Математическое моделирование стохастической динамики процессов деканалирования и реканалирования быстрых заряженных частиц в кристаллах

В настоящее время эффект каналирования представляет собой интенсивно развивающееся направление, о чем свидетельствуют многочисленные эксперименты, проводимые в этой области. К ним относятся: эксперименты по отклонению быстрых заряженных частиц изогнутым кристаллом, проводимые на ускорителях в Институте физики высоких энергий (ИФВЭ, Серпухов), в Европейском центре ядерных исследований (ЦЕРН, Женева), в Национальной ускорительной лаборатории им. Э. Ферми (Фермилаб, Батавия, США) и других научных центрахэксперименты по резонансному когерентному возбуждению ионовэксперименты по прохождению многозарядных ионов в плоскостных и осевых каналах кристаллаэксперименты, связанные с изучением излучения при каналировании легких частиц и т. д.

Т^лттп ттттллжттттта ттлчг л ттттпч ттичлт^лд ттлтт" гаттатттта л «ппттттттттлг п^ттплпчгтхт.

1апалирипаш'1С налиди 1 ширили^ иршс^пии г> р^шчшил иилаилл науки и техники: ядерной физике, физике твердого тела, полупроводниковой технике и микроэлектронике. С его помощью можно анализировать структуру кристаллической решетки, время жизни возбужденных ядер, местоположение атомов примеси в кристаллической решетке, находить профиль радиационных дефектов, изучать нарушения структуры в поверхностных слоях кристалла и тонких монокристаллических пленках и исследовать излучение легких частиц. Также вопросы изучения каналирования частиц в кристаллах актуальны в связи с применением кристаллов на ускорителях для управления пучками частиц высоких энергий.

При падении пучка частиц на кристалл под малым углом к его оси меньшим, так называемого, критического угла каналирования наблюдается эффект захвата частиц в канал (полость, ограниченная совокупностью соседних параллельных друг другу цепочек или плоскостей атомов кристалла). В этом случае частица в течение относительно длительного времени движется вдоль канала, испытывая из-за электростатического взаимодействия с атомами попеременные отражения от его противоположных стенок. В этом случае траектории частиц в среднем располагается достаточно близко к оси канала и потеря энергии частиц из-за электронных столкновений будет заметно снижена. При угле падения больше критического частица покинет канал и характер ее движения не будет существенно отличаться от случая движения в аморфной среде.

Основы теории каналирования заложены в работе Й. Линдхарда [1], где введены понятия критического угла каналирования и непрерывного потенциала плоскостного и осевого каналов кристалла. В этой же работе для описания процесса каналировании получено уравнение диффузионного типа. Позже для этих же целей было предложено использовать кинетическое уравнение Фоккера-Планка в пространстве энергий поперечного движения [2] и в пространстве поперечных координат и скоростей [3]. Перечисленные уравнения связаны с понятием кинетических коэффициентов, которые из различных принципов получены в [1], [3] - [5] и др. работах. Основные вопросы, связанные с каналированием, описаны в работах [6] - [9].

Движение быстрых заряженных частиц в кристаллах является стохастическим процессом, так как тепловые и квантовые флуктуации местоположения атомных ядер и электронов кристалла изменяют случайным образом значение поперечной силы, приводящей к малоугловому рассеянию. Траектория частицы внутри кристалла определятся непрерывным потенциалом атомной цепочки или атомной плоскости, который в свою очередь связан с понятием потенциальной энергии взаимодействия налетающей частицы с атомом кристалла. В обзоре [10] рассмотрены парные межатомные потенциалы взаимодействия и взаимодействие ионов с атомами твердых тел. Актуальны вопросы, связанные с потенциалом взаимодействия ион-атом при произвольной степени ионизации, энергии налетающих ионов и при различных комбинациях партнеров соударения.

