Связь между спектрами входного и выходного сигналов для линейной пассивной цепи

Рассмотрим случай, когда на входе линейной пассивной цепи внешним источником начиная с момента времени t = 0 создаются напряжение и_вх(Г) или ток i_BX(t), изменяющиеся по непериодическому закону. Такое внешнее воздействие обозначим х_вх(?). Искомую реакцию (ток некоторой ветви или напряжение на одном из участков цепи) обозначим, г_вых(г);

Для большей наглядности заданный случай представлен на рис. 10.14, а в виде пассивного четырехполюсника с двумя парами зажимов, соответствующих входу цепи и ее выходному участку.

Каждой из непериодических функций времени x_m(t) и х_|1ых(/) соответствует своя спектральная плотность, связанная с ней прямым преобразованием Фурье:

Рис. 10.14. К выводу соотношения между спектральными плотностями входного и выходного сигналов:

а — линейная пассивная цепь при произвольном непериодическом воздействии x_BX(t)

6 — ее символическая модель (Х_вх и Х_вых — комплексные амплитуды воздействия и реакции) В спектрах входного и выходного сигналов составляющие одной и той же частоты со имеют бесконечно малую комплексную амплитуду: F_BX0‘co)c/co — комплексная амплитуда гармоники с частотой со в спектре воздействия; F_Bbi_Xt/coMco — комплексная амплитуда синусоидальной составляющей той же частоты в спектре реакции (в линейной цепи возникает только при наличии на входе гармоники этой частоты).

Рассмотрим заданную пассивную цепь (см. рис. 10.14, а) при синусоидальном воздействии на входе в установившемся режиме. Для такого режима можно построить ее символическую модель; она показана на рис. 10.14, б> где Х_вх — комплексная амплитуда синусоидального воздействия; Х_вых — комплексная амплитуда синусоидальной реакции. Их отношение представляет собой ранее введенный (см. параграф 7.4) комплексный коэффициент передачи K (jco):

Напомним, что это параметр цепи, зависящий от частоты, но не зависящий от амплитуды и фазы входного воздействия. Поэтому соотношение (10.23) справедливо и для бесконечно малых комплексных амплитуд гармонических составляющих с частотой со в спектрах входного и выходного сигналов, т. е.

ИЛИ.

Вывод. Спектральная плотность выходного сигнала реакции) F_Bblx(_j/co) равна произведению спектральной плотности входного сигнала (воздействия) F_BX(jco) на комплексный коэффициент передачи iC (y'co).

Соотношение (10.24), выражающее связь между спектрами входного и выходного сигналов в линейной цепи, иногда называют законом Ома для спектров. Оно положено в основу спектрального метода расчета переходных процессов.