Некоторые задачи определения напряженно-деформированного состояния слоя из неоднородного идеальнопластического материала, сжатого шероховатыми плитами

Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, их деталей, а также различных конструкций и сооружений, уменьшению их веса, объема и размеров, что приводит к необходимости использования композитных неоднородных материалов. Нахождение критериев, позволяющих определить прочностные характеристики элементов конструкций, инженерных сооружений из неоднородных материалов при работе в упругопластическом режиме, является одной из актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

Неоднородность пластических свойств материалов может быть вызвана рядом причин. Выделим среди них важнейшие. Неоднородность свойств материалов может возникать в результате различных технологических процессов, вследствие неоднородного деформирования упрочняющегося пластического материала. К таким процессам относятся холодная прокатка, штамповка, и т. п. К неоднородному распределению пластических свойств может привести воздействие различных динамических нагрузок и т. д. Неоднородность пластических свойств материала может возникнуть в результате поверхностной обработки изделия, например, вследствие закалки и т. п. При поверхностной обработке неоднородность изменяется по глубине. Как правило, наиболее жестким оказывается приповерхностный слой, предел текучести падает с глубиной слоя. Неоднородность может являться следствием конструктивных особенностей или технологии изготовления. Например, переменные по толщине пластины и оболочки можно рассматривать как неоднородные по координатам в срединной плоскости. Пластическая неоднородность может быть вызвана воздействием радиационного облучения, а также 4 может появиться в результате воздействия различных температурных градиентов, возникающих, к примеру, при литье.

В настоящей работе рассматривается макронеоднородность пластических свойств материала, выражаемая зависимостью предела текучести от координат точки тела. Уравнения неоднородного идеального жесткопластического тела получаются после простой заменыпостоянной предела текучести к на функцию координат к{х, у, х), называемую обычно пластической неоднородностью. Полученная система уравнений формально не отличается от уравнений для однородного тела. Однако замена постоянной к переменной пластической неоднородностью к{ху у, z) приводит к некоторым затруднениям.

Исследованиям деформирования материалов при пластической неоднородности посвящен ряд обзоров, среди которых отметим [50], [2], [20].

Отметим работы, примыкающие к теме настоящего исследования.

Задача о сжатии неоднородного по толщине пластического слоя между двумя параллельными шероховатыми плитами рассматривалась в работе А. А. Ильюшина [31]. Постановка задачи в данной работе была следующей. Пусть в начальный момент времени? = 0 плиты имеют постоянную температуру тп, а пластический слой — постоянную температуру тс > тп. Плиты сближаются по заданному закону и, сжимая слой, одновременно охлаждают его. Вследствие зависимости предела текучести от температуры к = к (Т) материал неоднороден то толщине. Поскольку температура понижается от средней плоскости к поверхностям контакта с плитами, вблизи последних возникают некоторые «затвердевшие» слои и течение происходит в центральном ядре. Для определения границы затвердевания был выдвинут некоторый экстремальный 5 принцип. Решение сложной нелинейной задачи, полученной для определения температуры и границы затвердевания, строилось приближенным путем.

А. И. Кузнецов [38] рассмотрел более простой случай, когда предел текучести является заданной функцией координаты у. Полученное им распределение напряжений обобщает известное решение J1. Прандт-ля [64], распределение скоростей обобщает известное решение Надаи [47]. В работе [38] рассмотрены также условия образования жестких зон вблизи плит. Используя полученное решение, автор, следуя А. А. Ильюшину [31], рассмотрел задачу о течении неоднородного по толщине пластического слоя между искривленными поверхностями.

М. А. Задояном [22] рассмотрена задача о сжатии пластического слоя жесткими шероховатыми плитами в случае, когда неоднородность меняется вдоль длины плиты по экспоненциальному закону к — к0е, к0, а — const. Решение дано в квадратурах. Получены выражения для напряжений и скоростей деформаций.

Б. А. Друянов [16] предположил, что предел текучести является функцией только угла к = к{(р) (в этом случае все величины не зависят от г) и рассмотрел задачу о начальном течении клина под односторонней нагрузкой.

Метод малого параметра был использован в задачах неоднородности Б. А. Друяновым [13], [14], [15]. Им рассмотрены задачи о начальном пластическом течении толстой и тонкой полос под действием гладкого или шероховатого штампа. Неоднородность бралась в форме к = к®- + дк', а решения — в виде рядов по 8.

Б. А. Друянов [17] изучал также задачу о вдавливании гладкого штампа в пластически неоднородную полуплоскость. Он обобщил ре6 шение Хилла [83] задачи о вдавливании гладкого штампа в полуплоскость на случай, когда предел текучести материала является показательной функцией глубины к — к0е? у, где? — малый параметр, характеризующий неоднородность.

