Инвариантные меры для многозначных отображений

Начиная с 30-х годов XX века эргодическая теория активно развивалась и в настоящее время представляет собой основной аппарат для анализа статистических свойств динамических систем. Базовым понятием эргодической теории является понятие инвариантной меры отображения. Различные вопросы, связанные с существованием инвариантных мер, статистическими свойствами динамических систем, подходы к изучению и применению эргодической теории, содержатся в работах [1], [6], [15], [21], [27] [30], [37], [47], каждая из которых, в свою очередь, повлекла за собой серию работ в данном направлении.

Необходимость в изучении многозначных отображений возникла в таких классических областях как анализ (см. [48], [40]), геометрия (см. [16], [29]), топология (см. [7], [23]). Свойства многозначных отображений исследуются в теории марковских процессов [4] и в приложениях, связанных с динамическими системами, таких, как, математическая экономика [9] и теория игр [5].

В настоящей работе изучаются инвариантные меры многозначных отображений. Родственное понятие полиморфизмов ввел А. М. Вершик [8], одновременно распространив на них некоторые результаты классической эргодической теории. Кроме того, ряд результатов, относящихся к исследованию эргодических свойств, полиморфизмов принадлежат А. Л. Федорову [25], В. В. Рыжикову [22], К. Б. Игудесману [38]. Многозначные отображения с инвариантной мерой появляются в связи с подходом Монжа-Канторовича к гидродинамической задаче Ньютона (см. обзор [19]), а также в проблеме сингулярности бесконечных сверток распределений Бернулли (см. работы [33], [43], [44], [24]).

Результаты диссертации связаны со следующими вопросами эргодической теории однозначных отображений.

Известное утверждение Н. Н. Боголюбова, полученное на базе его и Н. М. Крылова результата об инвариантной мере непрерывного отображения [31], состоит в следующем: для аменабельной полугруппы однозначных преобразований S компактного пространства найдется 5-инвариантная мера [6].

Уравнение для плотности абсолютно непрерывной инвариантной меры однозначного отображения (в одномерном случае) было выведено в работе [45]. Там же было показано, что для кусочно гладкого растягивающего отображения такая мера эргодична и, следовательно, единственна.

В монографии Р. Фелпса [26] с помощью теоремы представления Шоке и построенного Дж. Фельдманом [34] описания крайних точек множества инвариантных вероятностных мер показано, что множество инвариантных мер однозначного отображения является симплексом.

Для несжимающих однозначных отображений окружности в работе [2] найдена граница гладкости отображения, при переходе через которую абсолютно непрерывная инвариантная мера данного отображения становится бесконечной.

Одним из нерешенных вопросов в эргодической теории однозначных отображений является задача Фюрстенберга [35] о существовании сингулярной меры на окружности, инвариантной относительно преобразований возведеиия в квадрат и возведения в куб. В настоящей работе предложена чисто аналитическая формулировка этой задачи и указана ее связь с инвариантными мерами для многозначных отображений.

В работах автора [12], [36] приводятся формулировка и идея доказательства следующих фактов:

1. Описание всех решений уравнений и систем уравнений, которые задаются действием отображений на меры.

2. Множество инвариантных мер линейного многозначного отображения не является симплексом Шоке.

В работе [11] приведено полное доказательство этих утверждений, а также построен ряд примеров, показывающих сходства и отличия случая многозначных отображений от случая однозначных.

В работе [10] установлено, что конечность или бесконечность абсолютно непрерывных инвариантных мер зависит от класса гладкости несжимающего многозначного отображения.

Основной целью данной диссертации является изучение эргодических свойств многозначных отображений, исследование вопроса о существовании инвариантных мер различных многозначных отображений, изучение их свойств и структуры множества инвариантных мер.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Михайловичу Степину за постановку задач, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе.

Краткое содержание работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Во введении дано краткое изложение работы. В первой главе исследован вопрос существования инвариантных мер для растягивающих многозначных отображений и многозначных отображений, задаваемых параметризацией. Во второй главе изучены свойства множества инвариантных мер линейного многозначного отображения и связь с задачей Фюрстенберга. В третьей главе изучены свойства абсолютно непрерывных инвариантных мер для многозначных отображений.