Каналирование частиц сопровождается процессами деи реканалирования. Деканалирование — выход заряженной частицы из режима каналирования в результате тепловых флуктуаций атомных ядер и многократного рассеяния на электронах. В свою очередь, неканалированные частицы могут так же претерпевать случаи рассеяния и стать каналированными. Это явление называют реканалированием. С понятиями деканалирования и реканалирования связаны соответственно эффекты нагрева и охлаждения многозарядных ионов в каналах кристалла. В [11] представлено экспериментальное свидетельство перераспределения начального изотропного потока частиц после прохождения через тонкий кристалл. Наблюдалось увеличение и уменьшение потока частиц в осевых и плоскостных направлениях в зависимости от условий эксперимента. Для этих явлений были введены термины поперечное охлаждение и поперечный нагрев, отображающие тот факт, что увеличение потока вдоль осевого или плоскостного направлений вызывается уменьшением энергии поперечного движения иона (охлаждение) и поток уменьшается в результате увеличения энергии поперечного движения (нагрев).

В [12] приведены экспериментальные данные, связанные с эффектами нагрева и охлаждения. Проведены измерения для различных ионов в большом диапазоне ионных энергий. Использование различных кристаллов позволяет изучить зависимость эффектов от атомного номера атомов кристалла. Изменение ориентации кристалла позволяет рассмотреть зависимость эффекта от размеров канала и интенсивности потенциала каналирования. Измерения, проводимые с кристаллами различной толщины, показывают усиление эффекта с увеличением длины пути иона в кристалле. Качественное объяснение эффектов нагрева и охлаждения на основе зарядово-обменной модели дано в.

11]. В [13] - [16] эффекты нагрева и охлаждения исследуются в рамках единых модельных представлений, связанных с перезарядкой. В работе [17] разработана кинетическая теория прохождения многозарядных тяжелых ионов, учитывающая диффузию в пространстве поперечных импульсов и обмен зарядом между кристаллом и ионом. В дальнейшем был проведен численный анализ кинетических уравнений [18]. Согласие с экспериментальными данными достигается при предположении, что при высоких энергиях ионов вероятность захвата электрона каналированным ионом подавлена по отношению к вероятности потери. Несмотря на существование большого числа работ, посвященных описанию эффектов нагрева и охлаждения, в этой области все еще существуют нерешенные вопросы. Один из них связан с наблюдением только эффекта охлаждения в кристалле платины.

В недавних обзорах Р. Карригана [19], [20] отмечается недостаточная экспериментальная и теоретическая изученность деканалирования электронов и позитронов в области энергий порядка 1 ГэВ. Результаты эксперимента по прохождению и излучению электронов в настоящее время обсуждаются в ряде работ [21] (излучение электронов), [22], [23], [24] (длины деканалирования электронов) и др.

Широкое применение для управления пучками частиц находит каналирование заряженных частиц высоких энергий в изогнутых кристаллах. Этот эффект был обнаружен в 1978 г в компьютерном эксперименте по модели бинарных столкновений и подтвержден в физическом эксперименте в 1979 г. Основные особенности каналирования частиц в изогнутых кристаллах рассмотрены в [25]. Для надбарьерных частиц обнаружен захват изогнутыми плоскостными каналами заряженных частиц в канал — объемный захват и отклонение изогнутыми каналами быстрых частиц в сторону противоположную изгибу — объемное отражение.

Эффект объемного захвата протонов в режим каналирования был обнаружен в эксперименте по отклонению протонов с энергией 1 ГэВ изогнутым кристаллом кремния [26]. В обзоре [25] было отмечено, что механизмом объемного захвата частиц в равномерно изогнутом кристалле является многократное рассеяние, которое может вызвать переходы частиц не только из каналированной фракции в неканалированную, но и обратно. В обзоре [20] было отмечено, что эффектом объемного захвата можно пренебречь при энергиях протонов Е «1 ГэВ. Сравнительно недавно были представлены результаты экспериментов по отклонению пучка протонов с энергиями 1 и 400 ГэВ тонкими кристаллами кремния [27], [28]. Из результатов этих экспериментов следует, что в угловом распределении протонов с энергией 400 ГэВ имеется пик, который формируется из протонов, не захваченных в режим каналирования, а в угловом распределении протонов с энергией 1 ГэВ такого пика нет. Одно из возможных объяснений этого следует из результатов работы.

