Решение задач дифракции методом разложения по неортогональным функциям и обратные задачи распространения волн

Среди геофизических методов по объему выполняемых работ, их научно-техническому уровню ведущими являются сейсмические методы исследования. Развитие в последние десятилетия сейсмических методов исследования земных недр с целью поиска полезных ископаемых и эксперименты по определению более детального внутреннего строения Земли привели к пересмотру взглядов на используемой сейсмикой теоретический, методологический и технический арсеналы. В теоретической области в настоящее время наиболее актуальным становится решение обратных задач. Все больше в сейсмике происходит уклон в сторону перехода от кинематических обратных задач к динамическим обратным задачам. Вследствие этого происходит интенсивное развитие численных методов решения прямых и обратных динамических задач сейсмики (Алексеев A.C. Михайлен-ко Б.Г. [68], Добринский В. И. [б]), а также исследование вопросов единственности определения физических характеристик сред (Лаврентьев М.М. [59], Алексеев A.C. [3], Романов В. Г. [74], [75], [60]).

Наряду с рассмотрением постановки задач для уравнения упругости Ламе интенсивно развиваются исследования постановок задач для модельных с точки зрения сейсмики и представляющих большой интерес для акустики уравнений — волнового и Гельмгольца. Здесь следует отметить работы Алексеева A.C. [8], [7], Бухгейма А. Л. [23], Запреева A.C. [50J, Лаврентьева М. М. [59], Романова В. Г. [60], McmJmtl [89], [90], C? aj/twt/?., stoU Я. [ssj, UrfiJ^ri J. t Я^Лу^-z Jf[9l], [92], [ЭЗ] и РкМШ/i. [98], [99]. Важность изучения задач для модельных уравнений следует из сложившегося математического аппарата, используемого при интерпретации сейсмических данных. Здесь, начиная от сравнительно хорошо разработэнного кинематического подхода к решению практических задач сейсмики [37], произошел переход к использованию интерференционных систем РНП, ОГТ и других [36], где опосредовано используется динамика волн. Следующим шагом в направлении привлечения динамических характеристик волн стало использование формализма волнового уравнения при решении задач продолжения волнового поля: Петра-шень Г. И., Нахамкин С. А. [72] и методика Д-преобразования Тимошина Ю. В. [вз]. Использование аппарата волнового уравнения плодотворно сказывается на решение практических задач, возникающих в сейсморазведке. Поэтому рассмотрение задач для модельных, с точки зрения сейсмики, уравнений имеет важное как теоретическое, так и практическое значение для сейсмических методов исследования.

В диссертации рассматриваются задачи для волнового уравнения, уравнения акустики и уравнения Гельмгольца. Исследование ведется в двух аспектах. Первый — это создание численных алгоритмов решения прямых и обратных задач дифракции для уравнения Гельмгольца. Сюда также следует отнести направление по фокусированию акустических и упругих волн. Ко второму аспекту относится исследование вопросов единственности решения обратных задач по определению физических характеристик среды в двухпозиционной постановке для уравнений акустики и волнового.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Аверко Е. М., Балеста С. Т., Григорян Г. Б., Максимов A.A. Физическое моделирование распространения упругих волн в зоне магматических очагов вулканов. — Геология и геофизика, 1980, № 11, с. 1.6−127.

2. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики. В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. — М., 1967, с. 9−84.

3. Алексеев A.C., Бабич В. М., Гельгинский Б. Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. — Л., 1961, вып. У, с. 3−49.

4. Алексеев A.C., Виноградов С. П., Цибульчик Г. М., Чеверда В. А. Об определении трехмерных излучающих и отражающих объектов по волновому полю, известному на плоской аппертуре. ДАН СССР, 1981, т. 257, № 5, с. 1086−1088.

5. Алексеев A.C., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики. В сб.: Математические проблемы геофизики. — Новосибирск, 1975, вып. 6, ч. 2, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 7−53.

