Стационарные случайные процессы

Вероятностные и корреляционные характеристики случайных процессов определяются с помощью одного или нескольких моментов времени (сечений). Однако существует класс случайных процессов, у которых зависимость характеристик от времени отсутствует, и при определенных условиях ряд вероятностных характеристик может быть определен путем усреднения по всему ансамблю реализаций. В других случаях для данных целей может быть осуществлено усреднение по времени с использованием одной к- реализации x_k(t) случайного процесса Х (1). Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характеристик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эргодичность.

Особое место среди случайных процессов занимает стационарный случайный процесс, с которым часто приходится сталкиваться в теории связи.

Стационарными называют случайные процессы, статистические характеристики которых не изменяются во времени. Примерами стационарных случайных процессов являются внутренние шумы приемников, тепловой шум транзистора, стабилитрона и других полупроводниковых и электронных приборов. В практических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности. Выполнение этого условия позволяет считать, что среднее значение, средний квадрат и дисперсия случайного процесса нс зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от интервала между ними т = t₂-t_v т. е. от одного аргумента. Случайные процессы, удовлетворяющие условиям стационарности на ограниченных интервалах, также относят к их числу и называют квазистационарными.

С учетом предложенных ограничений при записи статистических параметров стационарного случайного процесса можно опускать обозначения фиксированных моментов времени. В этом случае математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, т. е. формулы (3.5) и (3.6) примут вид.

Нетрудно показать, что функция корреляции случайного стационарного процесса зависит только от разности т = t₂ — t_v и поэтому R_x(t_v t₂) = R_v(т).

Из определения стационарности случайного процесса следует, что его функция корреляции является четной относительно т = 0: R_v(т) = R_x(-т).

Стационарность — не единственное полезное свойство случайных процессов, позволяющее подробно их исследовать. Еще одним свойством такого рода является эргодичность (ergodicity; от греч. ergon — работа). Условие эргодичности включает в себя и условие стационарности случайного процесса. Эргодичность проявляется в том, что со временем процесс становится однородным.

Стационарный случайный процесс является эргодическим, если усреднение по ансамблю реализаций можно заменить усреднением по времени одной реализации в пределах бесконечного интервала времени Т_х. Приведем пример: если у вас есть кубик с числами на гранях от 1 до 6, то при 600 выбрасываниях число 1 выпадет около 100 раз. Можно взять 600 одинаковых кубиков и бросить их все одновременно один раз. При этом около 100 кубиков также покажут грань с числом 1.

Математическое ожидание эргодического процесса вычисляется усреднением по бесконечному интервалу времени значений заданной реализации. Обозначая усреднение по времени угловыми скобками, запишем.

Следует помнить, что математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации.

Средний квадрат является средней мощностью всего случайного эргодического процесса. Дисперсия.

определяет мощность флуктуационной составляющей эргодического процесса.

Как правило, при экспериментальном исследовании случайных процессов наблюдают одну реализацию. Если процесс эргодический, то его реализация па большом интервале является типичным представителем всего ансамбля.

На рис. 3.12 приведен пример реального случайного процесса Х (!) в виде одной из реализаций флуктуационной составляющей x (t) там же показано СКО ±а от математического ожидания т_х (для упрощения графика выбрано т_к = 0).

Рис. 3.12. Флуктуационная составляющая x (t) с СКО ±ст В электрических цепях широко используют переходные (разделительные) ЯС-цепи, не пропускающие постоянной составляющей. Поэтому для реальных стационарных эргодических процессов математическое ожидание т_г = 0.

Функция корреляции в этом случае имеет более простой вид.

Выражение (3.18) внешне совпадает с определением (2.56) автокорреляционной функции детерминированного периодического сигнала. Непосредственно из формулы (3.18) вытекает четность функции R_t(т) относительно сдвига ср.

Важно заметить, что достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с ростом временного сдвига т: lim R ( т) = 0.

Т — °0.

Согласно приведенным формулам по одной реализации можно определить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию эргодического случайного процесса. Обычно интегрирование выполняется не в бесконечных пределах, а на конечном интервале, длина которого должна быть тем больше, чем выше требования к точности результатов исследования.

Изучение стационарного случайного процесса будем проводить с учетом его эргодичности, признак которого — равенство среднего значения по множеству реализаций (3.14) среднему значению по времени одной реализации (3.17):

В общем случае результаты усреднения случайных процессов по совокупности и по времени неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от времени. Предел выборочного среднего по времени представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации.

Пример 3.3.

Случайный процесс U (t) состоит из гармонических реализаций и (1) = = U_mcos ((o₀t + ф), где амплитуда U_m и частота со₀ — постоянные параметры, а начальная фаза реализации ф — случайная величина, которая с одинаковой вероятностыо принимает значение в интервале (-я, я) (рис. 3.13). Найдем числовые характеристики процесса и определим, является ли он стационарным.

Решение

Заданное распределение начальных фаз означает, что плотность вероятности случайной фазы любого колебания р (ф) = 1/(2я). Тогда согласно формуле (3.14) математическое ожидание для амплитуд гармонических напряжений.

По формуле (3.16) находим дисперсию.

Рис. 3.13- Ансамбль гармонических колебаний со случайной фазой Тот факт, что реализации случайного процесса являются периодическими функциями, позволяет упростить вычисления, заменив усреднение по бесконечному промежутку времени усреднением, но периоду Т= 2я/со₀. Тогда функцию корреляции получим усреднением по времени произведения двух напряжений:

В правой части этого выражения первое слагаемое в фигурных скобках является детерминированным колебанием, поскольку в нем отсутствует случайная фаза. Второе слагаемое при статистическом усреднении по фазе с помощью одномерной плотности вероятности обращается в нуль. Поэтому функция корреляции где т ⁼ ^ ^— 1).

Все искомые числовые характеристики не зависят от времени, и заданный случайный процесс является стационарным.

Отметим, что любой случайный процесс, реализации которого являются гармоническими функциями, идентичными по форме и различающимися лишь равномерно распределенной в пределах заданного периода начальной фазой, будет не только стационарным, по и эргодическим.

Пример 3.4.

Случайный процесс 17(f) состоит из реализаций u (t) = l/_mcos (co₀f + <�р), причем со₍₎ и ф — постоянные параметры, амплитуда U_m — случайная величина с произвольным законом распределения и равновероятная в интервале от 0 до U_max (рис. 3.14). Определим, является ли этот процесс стационарным.

Рис. 3.14. Ансамбль гармонических колебаний со случайной амплитудой.

Решение

Математическое ожидание й = U_mcos (o)₀t + ф) нс зависит от времени лишь при U_m = 0. Поэтому случайный процесс является нестационарным.