Взаимовлияние волновых и колебательных процессов в предварительно напряженных элементах и системах

1.1 Объект исследований.

Объектом исследований являются волновые взаимодействия в элементах и системах, распространение и взаимовлияние поперечных, продольных и сдвиговых волн и вызванных ими колебаний, обусловленных учетом нелинейных членов в тензоре деформаций на примере колебаний струн, канатов, мембран, тонких стержней и тонкостенных труб с учетом динамических воздействий на них. Исследованы условия возникновения резонансов различных типов между модами отдельных колебаний, изучена возможность граничного управления поперечно-продольными колебаниями струн.

Также рассмотрены процессы распространения поперечных и продольных волн и колебаний в натянутых струнах при ударе по ним.

1.2 Актуальность темы.

До последнего времени при рассмотрении колебаний (и динамических нагружений при этом) струн, канатов, мембран и других элементов гибких связей исходили из того, что эти колебания можно считать поперечными. В последние годы благодаря работам Ю. А. Демьянова было установлено, что вклад продольных колебаний в динамическое деформирование и нагружение гибких связей одного порядка со вкладом поперечных колебаний, хотя амплитуды поперечных колебаний на порядок больше продольных. В результате исследований было показано, что имеют место вынужденные продольные колебания, которые происходят на частотах поперечных колебаний. С участием автора было показано, что при определенных обстоятельствах возможны резонансные явления между продольными и поперечными колебаниями. Кроме того было установлено, что в период каких-либо динамических воздействий на гибкие связи возникает дополнительный спектр поперечнопродольных колебаний, который оказывает существенное влияние на процесс колебаний и на процесс динамического нагружения в последующий период после окончания воздействия. Результаты работы применялись к определению нагружения и колебаний элементов музыкальных инструментов. Для строительных конструкций установленные результаты позволяют определить новые расчетные случаи нагружения (например, опор подвесных мостов и линий электропередач, башен, крыш стадионов и других конструкций, соединенных гибкими связями, испытывающими какие-либо динамические воздействия).

1.3 Цель работы.

Целью работы является исследование обнаруженных вынужденных продольных колебаний в деформируемом твердом теле, которые возникают из-за наличия поперечных, сдвиговых, крутильных колебаний (в зависимости от геометрии твердого тела и характера нагружения). Изучение резонансных явлений, возникающих при совпадении частот отдельных мод колебаний различных типов, а также возможного разрушения твердого тела из-за резонансного увеличения амплитуды колебаний. Исследование новых типов волновых слабонелинейных взаимодействий, ранее не учитываемых при динамических расчетах гибких связей, инженерных конструкций и их элементов. Целью также является изучение распространения с учетом взаимного влияния продольно-поперечных и сдвиговых волн и колебаний на примере колебаний струн, канатов, мембран, балок.

1.4 Идея, положенная в основу работы.

Идея, положенная в основу диссертации, состоит в том, чтобы на основе корректно проведенного асимптотического анализа нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений распространения волн и колебаний в элементах и системах (струнах, канатах, тонких стержнях, мембранах, тонкостенных трубах) исследовать основные закономерности распространения продольно-поперечных и сдвиговых волн и колебаний в предварительно напряженных деформируемых твердых телах при учете нелинейных членов в разложении тензора деформации.

1.5 Задачи исследования.

• Решение задачи поперечно-продольных колебаний растянутых струн. Определение условий резонанса между отдельными модами собственных продольных колебаний и вынужденных продольных колебаний на поперечных частотах. Волновая интерпретация вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных.

• Постановка и решение задачи распространения продольных, поперечных и крутильных волн и колебаний в витых канатах, струнах с навивкой и тонкостенных трубах.

• Решение задачи о влиянии жесткости на распространение волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах.

• Экспериментальные исследования вынужденных продольных колебаний гибких деформируемых предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний.

• Постановка и решение задач граничного управления продольно-поперечными и крутильными волнами и колебаниями в струнах и тонкостенных трубах. Взаимовлияние продольных и поперечных составляющих движения.

• Постановка и решение динамической задачи о возбуждении и свободных колебаниях струн щипковых инструментов с учетом произвольной формы медиатора и сдвига частот из-за податливости Пространственные волновые и колебательные процессы в струнах.

• Решение динамической задачи о возбуждении и свободных колебаниях струн клавишных инструментов.

• Постановка и исследование задачи распространения продольно-поперечные волны и колебания в тяжелых и предварительно деформированных струнах.