6. Алексеев А. С., 1ерняк Г. Ф., Меерсон А. Е., Хайдуков В. Г., Цибульчик Г. М. Сейсмическая голография и фотографирование методы и результаты работ. — В кн.: Проблемы вибрационного просвечивания Земли. — М. — Наука, 1977, с. 32−53.

7. Алексеев A.C., Кремлев А. Н., Жерняк Г. Ф. Об обратной задачи дифракции акустических волн и методе визуализации и волновой миграции. Геология и геофизика, 1981, № I, с. III-II8.

8. Алексеев A.C., Цибульчик Г. М. 0 связи обратных задач теории распространения волн с задачами визуализации волновых полей. ДАН СССР, 1978, т. 242, № 5, с. 1030−1033.

9. Алексеев A.C., Чеверда В. А. Об асимптотическом методе решения обратной динамической задачи теории распространения волн в однородно слоистой среде. Новосибирск, 1981, из-во ВЦ СО АН СССР, препринт № 311, 32с.

10. Алексидзе М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978, 352с.

11. Аниконов Ю. Е., Марчук А. Г. К обратной задаче теории дифракции. В сб.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск, 1975, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 54−62.

12. Бабич В. М. Принцип взаимности для динамических уравнений теории упругости. В кн.: Вопросы динамической теории распространения волн. Л., 1962, вып. 1У, с. 60−74.

13. Бабич В. М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, 456с.

14. Бакушинский А. Б. Замечания о методе Купрадзе-Алексидзе. -Дифференциальные уравнения, 1970, № 7, с.1298−1301.

15. Бендерский В. Я., Райхер Л. Д., Хараз И. И. Метод управления фронтами волн в сейсморазведке. М.: Недра, 1973, 200с. •.

16. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976, 296с.

17. Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967, 232с.

18. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978, 326с.

19. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973, 343с.

20. Буслаев B.C. О формулах коротковолновой асимптотики в задаче дифракции на выпуклых телах. Вестник Ленинградского университета, 1962, № 13, с. I05-III.

21. Бухтейм А. Л. Обратная задача рассеяния в приближении Кирхгофа. ДАН СССР, 1980, т. 254, $ 6, с. 1292−1293.

22. Бухгейм A.JI., Елинов В. Д., Конев В. Т. Численный алгоритм восстановления геометрии выпуклого препятствия. В сб.: Исследование корректности обратных задач и некоторых операторных уравнений. Новосибирск, 1981, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 20−26.

23. Бухгейм А. Л., Кардаков В. Б. Решение обратной задачи для уравнения упругих волн методом сферических средних. СМЖ, 1978, т. XIX, J& 4, с. 749−758.

24. Бухгейм А. Л., Конев В. Т. 0 некоторых обратных задачах рассеяния. В сб.: Условно-корректные математические задачии проблемы геофизики. Новосибирск, 1979, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 23−42.

25. Бухгейм А. Л., Конев В. Т. Обратные задачи рассеяния на препятствиях. В сб.: Приближенные методы решения и вопросы корректности обратных задач. Новосибирск, 1981, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 26−30.

26. Васильев E.H., Ильинский A.C., Свешников А. Г. Численные методы решения задач дифракции на локальных неоднородностях.- В сб.: Вычислительные методы и программирование. М., 1975, из-во МГУ, с. 3−23.

27. Вейцман П. С. О соблюдении принципа взаимности в сейсмике. -Известия АН СССР, сер. география и геофизика, 1948, т. ХП, № 3, с. 231−238.

28. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, 512с.

29. Воронин В. В. Численное решение двумерной задачи дифракции упругой волны на упругом теле методом потенциалов. Новосибирск, 1978, из-во ВЦ СО АН СССР, препринт Ш 123, 26с.

30. Воронин В. В. Численное решение двумерной задачи дифракции упругой волны на упругом теле. Ш. В сб.: Математические методы интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1979, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 12−29.

31. Воронин В. В., Цецохо В. А. Интерполяционный метод решения интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью. ДАН СССР, 1974, т. 216, № 6, с. I209-I2II.