29], а именно: протоны, не захваченные в режим каналирования, могут быть захвачены в режим объемного отражения от наклонных кристаллографических плоскостей.

Количественный анализ процесса взаимодействия быстрых заряженных частиц с кристаллом может быть произведен с помощью компьютерного моделирования. Способ, заключающийся в прямом численном моделировании процесса рассеяния — модель бинарных столкновений. Здесь процесс рассеяния представляется как последовательность отдельных столкновений частиц с атомами кристаллической решетки, смещенными из узлов. При рассмотрении больших толщин кристалла модель бинарных столкновений приводит к большим затратам машинного времени. Другой способ — кинетическое описание эффекта каналирования. Решение кинетических уравнений по всей длине кристалла представляет сложную задачу, но, рассматривая стопу тонких кристаллов, решение удается найти.

Отправной точкой данной работы служит математическая модель, основанная на стохастическом подходе к теории плоскостного каналирования.

30], [31]. Полагается, что:

1. в процессе движения быстрых заряженных частиц рассматриваются только поперечные силы, продольные же отсутствуют, то есть = 0 (малоугловое приближение). Это условие обеспечивает движение частицы с постоянной скоростью на небольших отрезках траектории в направлении оси 02 2. сила может быть представлена в виде суммы своего среднего значения и некоторой флуктуирующей добавки ¥-х — Ьх + 5/х. Флуктуация силы дельта-коррелированалтттатттта ¦" гуптлттпттттгг тттлтт^аттттгт 1 гл^тсат Лт ¦' ¦ <�¦ тт"да ттлтпп ттаттгч п ттттл лч г* *¦•" кт т.

— I. М^Ш^ГШ^ V МОВПЦ/тШ двпт^шы мил¹ ивни 11М^Ди1аОЛ1/Пи ?> впдС 1мшЫ среднего значения координаты (определяет регулярную траекторию) и флуктуации. Рассматриваются величины первого порядка малости. В 'этом случае нелинейное стохастическое уравнение движение заряженных частиц распадается на два, одно из которых описывает движение вдоль регулярной траектории тх = -их (х), а другое — эволюцию флуктуаций координаты тдх + и^ = 8/х (Зс).

Здесь 11х=ди/дх, и (х) — непрерывный потенциал плоскостного канала. С помощью последнего уравнения составлена система уравнений для средних квадратов флуктуаций динамических величин.

8х =—8×8 рх, Ж т г.

Ш т.

— 8р2х=0(х)-2ихх{х)8×8рх? где I) (Г) — коэффициент диффузии, ответственный за многократное рассеяние на ядрах и электронах.

Уравнение, описывающее движение вдоль регулярной траектории в паре с системой уравнений для средних квадратов флуктуаций динамических величин решают задачу описания процесса многократного рассеяния каналированных частиц в плоскостных каналах кристалла в пространстве поперечных координат и скоростей. Полученные уравнения справедливы на небольших отрезках траекторий каналированных частиц, длина которых ограничена неравенством дх2{^)<�х2{{). При движении заряженной частицы в тонком кристалле влиянием потерь энергии на движение можно пренебречь.

На основе описанной математической модели создана компьютерная программа, позволяющая вести расчёт для положительно и отрицательно заряженных частиц (протоны, ионы, тяжёлые отрицательно заряженные частицы) в одном из трех плоскостных направлений (100), (110) и (111) прямых и изогнутых кристаллов кремния, германия и алмаза. С помощью компьютерной программы можно получить следующие результаты: траектории, фазовые траектории, угловые и пространственные распределения для любого сечения кристалла, спектры потерь энергии на электронах, вероятности деканалирования (выходы частиц) и ориентационные зависимости.

Цель работы — математическое и компьютерное моделирование стохастической динамики процессов деканалирования и реканалирования многозарядных ионов и релятивистских частиц в плоскостных каналах кристаллах.