• Решение задачи удара твердым затупленным телом по гибкой деформируемой струне при наличии деформации сжатия.

• Постановка и решение задачи о размотке тросовой системы на околоземной орбите.

1.6 Научная новизна работы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— Получение асимптотических слабо нелинейных уравнений поперечных, продольных, изгибных и крутильных колебаний струн, мембран, стержней, труб. Решение задач распространения поперечно-продольных волн и колебаний с учетом их взаимодействия в новой постановке.

— Теоретические исследования и экспериментальные данные о том, что в предварительно напряженных телах различной геометрии существуют вынужденные продольные колебания на частотах поперечных, крутильных колебаний являются новыми.

— Впервые определено экспериментально, что вклад продольных составляющих в динамическое нагружение растянутых струн оказывается одного порядка с вкладом поперечных и крутильных колебаний.

— Теоретические и экспериментальные исследования резонансных явлений между поперечными и продольными колебаниями.

— Поставлены и решены задачи граничного управления поперечно-продольными колебаниями струн в рамках линеаризованной системы уравнений.

— Поставлены и решены задачи динамического воздействия на музыкальные струны. Определены спектры поперечных и продольных колебаний в данной постановке. Даны постановка и решение задачи, описывающей волновые и колебательные процессы в струнах щипковых музыкальных инструментов в период воздействия исполнителя за счет построения модели взаимодействия медиатора со струной как динамического взаимодействия «струна — движущееся тело». Учтен пространственный характер этого взаимодействия и определена пространственная волновая картина, возникающая при этом. Рассмотрено влияние поперечно-продольных волновых процессов на характер движения медиатора и, следовательно, манеру игры исполнителя.

Исследования в области распространения и взаимодействия продольных, поперечных, сдвиговых волн и колебаний в твердом теле с учетом нелинейности тензора деформаций, представленные в работе, являются новыми.

1.7 Достоверность результатов.

Достоверность результатов работы определяется применением общих законов механики и физики, корректных постановок и строгих математических методов решения поставленных задач.

Составленная программа численного счета тестировались путем сравнения с имеющимися аналитическими решениями, и это сравнение показало очень хорошее согласование численных и аналитических результатов. Численный метод при решении задач динамического воздействия медиатора и молоточка фортепиано на струну можно назвать полу аналитическим, так как искомые величины определялись в виде сходящихся рядов точных аналитических решений.

Проверкой достоверности теоретических выводов являются результаты проведенных экспериментов по измерению спектров звучания электрогитары с помощью современной компьютерной программы цифровой обработки акустических спектров музыкальных инструментов. Сравнение амплитудно-частотных характеристик акустических спектров с результатами теоретических расчетов подтвердило правильность последних.

1.8 Теоретическая и практическая ценность работы.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что результаты работы являются точными аналитическими решениями и носят достаточно общий характер. Они могут быть использованы в изготовлении музыкальных инструментов. Эти результаты были использованы для расчетов при производстве музыкальных струн с навивкой. Применительно к строительным конструкциям установленные результаты позволяют определить новые расчетные случаи нагружения конструкций, соединенных гибкими и негибкими связями, испытывающими какие-либо динамические воздействия.

1.9 Основные положения, выносимые на защиту.

Решение задачи поперечно-продольных колебаний растянутых струн. Обнаружено, что хотя продольные смещения на порядок меньше поперечных, их вклад в динамическое нагружение струны одного порядка с поперечными составляющими. Поэтому решенная задача с учетом продольных динамических составляющих натяжения в струне более полно описывает механизм передачи воздействий на присоединенные к ней элементы. Обнаружено, что наряду с собственными продольными колебаниями существуют вынужденные продольные колебания на поперечных частотах. При совпадении частот отдельных мод поперечных и продольных колебания возможны резонансные явления.

Получены дифференциальные уравнения и решены задачи распространения продольных, поперечных и крутильных волн и колебаний с учетом их взаимного влияния в витых канатах, струнах с навивкой, тонкостенных трубах и мембранах, а также тяжелых и предварительно деформированных канатах с использованием нелинейного тензора деформаций. Полученные уравнения для продольных составляющих являются неоднородными, что обусловлено влиянием поперечных и крутильных воздействий. Показано, что вклад продольных и поперечных и крутильных составляющих в динамическое нагружение этих элементов одного порядка, при этом возможны резонансные явления между модами продольных, крутильных и поперечных колебаний.