32. Воронин В. В., Цецохо В. А. Численное решение интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1981, т. 21, № I, с. 40−53.

33. Гадиев С. М. Использование вибрации в добыче нефти, в М.: Недра, 1977, 202с.

34. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. -М.: Физматгиз, 1962, 656с.

35. Гольдин C.B. Линейные преобразования сейсмических сигналов. М.: Недра, 1974, 352с.

36. Гольдин C.B. Интерпретация данных сейсмического метода отраженных волн. М.: Недра, 1979, 344с.

37. Грандштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971, 1108с.

38. Елинов В. Д. Об одной обратной задаче дифракции. В сб.: Условно-корректные задачи математической физики в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1978, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 52−63.

39. Елинов В. Д. Применение неортогональных разложений для обработки сейсмических данных. Проблемы вибросейсмических методов исследования. Новосибирск, 1979, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 97−109.

40. Елинов В. Д., Зеркаль С. М. Модель фокусировки волн на нефтяной пласт. В сб.: Проблемы вибросейсмических методов исследования. Новосибирск, 1979, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 110 116.

41. Елинов В. Д. Восстановление коэффициентов при младших производных в уравнении акустики. В сб.: Математические методы интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1979, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 30−34.

42. Елинов В. Д. Обратная задача для волнового уравнения. В сб.: Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1980, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 39−49.

43. Елинов В. Д., Зеркаль С. М. Задачи дифракции и фокусирования волн. В кн.: Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983, с. 68−76.

44. Елинов В. Д., Комиссаров В. В. О связи задач дифракции и фокусирования упругих волн. В сб.: Неклассические задачи уравнений математической физики. — Новосибирск, 1982, из-во ИМ СО АН, с. 72−75.

45. Еремин Ю. А., Ильинский A.C., Свешников А. Г. Исследование дифракции электромагнитных волн на проводящих и импедансных телах вращения. В сб.: Вычислительные методы и программирование. М.: из-во МГУ, 1980, вып. 32, с. 3−12.

46. Ерошенко М. Л. Пространственное фокусирование падающей волны в задачах сейсморазведки. В сб.: Проблемы геологии и рационального природопользования. Ростов, 1979, из-во РТУ, с. 3−5.

47. Запреев A.C. О единственности определения правой части волнового уравнения. Геология и геофизика, 1981, № 4, с. 113 119.

48. Запреев A.C., Чеверда В. А. О некоторых обратных задачах для волнового уравнения. В сб.: Математические методы решения прямых и обратных задач геофизики. Новосибирск, 1981, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 39−54.

49. Келлер Д., Пападакис Д. Распространение волн и подводная акустика. М.: Мир, 1980, 232с.

50. Кравцов В. В. Интегральные уравнения в задачах дифракции. -В сб.: Вычислительные методы и программирование. М.: из-во МГУ, 1966, с. 260−293.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974, 832с.

52. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963, 472с.

53. Купрадзе В. Д., Алексидзе М. А. Метод функциональных уравнений для приближенного решения некоторых граничных задач. -Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964, № 4, с. 683−715.

54. Купрадзе В. Д. О приближенном решении задач математической физики. Успехи математических наук, 1967, т. 22, № 2, с. 59−107.

55. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964, 830с.

56. Лаврентьев М. М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения. ДАН СССР, 1964, т. 153, № 3, с. 520−523.

57. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980, 288с.

58. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973, 576с.

59. Левис P.M. Обратная задача дифракции. Зарубежная радиоэлектроника, 1970, вып. 2, с. I00-II3.

60. Марчук А. Г. Восстановление полного поля по его амплитуде. -В сб.: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, 1976, из-во ВЦ СО АН СССР, с. 130−134.

61. Мешбей В. И. Сейсморазведка методом общей глубинной точки. -М.: Недра, 1973, 152с.

62. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977, 504с.

63. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957, 374с.

64. Митра Р. Вычислительные методы в электродинамике. М.: Мир, 1977, 488с.