Задачи работы:

1. Разработать математическую модель, описывающую движение быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла с учетом многократного рассеяния на ядрах и электронах кристалла.

2. Разработать математическую модель потенциальной энергии взаимодействия нейтрального атома и многозарядного иона с атомом кристалла. Произвести учет принципа Паули в этих выражениях.

3. С помощью компьютерного моделирования исследовать влияние учета принципа Паули в математической модели потенциальной энергии взаимодействия налетающего многозарядного иона с атомом кристалла на его движение в условиях плоскостного каналирования.

4. Разработать математическую модель, описывающую эволюцию средних квадратов операторов поперечной координаты и импульса и среднего квадрата оператора энергии поперечного движения относительно классической траектории движения быстрой заряженной частицы, исходя из уравнений движения в форме Гейзенберга.

5. С помощью компьютерного моделирования исследовать влияние квантовых поправок к классическим траекториям движения электронов, позитронов и протонов на движение в условиях плоскостного каналирования и в надбарьерной области прямого и изогнутого кристалла.

Методы исследования: математическое и компьютерное моделирование. В работе использованы программные комплексы PST (the Phase Space of Transversal coordinates and velocities) и TROPICS («Trajectory Of Particle In a Crystal» Simulator), в основе которых лежат методы моделирования в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей в плоскостных и осевых каналах кристалла [30], [31].

Обоснованность и достоверность полученных результатов. В основе математического и компьютерного моделирования движения заряженных частиц лежат уравнения Фоккера-Планка, Ньютона и Гейзенберга. Потенциальная энергия взаимодействия многозарядного иона с непрерывным потенциалом плоскостного канала кристалла выбиралась в виде разложения в тригонометрический ряд Фурье с учетом структурного фактора и фактора Дебая-Валлера. Фурье-компонента потенциальной энергии взаимодействия налетающего многозарядного иона (атома) с атомом кристалла выражалась через атомные форм-факторы. Компоненты диффузионной матрицы вычислялись в рамках общепринятой теории. Решение уравнения Фоккера-Планка искалось с помощью метода малого шума, уравнений Ньютона и Гейзенберга — с помощью малоуглового приближения. О достоверности полученных результатов свидетельствует качественное согласие полученных данных с экспериментальными.

Научная новизна результатов 1. Впервые в математической модели потенциальной энергии т" nn ц! M il li m 141 mi ттпттагрп? пт1таг>/ i гтт/г*лг>п"гтттттлтчл т т n 11 11 / л>гп"гл /¦" nivitmtr rmiTrvpn ттттл шагшиДСги/хиил пси^юшщи О ivlnui шарлдпш и пипа^aivjiviaj v aluiuum KuhCiaJula предложен метод учета принципа Паули через атомный форм-фактор.

2. Впервые проведен системный анализ влияния учета принципа Паули в математической модели потенциальной энергии взаимодействия налетающего многозарядного иона (атома) с атомом кристалла на стохастическую динамику эффекта плоскостного каналирования.

3. Впервые, исходя из линеаризованного уравнения Гейзенберга, разработан метод описания квантовых поправок к классическим траекториям движения в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей и пространстве энергий поперечного движения.

4. Впервые проведен систсмныи анализ влияния учета квантовых флуктуаций поперечной координаты и импульса к классическим траекториям электронов, позитронов и протонов на стохастическую динамику эффекта плоскостного каналирования.

Положения, вынесенные на защиту:

1. математическая модель потенциальной энергии взаимодействия налетающего многозарядного иона (атома) с атомом кристалла с учетом принципа Паули. Фурье-компонента плотности распределения атомных электронов выражена через атомный форм-фактор.

2. Результаты компьютерного моделирования движения ионов серебра в (110) плоскостном канале кристалла кремния: учет принципа Паули в математической модели потенциальной энергии взаимодействия при низких зарядовых состояниях иона серебра ведет к увеличению скорости деканалирования.

3. Математическая модель, описывающая эволюцию среднего квадрата квантовых флуктуаций энергии поперечного движения каналированной частицы относительно классической траектории, разработанная исходя из линеаризованного уравнения Гейзенберга.