Решение задачи о распространении волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах с учетом жесткости. Показано, что в негибких средах возникают вынужденные продольные колебания на поперечных частотах при этом также как и в гибких средах возможно увеличение амплитуды колебаний при совпадении собственных и вынужденных частот. Наличие малой жесткости, характерной для музыкальных струн, приводит к незначительному изменению частот всего спектра поперечно-продольных колебаний, образованию групп гармоник близких по частотам, а также к существенному изменению формы струны в местах соударения, креплений и на фронте поперечной волны.

Проведены экспериментальные исследования вынужденных продольных колебаний предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний. Экспериментально подтверждено наличие вынужденных продольных колебаний на поперечных частотах и увеличение амплитуды при совпадении собственных и вынужденных частот продольных колебаний растянутых струн. Вынужденные продольные возмущения наряду с поперечными являются источником колебаний присоединенных к струне элементов и конструкций.

Постановка и решение задач граничного управления продольно-поперечными и крутильными волнами и колебаниями в струнах и тонкостенных трубах. Показано, что с помощью граничного режима можно управлять поперечно-продольным движением струн, переводя их из одного состояния с заданными профилями координат и скоростей в другое за определенное конечное время. При этом определены условия управления продольными колебаниями с помощью поперечных или крутильных граничных режимов и наоборот.

Постановка и решение динамической задачи о возбуждении и свободных поперечно-продольных колебаниях струн щипковых и клавишных инструментов под влиянием произвольной формы медиатора, молоточка и сдвига частот из-за податливости заделки. Проведенное в диссертации рассмотрение процесса воздействия на струну как процесса взаимодействия струны в течение определенного конечного времени с телом, движущимся по некоторому закону, привело к новым задачам определения компонентов смещения, деформаций и скоростей частиц струны и, как следствие, спектров колебаний струны музыкального инструмента. Определение спектров колебаний при учете а) решения задачи для периода воздействия, б) впервые выполненного теоретического определения собственных и вынужденных продольных колебаний.

Пространственные волновые и колебательные процессы в струнах. Установлена связь между волновыми и колебательными процессами в струнах и манерой игры исполнителя. Рассмотрено влияние поперечно-продольных волновых процессов на характер движения медиатора и, следовательно, процесс звукоизвлечения.

Постановка и решение задачи удара твердым затупленным телом по гибкой деформируемой струне при наличии деформации сжатия. Найдены условия возникновения таких режимов. Проанализированы волновые процессы, возникающие при воздействии струны на клин с различными углами раствора (или на полуплоскость), в случаях, когда скорость точки схода струны с клина больше (сверхзвуковой случай) или меньше (дозвуковой) скорости распространения продольной волны в ней. Впервые обнаружено, что и для дозвукового случая существуют режимы (даже при абсолютно неупругих взаимодействиях), когда в струне возникают области отрицательных деформаций. Установлено, что такие режимы являются динамически неустойчивыми и приводят к возникновению не описанных ранее в литературе нестационарных процессов деформирования струн.

1.10 Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 31 работе, список которых представлен в конце диссертации, из них 16 — в реферируемых изданиях, 13 — ведущих изданиях, входящих в перечень ВАК. В них опубликованы основные результаты диссертации. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором.

1.11 Апробация диссертационной работы.

Основные материалы и результаты исследований докладывались и получили положительную оценку: на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. 2006 г. на международной конференции «Современные проблемы газовой и волновой динамики», посвященной памяти академика Х. А. Рахматулина в связи со 100-летием со дня его рождения. Москва. 2009 г. на Международной конференции, посвященной памяти академика Х. А. Рахматулина в связи со 100-летием со дня его рождения. Бишкек. 2009 г. на X — XV школах-семинарах «Современные проблемы аэрогидродинамики», (2002 — 2007) (председатель акад. Г. Г. Черный, тезисы опубликованы в Изд. МГУ) на Ломоносовских чтениях в Московском Государственном Университете с 2005 по 2010 год на научных семинарах кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ (руководитель семинара акад. Е.И.Шемякин) на научных семинарах Акустического института им. H.H. Андреева на научном семинаре кафедры композитов механико-математического факультета МГУ под руководством проф. Победри Б. Е. на научном семинаре в Институте механики МГУ (руководители чл.корр. РАН А. Г. Куликовский, проф. A.A. Бармин и В.П. Карликов) на научном семинаре Института проблем механики РАН руководители акад. Д. М. Климов и А.Ю. Ишлинский) на научном семинаре в отделе математической физики МИАН им. В.А.

Стеклова (руководитель акад. В.В. Владимиров) на научных конференциях МГУл.

12 Личное участие автора.