65. Михайленко Б. Г. Нестационарные сейсмические поля в неоднородных средах (численное исследование динамики волн): Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (01.04.12). Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. — 281с.

66. Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. Сборник статей, М.: Наука, 1967, 210с.

67. Николаев A.B. Возможность вибрационного просвечивания Земли. Физика Земли, 1975, № 4, с. 10−21.

68. Олвер Ф.

Введение

в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1975, 376с.

69. Петрашень Г. И., Нахамкин С. А. Продолжение волновых полей в задачах сейсморазведки. Л.: Наука, 1973, 120с.

70. Поповиди P.C., Цверикмазашвилли З. С. Численное исследование задачи дифракции модифицированным методом неортогональных рядов. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1977, т. 17, 2, с. 384−393.

71. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск, Наука, 1972, 164с.

72. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, из-во НГУ, 1973, 252с.

73. Свешников А. Г., Гапоненко А. Л., Еремин Ю. А. Численное решение скалярной задачи дифракции на локально-неоднородном теле. В сб.: Вычислительные методы и программирование, М.: из-во МГУ, 1975, с. 80−91.

74. Свешников А. Г., Ильинский A.C. Четыре лекции по численным методам в теории дифракции. Л.: из-во ЛГУ, 1975, 32с.

75. Свешников А. Г., Шатов А. К. Численный метод решения интегральных уравнений первого рода в задачах дифракции на телах вращения. В сб.: Вычислительные методы и программирование, М.: из-во МГУ, 1975, с. 68−80.

76. Свешников А. Г., Ильинский A.C., Еремин Ю. А. Метод неортогональных рядов в задачах электромагнитной дифракции на телах вращения. В сб. трудов ХП Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Томск, 1978, т. 2, с. 288−290.

77. Свешников А. Г., Еремин Ю. А., Чивелев Л. В. Исследование единственности решения обратной задачи теории дифракции. Дифференциальные уравнения, 1979, № 12, с. 2205−2209.

78. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: ОГИЗ, 1941, т. 1У, 620с.

79. Сургучев М. А., Кузнецов 0.1., Симкин Э. М. Гидродинамическое, акустическое, тепловое, циклическое воздействие на нефтяные пласты. М.: Недра, 1975, 184с.

80. Тимошин Ю. В. Импульсная сейсмическая голография. ГЛ.: Недра, 1978, 286с.

81. Уилкинсон Д., Райнис С. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. М.: Машиностроение, 1976, 392с.

82. Фадцеев Д. К., Фадцеев В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, I960, 656с.

83. Хенл X., Мауэ А., Вестифаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964, 428с.

84. Яковлев Я. И., Хургин В. П. Финитные функции в физике и технике. -М.: Наука, 1971, 408с.

85. Clayton R., Stolt R. A Born-WKBT inversion method for acoustic reflection data. Geophysics, 1981, v. 46, № 11, 1559−1567.89″ Claerbout J.F. Fundamentals of qeophysical data processinq. New York, McGraw-Hill Book Co., — 274 p., 1976.

86. Claerbout J.F., Schultz P. S. Velosity estimition and doum-ward continuation by wavefront synthess. Geophysics, 1978″ v. 43, p. 691−714.

87. Bleistein N., Cohen J.K. Nonunigueness in the inverse sourse problem in acoustics and electromagnetics. Journal of Mathematical Physics, 1977, v. 18, № 2, p. 194−201.

88. Cohen J., Bleistein N. An inverse method for determinq of small variation in propaqation speed. SIAM, Journal of Applied Mathematics, 1977, № 4, p. 784−799.

89. Cohen J., Bleistein N. Velocity inversion procedure for acoustic waves. Geophysics, 1979″ v. 44, J|> 6, p. 10 771 093.

90. Prosser R. Formal solution of inverse scatterinq problem. -Journal of Mathematical Physics, 1969, v. 10, p. 1819−1822.99″ Prosser R. Formal solution of inverse scatterinq problem.- Journal of Mathematical Physics, 1976, v. 17, p. 17 751 779.