Некоторые свойства преобразований Фурье (теоремы о спектрах)

Между сигналом /(?) и его спектром S (jco) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между временным преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим наиболее часто встречающиеся: сложение сигналов, сдвиг сигнала во времени, изменение масштаба времени, дифференцирование и интегрирование сигнала.

Теорема о спектре сигнала, представленного суммой сигналов

Пусть имеется сигнал являющийся суммой сигналов.

f₂(t), …, обладающих спектрами S^jco), S₂(jco), …, S_n(jco). Необходимо найти спектр сигнала

Спектр этого сигнала определяется как.

Поменяв местами знаки суммы и интеграла, получим.

Таким образом, спектр сигнала, представляющего сумму сигналов, равен сумме спектров этих сигналов.

Теорема о спектре сигнала, сдвинутого во времени

Пусть сигнал f (t) произвольной формы существует на интервале от /, до t₂ и обладает спектром S (jco). При задержке этого сигнала на величину /₀ (при сохранении его формы) получим новую функцию времени /_г(0 = существующую на интервале от /,+*" до t₂+t₀.

Спектр этого сигнала определится как.

Введем новую переменную интегрирования

Так как е~^1<0,° = const, запишем, что.

Из данного соотношения следует, что сдвиг сигнала во времени приводит к умножению спектра сигнала на е~^т'. Данное умножение не приводит к изменению модуля S (jco), т. е. амплитудного спектра сигнала, а лишь изменяет фазовую характеристику спектра.