Численное исследование слабосвязанной трехчастичной системы с сильным короткодействующим отталкиванием

Основным объектом исследования настоящей работы являются небольшие кластеры атомов гелия — связанные состояния Нв2 и НезКоличество работ, посвященных таким кластерам, быстро растет в последние годы. Этот интерес стимулируется несколькими обстоятельствами. Сделанные в начале 80-х годов [1] предсказания существования кластеров Нег получили в начале 90-х годов экспериментальное подтверждение [2, 3] в наблюдении кластеров Не2 и Не3 независимыми группами. С другой стороны, наметился существенный прогресс в создании построенных на основе первопринципов потенциалов межатомного взаимодействия [4, 5]. Оценка точности теоретического описания взаимодействия атомов гелия на сегодняшний день столь высока, что было предложено использовать теоретические результаты для калибровки экспериментального оборудования [6]. Таким образом, в настоящий момент теоретическое исследование малых гелиевых кластеров представляется наиболее точным методом исследования этих объектов. Для физики нескольких тел кластеры гелия представляют собой уникальный пример системы, особенности взаимодействия в которой (большая длина рассеяния, исключительно малая энергия связи в двухчастичной системе) позволяют рассматривать кластер Нез (тример) с точки зрения наблюдения в нем эффекта Ефимова [7, 8, 9, 10].

В технике исследования квантовых состояний нескольких частиц в последние годы также наблюдается существенный прогресс. В значительной мере он связан с развитием техники численного решения уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве. На сегодняшний день уравнения Фаддеева в конфигурационном пространстве нашли широкое применение в исследовании систем нескольких нуклонов, в моделировании многих атомных ядер, ядерных реакций, в исследовании систем заряженных частиц. Основой широты и успешности применения уравнений Фадцеева явилась строго математически обоснованная квантовая теория рассеяния систем нескольких тел [11], в значительной мере опирающаяся на формализм уравнений Фадцеева. Одной из привлекательных особенностей уравнений Фадцеева является простота численной аппроксимации их решений по сравнению с аппроксимацией волновых функций. В то же время системы уравнений Фадцеева эквивалентны уравнению Шредингера, и волновая функция может быть однозначно восстановлена по их решениям. В начале 90-х годов были предложены новые эффективные методы решения задач нескольких частиц. Наиболее существенными для настоящей работы являются метод уравнений Фадцеева в представлении полного момента [12], метод тензорной факторизации (tensor trick) [13, 14] и метод декартовых координат [15, 16]. Метод декартовых координат позволяет корректно учесть поведение трехчастичной волновой функции на больших расстояниях от центра масс системы, что особенно важно для исследования слабосвязанных систем, подобных тримеру гелия. Использование уравнений Фадцеева в представлении полного момента позволяет выполнить редукцию уравнений, сохранив, в отличие от разложения по бисферическому базису, локальную структуру оператора Фадцеева. При дискретизации уравнений эта локальная структура приводит к разреженной структуре матриц, что позволяет эффективно совместить преимущества метода декартовых координат и использовать алгоритм тензорной факторизации. Другим важным преимуществом представления полного момента является возможность более качественно чем при использовании других представлений передать угловое поведение компоненты Фадцеева.

Несмотря на широкое распространение уравнений Фадцеева в качестве инструмента теоретического исследования и численного моделирования систем нуклонов, легких ядер и систем заряженных частиц, применение уравнений Фад-деева в численном моделировании молекулярных систем ограничивается лишь отдельными редкими работами. Одной из причин редкого использования уравнений Фаддеева в исследованиях молекулярных систем можно назвать необходимость учитывать не только в-волновой вклад во взаимодействие в системе, что часто оказывается достаточным в ядерных задачах, но и вклады от взаимодействия частиц в состояниях с более высокими угловыми моментами. Основой для решения этой проблемы могут служить результаты работы [12], в которой разработан метод парциального анализа, позволяющий легко учесть вклады всех парциальных волн. Другой причиной, сдерживавшей применение уравнений Фаддеева в задачах молекулярной и химической физики, были отмеченные в литературе [10, 17] сложности использования разработанных на сегодняшний день численных методов решения уравнений Фаддеева к системам нескольких атомов. Эти сложности связывают с характерными особенностями модельных потенциалов межатомного взаимодействия. В качестве таких особенностей называют медленное, степенное убывание потенциалов на больших межатомных расстояниях, что приводит к необходимости построения аппроксимации решений в больших областях конфигурационного пространства, и исключительно сильное короткодействующее отталкивание, приводящее к потере стабильности широко используемых сегодня методов численного решения уравнений Фаддеева.