1. Аносов, Д. В. Некоторые гладкие эргодические системы / Д. В. Аносов, Я. Г. Синай // Успехи мат. наук. — 1967. — Т. 22, № 5(137). — С. 107−172.

2. Ахалая, Ш. И. Об абсолютно непрерывных инвариантных мерах несжи-мающих преобразований окружности / Ш. И. Ахалая, А. М. Степин // Труды МИ АН. 2004. — № 244. — С. 23−34.

3. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. — Москва: Издательство «Физматгиз.», 1961.

4. Бебутов, М. Цепи Маркова с компактным пространством состояний / М. Бебутов // Мат. сборник. — 1942. — Т. 10(52), № 3. С. 213−238.

5. Берж, К. Общая теория игр нескольких лиц / К. Берж. — Москва: Издательство «Физматгиз.», 1961.

6. Боголюбов, Н. Н. Избранные труды в трех томах, т.1 / Н. Н. Боголюбов. — Киев: Издательство «Наукова думка», 1969.

7.

Введение

в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обу-ховский. — Москва: КомКнига, 2005.

8. В ершик, А. М. Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские операторы / А. М. Вершик // Записки научн. сем. ЛОМИ.- 1977, — Т. 72. С. 26−61.

9. Гиндельбранд, В. Ядро и равновесие в большой экономике / В. Гиндель-бранд. — Москва: Издательство «Наука», 1986.

10. Горбачев, А. Н. Инвариантные меры несжимающих многозначных отображений окружности / А. Н. Горбачев // Вестник МГУ, сер.1. Математика. Механика. — 2010. — № 3. — С. 43−46.

11. Горбачев, А. Н. Инвариантные меры многозначных отображений / А. Н. Горбачев, А. М. Степин // Деп. в ВИНИТИ 13.10.09 № 619-В2009. — 2009.

12. Горбачев, А. Н. Об инвариантных мерах для многозначных отображений / А. Н. Горбачев, А. М. Степин // Успехи мат. наук.— 2009.— Т. 64, № 6(390).- С. 173−174.

13. Григорчук, Р. И. Об аменабельности полугрупп с сокращением / Р. И. Григорчук, А. М. Степин // Вестник МГУ, сер. 1.— 1998.— Т. N 3. С. 12−16.

14. Гринлиф, Ф. Инвариантные средние на топологических группах и их приложения / Ф. Гринлиф. — Москва: Издательство «Мир», 1973.

15. Каток, А. Б. Аппроксимации в эргодической теории / А. Б. Каток, А. М. Степин // Успехи мат. наук. — 1967, — Т. 22, № 5(137).— С. 81 106.

16. Каток, А. Б.

Введение

в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хасселблат. — Москва: Издательство «Факториал», 1999.

17. Клиффорд, А. Алгебраическая теория полугрупп Т.1 / А. Клиффорд, Г. Престон. — Москва: Издательство «Мир», 1972.

18. Корнфельд, О. П. Эргодическая теория / О. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. — Москва: Издательство «Наука», 1980.

19. Плахов, А. Ю. Рассеяние в биллиардах и задачи ньютоновской аэродинамики / А. Ю. Плахов // Успехи мат. наук. — 2009.— Т. 64, № 5(389).— С. 97−166.

20. Рохлин, В. А. Точные эндоморфизмы пространства Лебега / В. А. Рохлин // Изв. АН СССР, сер. матем. 1961. — Т. 25, № 4. — С. 499−530.

21. Рохлин, В. А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой / В. А. Рохлин // Успехи мат. наук.— 1967.— Т. 22, № 5. С. 3−56.

22. Рыжиков, В. В. Полиморфизмы, джойнинги и тензорная простота динамических систем / В. В. Рыжиков // Функц. анализ и его приложения. — 1997. Т. 31, № 2. — С. 45−57.

