Контрольные вопросы. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

1. Какие смежные классы по подгруппе Я содержат единицу группы?

2. Если порядок подгруппы конечной группы равен 5, то какова формула порядка группы?

3. Сколько подгрупп имеет группа порядка 7?

4. Каково пересечение подгрупп порядков 8 и 9?

5. Если группа G конечна, | G = п, Н_г < Я₂ < G и | G: Я₂1 = к, Я₂:: Hj | = т, то чему равен порядок подгруппы Н_г?

6. Чему равен индекс подгруппы (5) в аддитивной группе Z?

7. Может ли индекс подгруппы в группе быть бесконечным?

Задачи

1. Выпишите разложения аддитивной группы Z = (1) на смежные классы по подгруппам {т) последовательно для т = 2,…, 6.

2. Выпишите разложения мультипликативной бесконечной циклической группы G = (а) по подгруппам (а^т) последовательно для т = 2, …, 6.

3. Выпишите разложения мультипликативной группы С_ш корней т-й степени из единицы по всем подгруппам для т = 2,…, 7.

4. Выпишите разложения на левые и правые смежные классы группы подстановок S₃ по всем подгруппам.

5. Пусть Я — подгруппа группы G. Определим на множестве элементов группы G отношение ~, положив х ~ у х~¹у е Я (ух~^г е е Я). Докажите, что отношение ~ является отношением эквивалентности и классы эквивалентных элементов совпадают с левыми (соответственно, правыми) смежными классами по подгруппе Я.

6. Выпишите разложения на смежные классы:

а) аддитивной группы Q₃ = |-^-|гп€ Z, n = 0, l,…1 по подгруппе Z;

б) мультипликативной группы R* по подгруппе положительных действительных чисел R+;

в) аддитивной группы целых комплексных чисел Z + Zi = {a + bi | а, b € Z} по подгруппе Z;

г) группы самосовмещений квадрата по всем ее подгруппам.

7. Найдите все подгруппы и их индексы циклической группы порядка 30.

8. Пусть G — аддитивная группа геометрических векторов плоскости, выходящих из начала координат (в прямоугольной системе координат), и aeG. Изобразите смежный класс Ь + (а). Что представляют собой концы векторов этого смежного класса?