Вопрос о влиянии малой неоднородности и корректности решений для однородного тела был поставлен Я. Рыхлевским [66], [67].

Случай малой неоднородности исследовали также А. И. Кузнецов [40] и Спенсер [76]. В работе [76] построено решение задачи о гладком штампе в первом приближении для к = к®- — ¿-" (су) и исправлена некорректность решения этой задачи в работе [40]. Заметим, что как и в работе [17], в работе [76] не отмечено, что случаю линейного уменьшения предела текучести по глубине соответствует однородное выпирание.

В работе Я. Рыхлевского [70] дано решение задачи о напряжениях вблизи границы неоднородного пластического тела.

Многие практические задачи приводят к необходимости рассмотрения случая, когда предел текучести претерпевает конечный разрыв вдоль некоторой произвольной поверхности. Укажем, например, на задачи о запрессовке одного материала в другой, вопросы несущей способности клееных конструкций и т. д. Анализ этого вопроса проведен в работе Я. Рыхлевского [71].

Уравнения пространственной задачи теории неоднородного иде-альнопластического тела изучались в работе Д. Д. Ивлева [30]. Предполагалось, что тело подчиняется условию текучести Треска, причем напряженное состояние соответствует ребру призмы Треска. Д. Д. Ивлев показал, что в этом случае, как и для однородного тела, можно построить теорию пространственного течения, сохраняющую качественные особенности теории плоского течения. Задача оказывается статически 7 определимой, уравнения гиперболичны и характеристические направления совпадают с направлениями максимальных касательных напряжений.

Ряд работ посвящен рассмотрению толстостенных труб, предел текучести которых меняется по радиусу. Если предел текучести есть функция только радиуса, то задача является осесимметричной. Такая осесимметричная задача исследовалась В. Олылаком и В. Урбановским [57] для несжимаемого материала в случае, когда модуль упругости С также зависит от радиуса С —.

А. И. Кузнецов [40] обобщил результаты В. Олыпака и В. Урба-новского, рассмотрев задачу о распределении напряжений вблизи кругового отверстия, по контуру которого действует равномерное давление, направленное под углом к поверхности. Рассмотрены также условия возникновения пластической зоны вблизи области.

А. А. Ильюшин и П. М. Огибалов [33] рассмотрели материал с упрочнением. Если использовать теорию малых упругопластических деформаций, то свойства неоднородного материала описываются зависимостью между интенсивностью напряжений <тг и интенсивностью деформаций ?1 — (71 ~ Ф (?" 7, г), в которую явно входит радиус г. В этом случае формулы, предложенные А. А. Ильюшиным и П. М. Огибаловым для однородного материала, справедливы и для неоднородного. В этой же работе предложен метод определения первого критического давления для цилиндра с пластической неоднородностью, возникающей вследствие действия температуры или радиационного облучения.

Расчет неоднородного цилиндра по деформационной теории был дан также в работе [45], причем затрагивался и случай простых деформаций. 8.

В работе М. А. Задояна [24] исследован вопрос о распространении пластической зоны в трубе при динамическом воздействии давления. Предполагалось, что неоднородность возникает вследствие действия нейтронного облучения.

В работах В. Олыиака и В. Урбановского [55], [56] рассмотрен неоднородный ортотропный идеальнопластический цилиндр. Предположено, что пределы текучести в радиальном и осевом направлениях равны и постоянны, т. е. ()г = ()2 — = СОШ" ?, а также что постоянен предел текучести при сдвиге ()п, в плоскости, перпендикулярной оси. Пластическая неоднородность в этом случае состоит в том, что предел текучести в окружном направлении зависит от радиуса Эти предположения хорошо описывают свойства железобетонной трубы с окружной армированной армировкой.

В работах В. Олыпака [52], [53], [54] даны применения идей о неоднородности к расчетам железобетонных труб и шахтных галерей.

В связи с большим практическим значением вопроса о прочности цилиндров проводились многочисленные экспериментальные исследования их работы за пределом упругости. Упомянем здесь исследования Стила и Юнга [77], а также Стила и Эйхбергера [78]. Они отмечали появление нерегулярного распределения деформаций по сечению, несмотря на тщательное изготовление образцов. Это может быть объяснено влиянием малой неоднородности материала, имеющей неосесимметрич-ный характер.

В работе В. Олыиака и В. Урбановского [59] рассмотрена задача о неоднородной упругопластической сфере, нагруженной внешним и внутренними давлениями. Предполагалось, что модуль сдвига С и пре9 дел текучести к являются функциями радиуса, а материал является несжимаемым и идеально пластическим.