Главной целью настоящей работы была разработка методов решения уравнений Фаддеева пригодных для использования в численном моделировании систем трех атомов. Разрабатываемые методы применялись для расчета характеристик связанных состояний трехчастичного кластера гелия. Будучи интересным объектом физического исследования сам по себе, тример гелия является также исключительно привлекательным объектом с точки зрения отработки вычислительных методов решения задачи трех тел. Для этой системы существуют надежные модели межатомного взаимодействия, показана высокая реалистичность аппроксимации потенциала системы суммой парных потенциалов, что позволяет рассчитывать на высокую физическую достоверность результатов моделирования системы. С другой стороны, наличие сильного короткодействующего отталкивания и большая по сравнению с эффективным радиусом взаимодействия длина рассеяния в двухчастичной системе создают существенные трудности для численных расчетов, что и делает тример гелия привлекательным объектом с точки зрения отработки численных методов. Таким образом, второй целью настоящей работы было исследование связанных состояний трех атомов гелия на основе разрабатываемых методов численного решения уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве.

Для достижения поставленных целей решались следующие задачи:

• анализ применимости существующих численных методов для исследования тримера гелия;

• реализация наиболее перспективных схем в виде компьютерной программы;

• анализ трудностей, возникающих при использовании избранных вычислительных схем;

• модификация существующих методов, позволяющая избежать проблем, возникающих в стандартных схемах;

• реализация предлагаемых модификаций в компьютерной программе;

• выполнение численных расчетов тримера гелия.

В результате были построены алгоритмы, позволяющие с наибольшей доступной на сегодняшний день точностью получить энергии связи и волновые функции системы трех слабосвязанных частиц сильно отталкивающихся на малых расстояниях. Для различных модельных потенциалов выполнены расчеты основного и возбужденного состояний тримера гелия. Произведено сравнение полученных результатов с результатами исследований тримера гелия, выполненных другими методами [9, 10, 18, 16, 19, 20, 21, 22]. Дано объяснение некоторого расхождения в оценке энергии связи основного состояния, полученной в рамках настоящей работы, с результатами других авторов. Результаты работы [22] воспроизведены как частный случай в рамках предложенного метода.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе описан формализм дифференциальных уравнений Фаддеева для решения задачи на связанные состояния, представление полного момента для уравнений Фаддеева, обсуждаются симметрии входящих в уравнение операторов и решений уравнения. Во второй главе обсуждаются численные методы решения уравнений Фаддеева, приведено описание метода тензорной факторизации и метода декартовых координат, дано обоснование выбора эффективного метода решения задачи на связанные состояния, обсуждаются особенности применения предложенного метода для систем с сильным короткодействующим отталкиванием, предложены модификации рассмотренного метода. В третьей главе обсуждаются результаты численных расчетов димера и тримера гелия. Основные результаты работы суммированы в заключении.

результаты работы [22] воспроизведены в рамках настоящей работы в форме простейшего из использованных приближенийотмечена схожесть свойств возбужденного состояния тримера гелия со свойствами димера гелиясходство свойств димера и возбужден лого состояния тримера может быть объяснено высоким вкладом двухчастичной волновой функции в компоненту Фаддеева для возбужденного состояния;

• отмечены преимущества использования уравнений Фаддеева в расчетах связанных состояний трех частиц перед использованием уравнения Шредин-гера.

Заключение

.

Суммируем основные итоги представленной работы.

