Оценивание неопределенности измерений

Ответ на вопрос «Как именно оценивать неопределенность ?» дан в [22]. Испытательные лаборатории должны применять Руководство [18], в котором весьма подробно и с множеством примеров разъяснены способы оценки неопределенности измерений. Однако с момента выхода в свет это Руководство вызывало множество вопросов по поводу его применения в практических лабораториях, выполняющих рутинные исследования. Дело в том, что согласно этому Руководству неопределенность измерений рассчитывается как сумма неопределенностей всех этапов выполнения измерения. Другими словами, необходимо теоретически или экспериментально оценить все составляющие неопределенности и просуммировать их по определенным правилам. Такой подход, будучи едва ли нс единственно возможным при оценке неопределенности эталонов высших разрядов, малопригоден для рутинных измерений, для которых обычно метрологические характеристики оцениваются в ходе аттестации методики [6]. Это и было признано в [14]: «…его (т.е. Руководства [18]) применение затруднено отсутствием полной модели процесса измерений». Другими словами, поскольку мы очень часто не знаем всех основных источников неопределенности, рассчитать указанным в [18] способом общую неопределенность для сколь либо сложных измерений не удастся.

Типичными выходными данными подхода моделирования является «бюджет неопределенности», дающий итоговую оценку суммарной стандартной неопределенности результата измерения из неопределенностей входных величин. Бюджет неопределенности включает данные о каждой «входной величине» и ее вкладе в результат измерения и неопределенность и сами данные о результате измерения и ее неопределенности как показано ниже на схеме (рисунки 1,11, 1.12).

Рисунок 1.11 — Алгоритм оценки неопределенности Бюджет неопределенности относится к определенному результату измерения. Однако, разработанный алгоритм бюджета неопределенности, обычно изложенный в методике расчета неопределенности, можно применить ко всем измерениям, проведенным с использованием того же метода. Для любого нового измерения (суммарная) стандартная неопределенность и (у) получается через введение в алгоритм входных данных и и (х!) для этого измерения, на основании которых затем будут получены у и и (у).

Рисунок 1.12 — Элементы бюджета неопределенности Так как бюджет неопределенности содержит информацию об относительных величинах вкладов различных входных величин в неопределенность, то эта информация может быть использована для улучшения методики измерения и повышения ее точности.

Процесс оценивания неопределенности по методу моделирования состоит из следующих этапов.

1. Описание измерения, составление его модели и выявление ист’очников неопределенноеIII.

Любой процесс измерения можно представить в виде последовательности выполняемых операций. Поэтому для описания измеряемой величины и выявления источников неопределенности целесообразно представить цепь преобразования измеряемой величины в виде схемы, отображающей последовательность процесса измерений (измерительная схема).

В большинстве случаев измеряемая величина У не является прямо измеряемой, а зависит от N других измеряемых величин Х, Х₂ … Хц и выражается через функциональную зависимость:

где Х/_УХ2, входные величины;

У- выходная величина.

Входные величины Х_!у Х₂, …Х, от которых зависит выходная величина У, являются непосредственно измеряемыми величинами и сами могут зависеть от других величин, включая поправки и поправочные коэффициенты на систематические эффекты:

Описание измеряемой величины в виде функциональной зависимости (математической модели), связывающей измеряемую величину с параметрами, от которых она зависит, называется моделированием.

Стадия моделирования является чрезвычайно важной, так как от правильности и тщательности составления модели измерения, которая определяется необходимой точностью, зависит количество источников неопределенности.

С целью обобщения источников неопределенности измеряемую (выходную) величину и выявленные источники неопределенности: входные величины и величины, на них влияющие целесообразно представить на диаграмме «причина — следствие» (рисунок 1.13):

Рисунок 1.13 — Диаграмма «причина-следствие».

Источниками неопределенности могут быть различия в условиях проведения отбора проб, условия хранения, аппаратурные эффекты, чистота реактивов, условия измерений, влияние пробы, вычислительные и случайные эффекты, влияние оператора.