23. Сибирский, К. С. Полудинамические системы / К. С. Сибирский, А. С. Шубэ. — Кишинев: Штиинца, 1987.

24. Трошин, П. И. Об инвариантности меры для одной 2-трансформации / П. И. Трошин // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.— 2009.-Т. 151.— С. 183−191.

25. Федоров, А. Л. Полиморфизмы и разбиения пространств Лебега / А. Л. Федоров // Функц. анализ и его приложения.— 1982, — Т. 16, № 2. С. 88−89.

26. Фелпс, Р. Лекции о теоремах Шоке / Р. Фелпс. — Москва: Издательство «Мир», 1968.

27. Халмош, П. Лекции по эргодической теории / П. Халмош. — Москва: пер. с англ., 1959.

28. Шилов, Г. Е. Интеграл, мера и производная. Общая теория / Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич. — Москва: Издательство «Наука», 1967.

29. Barnsley, М. Fractals everywhere / М. Barnsley. — Boston: Academic press, 1988.

30. Birkhoff, G. D. Proof of the ergodic theorem / G. D. Birkhoff // Proc Natl Acad Sci USA. — 1931. Vol. 17. — Pp. 656−660.

31. Bogoliubov, N. N. La theorie generalie de la mesure dans son application a l’etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire / N. N. Bogoliubov, N. M. Krylov // Ann. Math. II.- 1937, — Vol. 38.— Pp. 65−113.

32. Day, M. M. Fixed-point theorems for compact convex sets / M. M. Day // Illinois J. Math. — 1961. Vol. 5. — Pp. 585−590.

33. Erdos, P. On a family of symmetric Bernoulli convolutions / P. Erdos // Amer. J. Math. 1939. — Vol. 61. — Pp. 974−975.

34. Feldman, J. Representations of invariant measures / J. Feldman // dittoed notes. — 1963. — P. 17 pp.

35. Furstenberg, H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problemin diophantine approximation / H. Furstenberg // Mathematical Systems Theory. — 1967. Vol. 1, no. 1. — Pp. 1−49.

36. Gorbachev, A. N. Invariant measures for multivalued mappings / A. N. Gorbachev // Сборник трудов Добрушинской международной конференции. — 2009. — С. 71−73.

37. Hop}, Е. Statistik der geodatischen linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krummung / E. Hopf // Leipzig Ber. Verhandl. Sachs. Akad. Mss. — 1939. Vol. 91. — Pp. 261−304.

38. Igudesman, К. B. Dynamics of finite-multivalued transformations / К. B. Igudesman // Lobachevskii Jour, of Math. — 2005. — Vol. 17. — Pp. 4760.

39. Kendall, D. G. Simplexes and vector lattices / D. G. Kendall // JLondon Math. Soc. 1962. — Vol. 37, no. 3. — Pp. 365−371.

40. Kigami, J. Analysis on fractals / J. Kigami. — Cambridge: Cambridge univ. press, 2001.

41. Lasota, A. On the existence of invariant measures for piecewise monotonic transformations / A. Lasota, J. A. Yorke // Trans. Amer. Math. Soc. — 1973. Vol. 186. — Pp. 481−488.

42. Namioka, I. Folner’s condition for amenable semigroups / I. Namioka // Math. Scand. 1964. — Vol. 15. — Pp. 18−28.

43. Parry, W. On the /З-expansions of real numbers / W. Parry // Acta. Math. Acad. Sci. Hung. — 1960. Vol. 11.-Pp. 401−416.

44. Peres, Y. Sixty years of Bernoulli convultions / Y. Peres, W. Shlag, B. Solomyak // Fractal Geometry and Stochastics 2 (ed. by C. Bandt). Basel — 2000. Pp. 39−65.

45. Reniy, A. Representations for real numbers and their ergodic properties / A. Reniy // Acta math. Acad. sci. hungar.— 1957. — Vol. 8. — Pp. 477−493.

46. Yuan, G. X.-Z. KKM theory and applications in nonlinear systems / G. X-Z. Yuan. — New York: Marcel Dekker, 1999.