В работе [33] A.A. Ильюшиным и П. М. Огибаловым исследовался вопрос о возникновении первых пластических свойств деформаций в сфере, облученной нейтронным потоком с источником в центре и нагруженной затем внутренним давлением.

Задача о кручении цилиндрического стержня с односвязным поперечным сечением изучалась А. И. Кузнецовым [39], [41]. Предполагалось, что предел текучести является произвольной функцией х, у (ось z направлена по оси стержня).

В работах Я. Рыхлевского [71], [72] рассмотрена задача о несущей способности скручиваемого стержня с кусочно-постоянной неоднородностью.

Вопросам теории пластичности неоднородных тел посвящена монография О. Д. Григорьева [10]. В монографии приведены решения задач для различных специальных видов неоднородности.

Цикл работ по пластически неоднородным средам применительно к задачам механики горных пород выполнен М. Т. Алимжановым [3] и А. М. Алимжановым [1], [2].

Целью настоящей работы является развитие аналитических методов расчета предельного состояния тел, учитывающих неоднородность пластических свойств материала, в плоском и пространственном случаях напряженного и деформированного состояния.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе, посвященной плоским задачам теории неоднородного идеальнопластического тела, предельное состояние слоя из неоднородного идеального жесткопластического материала, сжатого шеро.

10 ховатыми плитами, исследуется методом малого параметра. Затем принимается показательная зависимость предела текучести материала от координат точки тела х, у и аналитически определяется напряженно-деформированное состояние неоднородного идеальнопластического слоя. Исследуется также влияние неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние слоя, сжатого шероховатыми плитами, в случае, когда предел текучести меняется вдоль длины полосы по экспоненциальному закону. Решение поставленной задачи получено в квадратурах. Наконец, предельное состояние неоднородного идеально-пластического слоя определяется при помощи обратного метода, приводится ряд примеров.

Вторая глава посвящена пространственным задачам о неоднородном идеально пластическом слое. Методом малого параметра решается задача о напряженном состоянии неоднородного слоя, сжатого шероховатыми плитами. Рассматривается предельное состояние слоя, неоднородного по толщине, сжатого шероховатыми плитами. Приводится аналитическое решение задачи о сдавливании слоя из неоднородного идеального жесткопластического материала шероховатыми плитами в случае показательной зависимости предела текучести материала от координат точки тела. Обсуждается также обратный метод решения задач о неоднородном пластическом слое.

На защиту выносятся следующие результаты: • приближенное аналитическое исследование плоского предельного состояния неоднородного идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами, при произвольном виде неоднородности;

• развитие метода малого параметра применительно к задаче о сжатии неоднородного идеальнопластического слоя шероховатыми плитами для первого, второго и последующих приближений;

• аналитическое решение задачи о сжатии плоского неоднородного пластического слоя шероховатыми плитами при экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точки тела;

• развитие обратного метода определения предельного состояния идеальнопластического слоя;

• приближенное аналитическое решение пространственной задачи о сжатии неоднородного идеальнопластического слоя шероховатыми плитами;

• аналитическое решение задачи о предельном напряженном состоянии слоя из неоднородного материала, сжатого шероховатыми плитами, в случае изменения неоднородности по толщине слоя;

• аналитическое решение задачи о сжатии пространственного неоднородного идеальнопластического слоя шероховатыми плитами в случае показательной зависимости предела текучести материала от координат точки тела.

Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопластических неоднородных сред, для более полного исследования ресурсов прочности, и, следовательно, более рационального проектирования сооружений и машин.

Результаты диссертации опубликованы в работах [85−89].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

• Исследовано предельное состояние плоского слоя из неоднородного идеального жесткопластического материала, сжатого шероховатыми плитами. Методом малого параметра получены расчетные формулы для определения компонент тензора напряжений в первом и втором приближениях. Разработан алгоритм нахождения решения в «п"-ом приближении. Установлена нелинейная зависимость сдавливающего давления сг вдоль длины плиты. Определено поле скоростей перемещений в первом и втором приближениях.

• Задача о сжатии плоского неоднородного идеальнопластического слоя решена для случая показательной зависимости предела текучести материала от координат точки тела. При помощи аналитических методов исследования определено напряженно-деформированное состояние неоднородного идеальнопластического слоя. Показано, что при рассматриваемом напряженном состоянии имеет место неоднородное деформирование.

• Исследовано влияние неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние плоского слоя, сжатого шероховатыми плитами, в случае, когда предел текучести материала меняется вдоль длины полосы по экспоненциальному закону. Решение поставленной задачи получено в квадратурах. Показано, что при рассматриваемом напряженном состоянии происходит смещение плит параллельно самим себе.