• 2. Оценивание значений и стандартных неопределенностей входных величин. Следующим этапом после выявления источников неопределенности является количественное описание неопределенностей, возникающих от этих источников. Это может быть сделано двумя путями:
  • — оцениванием неопределенности, возникающей от каждого отдельного источника с последующим суммированием составляющих;

непосредственным определением суммарного вклада в неопределенность от некоторых или всех источников с использованием данных внутрилабораторных или межлабораторных исследований об эффективности метода в целом.

Для каждой входной величины необходимо определить оценку и стандартную неопределенность. При этом все входные величины вследствие того, что их значения не могут быть точно известны, являются случайными непрерывными. Тогда оценками входных величин (дг/, обозначаемыми малыми буквами, являются их математические ожидания, а стандартными неопределенностями и (Х () входных величин — стандартные отклонения. Оценку входных величин л*, и связанную с ней стандартную неопределенность недополучают из закона распределения вероятностей входной величины.

Оценивание неопределенности от каждого источника возможно двумя способами: по типу, А (путем статистического анализа ряда наблюдений) и по типу В (иным способом, чем статистический анализ ряда наблюдений)._.

Исходными данными для оценивания стандартной неопределенности по типу, А являются результаты многократных измерений Хц, /=1, т. На основании полученных результатов рассчитывается среднее арифметическое.

Хй' по формуле (1.11), которое является оценкой входной величины Х{.

Стандартная неопределенность, связанная с оценкой X является экспериментальным стандартным отклонением среднего значения и равна положительному квадратному корню из экспериментальной дисперсии среднего значения.

Стандартная неопределенность и (х^ вычисляется по формуле:

для результата измерения = х,, вычисленного как среднее арифметическое.

Исходными данными для оценивания стандартной неопределенности по типу В является следующая априорная информация:

• — данные предшествовавших измерений величин, входящих в уравнение измерения;
• — сведения о виде распределения вероятностей;
• — данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих средств измерений и материалов;
• — неопределенности констант и справочных данных;
• — данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о средстве измерения и др.

Если оценка л;, берется из спецификации изготовителя, свидетельства о поверке, справочника или другого источника, то неопределенность обычно дается как интервал ±а отклонения входной величины от ее оценки. Имеющуюся информацию о величинах необходимо правильно описать с помощью функции распределения вероятностей. Для определения стандартной неопределенности входных величин необходимо воспользоваться законом распределения вероятностей х,. При этом чаще всего используют следующие основные законы распределения: прямоугольное (равномерное); треугольное; нормальное (Гаусса).

Формулы и способы применения представлены в таблице 1.4.

Таблица 1.4-Формулы расчета стандартной неопределенности.

Вид функции и плотности вероятности.	Способ применения.	Стандартная нсопрсделен ность.
Прямоугольное распределение.
	— об измеряемой величине известно только, что ее значение наверняка лежит в определенной области и что каждое значение между границами дтой области с одинаковой вероятностью может приниматься в расчет; — сертификат или другой документ дает пределы без определения уровня доверия (например, 25 мл ± 0,05 мл); оценка получена в форме максимальных значений (±я) с неизвестной формой распределения.
Треугольное распределение.
	— доступная информация относительно значений величины менее ограничена, чем для прямоугольного распределения. Значения возле среднего значения более вероятны, чем у границ; — оценка получена в форме максимальных значений диапазона (±«), описанного симметричным распределением вероятностей; — когда величина является суммой или разностью двух величин, распределение вероятностей значений которых описывается прямоугольным законом с одинаковыми диапазонами.
Нормальное распределение.
	Оценка получена из повторных наблюдений случайно изменяющегося процесса. Неопределенность дана в форме: — стандартного отклонения наблюдений; — относительного стандартного отклонения 57х; — коэффициента вариации СУ% без установления вида распределения. Неопределенность дается в форме 95%-го или другого интервала доверия ?? без указания вида распределения.