4. Результаты компьютерного моделирования движения электронов, позитронов и протонов в (110) плоскостном канале кристалла кремния, которые демонстрируют влияние квантовых флуктуаций на эффект каналирования в области энергий порядка 1 гигаэлектронвольта.

Научная и практическая значимость работы:

1. Разработана математическая модель потенциальной энергии взаимодействия быстрой налетающей частицы с атомом кристалла с учетом принципа Паули, которая позволяет качественно описать реальную систему за счет наличия не только области притяжения, но и появления области отталкивания на расстоянии больше равновесного.

2. Разработана математическая модель, описывающая эволюцию среднего квадрата квантовых флуктуаций поперечной координаты и импульса и квантовых флуктуаций энергии поперечного движения, относительно классической траектории быстрой заряженной частицы. Модель позволяет описать движение легких частиц в области средних и высоких энергий, где справедливы классические уравнения движения, но все же требуется учет квантовых поправок.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры экспериментальной физики Сургутского государственного университета и на следующих научных конференциях:

XXXVI — ХЫ Международных конференциях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, 2006;2011 г.);

XVIII — XX Международных конференциях «Взаимодействие ионов с поверхностью» (г. Звенигород, 2007, 2009, 2011 г.);

58 Международном совещании по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра «Ядро-2008» (г. Москва, 2008 г.);

VII — X окружных конференциях молодых учёных «Наука и инновации XXI века» (г. Сургут, 2006;2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6 печатных работах, из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ, 1 монография, тезисы 3 докладов в трудах международной конференции.

Личный вклад автора. Совместно с научным руководителем доктором физико-математических наук, профессором В. П. Кощеевым поставлены задачи работы, обсуждены и опубликованы основные результаты исследований. Личный вклад автора состоит в проведении всех расчетов, компьютерного моделирования, сравнении полученных данных с данными экспериментов и анализе результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа содержит 119 страниц, 32 рисунка, 1 таблицу, и список литературы из 71 наименования.

Заключение

.

1. В рамках ланжевеновского подхода разработаны математические модели эффекта осевого каналирования в пространстве поперечных координат и скоростей и в пространстве энергий поперечного движения. Показано, что компоненты диффузионной матрицы вдоль и поперек плоскости перпендикулярной направлению движения равны между собой, а смешанные компоненты равны нулю. Ядерный коэффициент диффузии с логарифмической точностью совпадает с тем, что был предложен Китагавой и Оцуки, а электронный — с тем, что был предложен Линдхардом. Составлено уравнение Фоккера-Планка в пространстве энергий поперечного движения и определено его решение в тонком кристалле.

2. Разработан способ учета принципа Паули в математической модели потенциальной энергии взаимодействия налетающей частицы (многозарядного иона, атома) с атомом кристалла. Учет принципа Паули в выражении для потенциальной энергии взаимодействия атомов приводит к появлению области отталкивания на расстоянии больше равновесного.

3. Учет принципа Паули в математической модели потенциальной энергии взаимодействия иона серебра с атомом кремния при низких зарядовых состояниях ведет к увеличению скорости деканалирования в сравнении с моделью, не учитывающей принцип Паули. При этих зарядовых состояниях потенциальная энергия взаимодействия ион-атом на расстоянии больше равновесного имеет область отталкивания.

4. С помощью линеаризованных уравнений Гейзенберга разработаны математические модели, описывающие движение быстрых заряженных частиц с учетом квантовых поправок к классическим траекториям движения, в пространстве поперечных координат и скоростей и пространстве энергий поперечного движения.

5. В квазиклассическом случае локализация траектории движения электронов, позитронов и протонов ведет к увеличению скорости деканалирования в сравнении с классическим случаем, учитывающим многократное рассеяние на ядрах и электронах атомов кристалла.

6. Учет квантовых поправок к классическим уравнениям движения позитронов и протонов в случае больших углов разориентации ведет к реканалированию как в прямом, так и в изогнутом кристалле.