Основные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно. Из совместных публикаций в работе использованы результаты, полученные непосредственно автором.

1.13 Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения, списка используемых литературных источников к каждой главе, содержит 215 страниц, включая рисунки и таблицы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ.

Как показал анализ, проведенный. в книге (Рахматулин Х.А., Демьянов IG.A. Прочность, при интенсивных* кратковременных, нагрузках. Изд. 2-е, дополненное, М: Логос, 2009), опубликованной к столетию со дня рождения Х. А. Рахматулина, предложенная^ им впервые вг мире идея использовать в задачах динамики гибких деформируемых, струн нелинейный тензор деформации позволила исследовать взаимодействие продольно-поперечных волн, установить взаимосвязь продольных колебаний с поперечными. Полученная Ю. А. Демьяновым линеаризованная система уравнений для задачи распространения поперечных и продольных волн и колебаний в предварительно напряженных струнах впервые позволила решать задачи малых колебаний с учетом взаимовлияния поперечных и продольных составляющих. Проведенный асимптотический анализ нелинейных уравнений показал для малых колебаний, что хотя продольные смещения на порядок меньше поперечных, их вклад в динамическое нагружение струны одного порядка с поперечными составляющими. Было обнаружено, что наряду с собственными продольными колебаниями существуют вынужденные продольные колебания на поперечных частотах.

Эти исследования были продолжены и применены к задачам распространения поперечных, крутильных, продольных волн и колебаний в предварительно напряженных средах и элементах других геометрий (мембраны, стержни, тонкостенные трубы, витые струны и канаты). Результаты этих исследований приведены в диссертации.

1) В диссертации представлено решение задачи поперечно-продольных колебаний растянутых струн. Определены спектры поперечных и продольных колебаний для периода возбуждения струны и для последующих свободных колебаний. Обнаружено, что при совпадении частот отдельных мод поперечных и продольных колебаний возможны резонансные явления. Определены механические параметры, когда наблюдаются резонансные явления, то есть усиление амплитуды продольных колебаний и как следствие усиление воздействия со стороны струны на присоединенные элементы и конструкции. Сделан вывод о том, решенная задача с учетом продольных динамических составляющих натяжения в струне более полно описывает механизм передачи воздействий на присоединенные к ней элементы. Продольные составляющие деформаций и скоростей терпят разрыв на фронте поперечной волны. Показано, что продольные волны распространяются, не отражаясь от поперечной волны, оставляя на ней величину разрыва продольных составляющих скоростей и деформаций неизменнойпоэтому поперечная волна является фронтом разрыва продольных скоростей и деформаций и источником вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных. Получены нелинейные дифференциальные уравнения крутильных и продольных движений с учетом их взаимовлияния для тонкостенных труб. Найдены общие решения уравнений для случая кручения бесконечной трубы при воздействии с постоянной угловой скоростью. Продольные составляющие скоростей и деформаций испытывают разрыв на крутильных волнах. Получены линеаризованные уравнения крутильных и продольных колебаний. Показано, что вклады крутильных и продольных составляющих в динамическое нагружение оказываются одного порядка. Возникновение крутильных движений приводит к появлению продольных. Колебания в продольном направлении происходят как на собственных частотах, так и на частотах крутильных колебаний. Поставлены и решены задачи распространения продольных, и крутильных волн и колебаний в тонкостенных трубах. Показано, что учет продольных составляющих более полно описывает процесс динамического нагружения трубы и присоединенных элементов.

4) Получены дифференциальные уравнения и решены задачи распространения продольных, поперечных и крутильных волн и колебаний* с, учетом их взаимного влияния в витых канатах и струнах с навивкой. Полученные уравнения для продольных составляющих являются неоднородными, что обусловлено влиянием поперечных И-крутильных воздействий. В процессе деформирования эти элементы находятся в сложном поперечно-продольно-крутильном движении. Показано, что вклад продольных и поперечных и крутильных составляющих в динамическое нагружение этих элементов одного порядка, при этом возможны резонансные явления между модами продольных, крутильных и поперечных колебаний. Крутильные колебания воздействуют на подставку и приводят к её вращательному движению. Продольные колебания (наряду с поперечными) раскачивают деку (являющуюся основным генератором звука струнных музыкальных инструментов). (Результаты исследований применялись при разработке навивки струн музыкальных инструментов).

5) Получены линеаризованные уравнения распространения поперечных, продольных волн и волн сдвига в мембранах, тонких пластинах и тяжелых струнах.