Задача исследования связанных состояний трехчастичной системы сформулирована как задача на исследование дискретного спектра дифференциального оператора Фаддеева с соответствующими асимптотическими граничными условиями, сформулированы приближенные граничные условия. Обсуждение методов редукции оператора Фаддеева привело к заключению о наличии существенных преимуществ представления полного момента перед бисферическим разложением для широкого класса задач. Рассмотрены вопросы представления оператора Фаддеева в гиперсферических и декартовых координатах с точки зрения симметрии различных вкладов в асимптотику компоненты Фаддеева для волновой функции. Отмечена предпочтительность использования декартовых координат для представления компонент, в асимптотику которых существенный вклад дает двухчастичная кластерная волна. Проведено подробное обсуждение методов численного исследования оператора Фаддеева, выделены наиболее перспективные методы, которые могут обеспечить наибольшее увеличение точности приближения компонент Фаддеева при наименьшем возможном росте вычислительных затрат. К таким методам отнесены метод ортогональных коллокаций, метод Арнольди для модифицированного оператора и метод тензорной факторизации. Значительное внимание уделено применению имеющихся оценок сходимости метода Арнольди к дискретизованному оператору Фаддеева и его модификациям. На основании этих оценок указаны причины трудностей, возникающие при применении стандартной схемы применения методов, основанных на построении пространств Крылова к модифицированным дискретизованным уравнениям в случае систем с сильным короткодействующим отталкиванием: сильный короткодействующий кор существенно изменяет границы спектра модифицированного дискретизованного оператора, что делает стандартную схему трудноприменимой. Предложена модификация дискретизованного оператора Фаддеева, для которой указанная трудность становится легко преодолимой. Предложенная модифицированная численная схема была реализована в компьютерной программе, которая была использована для исследования основного и возбужденного состояний тримера гелия на основе девяти различных потенциальных моделей. Приведены результаты такого исследования, а также методы обработки результатов численного эксперимента. Анализ и сравнение полученных результатов с имеющимися в литературе данными показали, что предложенная численная схема позволяет исследовать связанные состояния тримера гелия — один из наиболее сложных объектов исследования — с наивысшей доступной на сегодняшний день точностью. В отличие от других известных методов исследования трехчастичных систем, она обеспечила одинаково высокую точность и для основного, и для возбужденного состояний исследуемой системы, что позволяет предполагать использование подобной схемы весьма перспективным и для других задач химической физики. Для всех использованных в работе модельных потенциалов приведены полученные в результате исследования оценки собственной энергии основного и возбужденного состояний трехчастичного кластера гелия, средний и среднеквадратичный радиусы этих кластеров, а также соответствующие характеристики двухчастичного связанного состояния. Исследование показало значительное отличие в свойствах основного и возбужденного состояний тримера. Отмечено сходство свойств возбужденного состояния тримера со свойствами димера, которое может сказываться на результатах экспериментальных исследований их характеристик.

Таким образом ожидаемые цели диссертационной работы достигнуты: построенная высокоэффективная схема исследования связанных состояний трехча-стичных кластеров успешно применена для исследования связанных состояний тримера гелия.

Разработанные и реализованные в работе методы имеют значительные перспективы дальнейшего применения. Среди них — использование методов, развитых для расчета связанных состояний тримера гелия к расчетам рассеяния в системе Не-Не2, расчет связанных состояний трехатомных молекул, в частности Оз и N02, расчет реакций в системах атом 4- двухатомная молекула, обобщение предложенных методов численного решения уравнений Фаддеева для решения уравнений Якубовского. В этом, последнем случае метод может быть использован и самостоятельно, и на этапе расчета базиса в рамках метода кластерной редукции. Применение предложенного метода в дальнейшем исследовании трехчастичных кластеров гелия также имеет перспективы. Существующие на сегодняшний день возможности экспериментальной техники не позволяют выполнить измерения характеристик трехчастичных кластеров гелия с точностью, с которой могут быть исследованы соответствующие теоретические модели. Однако, с развитием экспериментальной техники может приобрести большую актуальность вопрос оценки вклада релятивистских поправок в дисперсионные коэффициенты для системы Не — Не [50]. Предложенная и апробированная в настоящей работе техника может дать существенный вклад в исследование этого вопроса.