Истечение идеального газа из суживающихся сопел

Допустим, что параметры газа на входе в сопло и на выходе из него соответственно равны р, V и р₂, v₂, а площадь выходного сечения F₂ (рис. 5.1). Скорость истечения газа из сопла может быть найдена путем интегрирования соотношения (5.1), записанного в виде.

Рис. 5.1. Суживающееся сопло Интегрируя, получаем уравнение.

где W и w₂ — скорости газа соответственно на входе и на выходе из сопла.

В случае, когда w₂ w₉ величиной W можно пренебречь. Тогда скорость на выходе из сопла w₂ = w будет равна.

w = У2/о .

Подставляя в эту формулу значение располагаемой работы при обратимом адиабатном расширении газа (см. параграф 3.5), получаем уравнение.

Используя формулу (5.7), находим еще одну формулу для w

Расход газа находится по уравнению неразрывности.

Выразим удельный объем v₂ в выходном сечении сопла из уравнения адиабаты p₂v₂ = РЩ:

Подставляя (5.11), (5.13) в (5.12), получаем уравнение.

Если зафиксировать давление р и понижать давление за соплом р₂, то скорость потока w₂ и расход газа G будут увеличиваться. При достижении скоростью w₂ значения, равного значению местной скорости звука а, дальнейший разгон потока в суживающемся канале, как было показано в параграфе 5.3, невозможен. Поэтому после достижения давления р₂ в устье сопла, равного давлению, при котором w₂ = а, расход газа G по мере понижения давления р₂ будет оставаться неизменным и равным максимальному G_max. Давление р₂, соответствующее достижению максимума расхода, называется критическим давлениемр_2к]: «отношение давленийр_2к[)/р называется критическим отношением давлений.

Скорость истечения равная местной скорости звука, называется критической скоростью и обозначается w_{2 кр}.

Для получения максимального расхода при истечении газа из сопла необходимо взять первую производную пор₂ от соотношения (5.14) и приравнять ее к нулю:

Отсюда

Это отношение давлений, обеспечивающее максимальный расход, называется критическим отношением давлений и обозначается _кр.

Критическое отношение давлений зависит только от свойств газов (от показателя адиабаты k). Например, для двухатомных газов k = 1,4 и р_кр = 0,528.

Подставляя в формулу (5.14) величину р_кр, получим значение максимального расхода:

Подставляя величину р_кр в формулу (5.11), получим формулу для критической скорости:

Критическая скорость истечения представляет собой максимальную скорость истечения газа из суживающегося сопла. Так как согласно приведенным выше рассуждениям максимальная скорость на выходе из сопла не может превысить местную скорость звука а, то, следовательно, w_KV = а.

Из (5.13) и (5.15) следует, что.

Подставляя выражения для р и V в (5.17), получаем уравнение.

Скорость распространения звука определяется по формуле Лапласа:

где р — давление среды; р — плотность; v — удельный объем.

Для идеального газа, учитывая что т> = RT, получаем уравнение.