6) Проведен анализ влияния жесткости на распространение волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах. В работе представлены решения задач о распространении волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах с учетом жесткости. Показано, что в негибких средах возникают вынужденные продольные колебания на поперечных частотах при этом так же, как и в гибких средах, возможно увеличение амплитуды колебаний при совпадении собственных и вынужденных частот. Наличие малой жесткости, характерной для музыкальных струн, приводит к незначительному изменению частот всего спектра поперечно-продольных колебаний, образованию групп гармоник близких по частотам, а также к существенному изменению формы струны в местах соударения^ креплений и на фронте поперечной волны.

Проведены экспериментальные исследования вынужденных продольных колебаний гибких деформируемых предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний. Эксперименты проводились путем измерения звука от присоединенных к струнам элементов. Экспериментально подтверждено, что вклад продольных составляющих в динамическое нагружение растянутых струн оказывается одного порядка с вкладом поперечных и крутильных колебаний. Экспериментально подтверждено наличие вынужденных продольных колебаний на поперечных частотах и увеличение амплитуды при совпадении собственных’и вынужденных частот продольных колебаний растянутых струн. Вынужденные продольные возмущения наряду с поперечными являются источником колебаний присоединенных к струне элементов и конструкций. В рамках линеаризованной системы распространения поперечно-продольных волн и колебаний в растянутых струнах постановлены и решены задачи граничного управления продольно-поперечными колебаниями в струнах. Показано, что, управляя поперечным смещением на границе, можно управлять продольным движением струн, переводя их из одного состояния с заданными профилями координат и скоростей в другое за определенное конечное время. Также указана возможность управления поперечными колебаниями с помощью управления продольным смещением на границе. При этом определены условия возможности такого управления. Также найдены условия для неограниченного возрастания амплитуды в рамках линеаризованного подхода для случаев поперечного и продольного управлений.

9) В результате экспериментов было определено характерное время воздействия медиатора на струну музыкального инструмента. Было установлено, что в период динамических воздействий на гибкие связи" возникает дополнительный спектр поперечнопродольных колебаний, который оказывает влияние на процесс колебаний и на процесс динамического нагружения в период после окончания воздействия. В работе поставлена и решена динамическая задача о возбуждении и свободных поперечно-продольных колебаниях струн щипковых и клавишных инструментов под влиянием медиатора, молоточка. Определен сдвиг частот из-за податливости заделки. Проведенное в диссертации рассмотрение процесса воздействия на струну как процесса взаимодействия струны в течение определенного конечного времени с телом, движущимся по некоторому закону, привело к новым задачам определения компонентов смещения, деформаций и скоростей частиц струны и, как следствие, спектров колебаний струны музыкального инструмента. В диссертации определены спектры колебаний при учете а) решения задачи для периода воздействия, б) впервые выполненного теоретического определения собственных и вынужденных продольных колебаний. Воздействие медиатора в общем случае приводит к пространственным волновым и колебательным процессам в струнах. В работе установлена связь между волновыми и колебательными процессами в струнах и манерой игры исполнителя. Рассмотрено влияние поперечно-продольных волновых процессов на характер движения медиатора или молоточка фортепиано и, следовательно, процесс звукоизвлечения. Теоретические расчеты привели к удовлетворительному совпадению с экспериментальными результатами.

10) Решение задачи удара клином по нити, когда скорость продольной волны меньше скорости точки схода струны с поверхности клина, и приводящее к образованию области сжатия, было получено.

Х.А. Рахматулиным. Анализ распространения волн в струне при ударе по ней клином показал, что при некоторых других параметрах в струне возникают области сжатия. В диссертации поставлена и решена задача удара клином по гибкой деформируемой струне, найдены условия возникновения областей сжатия. Проанализированы волновые процессы, возникающие при воздействии струны на клин с различными углами раствора при абсолютно неупругом взаимодействии клина со струной. Рассмотрены два случая, когда скорость точки схода струны с клина больше или меньше скорости распространения продольной волны в ней. Впервые обнаружено, что и для дозвукового случая существуют режимы (даже при абсолютно неупругих взаимодействиях), когда в струне возникают области отрицательных деформаций. Установлено, что такие режимы являются динамически неустойчивыми и приводят к реализации волновых схем с отскоком от поверхности клина.

11) В качестве технического приложения поставлена и решена задача о влиянии процесса распространения поперечных и продольных колебаний на размотку тросовой системы на околоземной орбите. Показано, что учет динамического влияния распространения продольных волн при расчете фазы торможения аппарата на упругом тросе необходим. Это приводит к более корректному описанию траектории движения аппарата.