот метод успешно применялся в гидродинамике Г. А. Рязановым [61, 62], в теории упругости Н. В. Алексеевым [2], в теории фильтрации П. Ф. Фильчаковым [83].

В теории аналитических функций рассматриваются также неоднолистные отображения областей разной связности друг на друга посредством аналитических функций, в том числе конформное отображение круга на многосвязные области, отображение гг-связных областей на п-листный круг, вообще, отображение одной римановой поверхности на другую [3, 4, 5].

Более подробный обзор работ по приближенным методам конформных отображений и их применению к решению различных технических задач приведен в [18, 22, 30, 32, 42, 50, 51, 100].

Из приведенного обзора видно, какое большое внимание уделялось методам конформных отображений, тем не менее нет простого алгоритма численного конформного отображения.

С развитием вычислительной техники мощный толчок к развитию получили численные методы, применяемые сегодня в самых разных областях механики сплошных сред. Многие задачи, теоретическое исследование которых ранее было затруднительным, получили решение благодаря реализации численных методов. Так, нашли свое применение метод интегральных уравнений [49, 54], метод конечных элементов [13, 37], метод граничных элементов [7, 13, 14] и их различные модификации.

В последнее время в различных областях механики сплошных сред широко применяется метод граничных элементов (МГЭ). Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ: возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР), применение которых требует дискретизации всей области). Подробно сам метод и область его применения изложены в монографиях П. Бенерджи и Р. Баттерфилда [7], К. Бреббиа, Ж. Теллеса и Л. Вроу-бела [13], в учебном пособии А. Г. Терентьева и К. Е. Афанасьева [69]. Применительно к задачам гидродинамики МГЭ был использован в ряде работ. Так, А. Г. Терентьев [68, 69, 71] исследовал многие задачи гидродинамики с помощью метода граничных элементов. Численные исследования обтекания системы произвольных профилей с помощью МГЭ проведены Т. В. Картузовой [33].

В данной работе метод граничных элементов использовался в качестве численного метода для построения конформно отображающей функции.

Исторически методу граничных элементов предшествовали родственный ему метод конечных элементов и теория интегральных уравнений. Интегральное уравнение теории потенциала вывел Георг Грин.

Существует две формулировки МГЭ: прямая и непрямая [13]. В непрямой формулировке вводятся формальные функции плотности источника, которые обычно не имеют отношения к физическому смыслу задачи. Это неудобство можно преодолеть, воспользовавшись прямой формулировкой метода граничных элементов, где значения неизвестной функции (р и ее производных на границе С области I) играют роль плотностей источников, определяющих ср внутри Б. К этой формулировке можно прийти, используя, например, метод взвешенных невязок [13], преимущество которого состоит в универсальности: его можно непосредственно распространить на решение более сложных уравнений в частных производных и применить для получения других численных подходов (таких, как метод конечных элементов).

В данной работе будет использоваться прямая формулировка МГЭ.

Интегральные соотношения Грина, лежащие в основе МГЭ, были получены для однозначных и непрерывных вместе со своими производными до второго порядка функций и использовались для ограниченных областей. Однако в задачах гидродинамики область течения жидкости может быть и неограниченной и многосвязной, а искомые функции могут иметь особенности как во внутренних точках, так и на бесконечности, по этой причине применять для их решения интегральные соотношения Грина непосредственно нельзя. А. Г. Терентьев [68] обобщил формулу Грина для функций с особенностями и для неограниченных областей. В настоящей диссертационной работе при построении алгоритма численного расчета используется именно формула Грина-Терентьева.

Многие задачи гидродинамики, теории упругости и др. проще решаются по такой схеме: сначала находится решение задачи для канонической области, а затем искомое решение выражается через найденное с помощью конформного отображения исходной области на каноническую. Значит, вся трудность заключается именно в построении конформно отобра? кающей функции.

Перечисленные проблемы послужили причиной возникновения нового подхода к численному конформному отображению ограниченных и неограниченных областей конечной связности.

Таким образом, целью диссертационной работы является:

1) разработка алгоритма численного конформного отображения ограниченных и неограниченных областей конечной связности на основе МГЭ;

2) применение построенного алгоритма к задачам гидродинамики идеальной жидкости;

3) численное исследование проницаемых профилей.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1) предложен явный вид функций, отображающих плоскость с двумя, вообще говоря, произвольными разрезами на прямоугольник (§ 1, § 2);

2) предложен явный вид функций, отображающих полуплоскость с разрезом по замкнутому (§ 3) и незамкнутому (§ 4) разрезу на прямоугольник;

3) разработан алгоритм численного конформного отображения ограниченных областей (§ 7) на неограниченные области для двух случаев нормировки:

— внутренней точке го соответствует бесконечно удаленная точка г^о = оо и граничной точке хд соответствует граничная точка ги^;

— трем граничным точкам соответствуют три граничным точкам, одна из которых — бесконечно удаленная;

4) осуществлено численное конформное отображение неограниченных областей на плоскость с горизонтальным разрезом при соответствии друг другу бесконечно удаленных точек (§ 8);

5) построено численное конформное отображение внешности двух простых контуров на плоскость с двумя параллельными разрезами (§ 9);

6) исследована задача обтекания крылового профиля с проницаемыми участками (§ 10);

7) аналитически решена задача обтекания проницаемой пластины вблизи экрана (§ 11);

8) исследовано обтекание проницаемого крылового профиля вблизи экрана (§ 12).

Все расчеты проводились с использованием постоянных граничных элементов и сравнивались с аналитическим решением (если оно известно). Результаты вычислений представлены в виде таблиц и графиков, которые подтверждают высокую эффективность метода граничных элементов при решении вычислительных задач.

Полученные результаты могут быть полезны:

— при решении задач конформного отображения областей призволь-ной конфигурации с самонепересекающимися границами;

— при решении задач обтекания тел (или системы тел) заданной формы, в том числе с проницаемыми участками границы.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю — заслуженному деятелю науки Чувашской Республики, академику НАНИ ЧР, профессору Алексею Григорьевичу Терентьеву за поставленную задачу, постоянное внимание и помощь при выполнении работы, а также сотрудникам кафедры прикладной и дискретной математики и кафедры теоретической механики Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова за полезные советы при обсуждении результатов.

Заключение

.