3. Анализ корреляций. Две входные величины могут быть независимы или связаны между собой (коррелированы). В концепции неопределенности имеется в виду корреляция «логическая», а не математическая. Например, может существовать значительная корреляция между двумя входными величинами, если при их определении используют один и тот же измерительный прибор, физический эталон или справочные данные, имеющие значительную стандартную неопределенность.

Мерой взаимной корреляции двух случайных величин является ковариация. Если две входные величины X, и Х_} являются коррелированными, т. с. зависимыми друг от друга, то при оценивании суммарной стандартной неопределенности должна учитываться их ковариация м (.г, л_у), которая оценивается по следующей формуле:

где м (д-.), и (х_у) — стандартные неопределенности; г (х"х,) — коэффициент корреляции.

Причем, ДЛЯ вычисления коэффициента корреляции г (Х/, ЛГу) используют согласованные пары измерений (*,*,*_,*) (где к = 1, …, щ — число согласованных пар результатов измерений).

4. Расчет оценки выходной величины. Оценка выходной величины у является результатом измерения. Эту оценку получают из уравнения связи, заменяя входные величины X, их оценками х.

5. Расчет стандартной неопределенности выходной величины. Стандартная неопределенность выходной величины У представляет собой стандартное отклонение оценки выходной величины или результата измерения и характеризует разброс значений, которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине. Определяется суммированием стандартной неопределенности входных величин и (х) и является суммарной, или комбинированной стандартной неопределенностью, обозначаемой и_с(у).

Применяемый для суммирования метод в терминах концепции неопределенности называется законом распределения неопределенностей, или корнем из суммы квадратов.

В случае некоррелированных входных величин суммарная стандартная неопределенность рассчитывается по формуле:

где  — частная производная функции / по аргументу х₁;

ы (т.) — стандартная неопределенность, оцененная по типу, А или В. В случае коррелированных входных величин:

где и (х_/Ух₁)определяется по формуле (1.13).

Частные производные называются коэффициентами чувствительности с, и показывают, как выходная величина у изменяется с изменением значения входных оценок х:

С учетом с, формулы преобразуются в следующие выражения:

— в случае некоррелированных входных величин.

— в случае коррелированных входных величин.

где г (х"х_у) определяется по формуле (1.14).

Величина и,(у)0 = 1, 2, … ЛГ) является вкладом в стандартную неопределенность, связанную с оценкой у выходной величины, которая получается из стандартной неопределенности, связанной с оценкой входной величины по следующей формуле:

Во многих случаях общие выражения для суммирования неопределенностей сокращаются до гораздо более простых формул.

Так, если функция модели /является суммой или разностью некоррелированных входных величин Х_ь например у = (т, + х> +…), то суммарная стандартная неопределенность и_с(у) определяется

выражением:

Если функция модели /является произведением или отношением некоррелированных входных величин Х_ь то суммарная стандартная неопределенность и_с(у) определяется выражением:

где (м (*,)/*,) — неопределенности параметров, выраженные в виде относительных стандартных отклонений.

6. Расчет расширенной неопределенности. Расширенную неопределенность и получают путем умножения стандартной неопределенности выходной величины и_с(у)на коэффициент охвата к.

При выборе значения коэффициента охвата следует учитывать:

• — требуемый уровень достоверности;
• — какую-либо информацию о предполагаемом распределении;
• — информацию о количестве наблюдений, использованных для оценки случайных эффектов.

Коэффициент охвата к при оценивании расширенной неопределенности выбирают в соответствии в соответствии рекомендациями РМГ 43−2001.

В случаях, когда измеряемой величине может приписываться нормальное распределение вероятностей, коэффициент охвата к определяется как квантиль нормированного нормального распределения при уровне доверия Р (таблица 1.5).

Таблица 1.5- Значения коэффициента охвата к при уровне доверия Р.

Часто на практике принимают А-2 для интервала, имеющего уровень доверия Р = 95% и к=3 для интервала, имеющего уровень доверия Р=99%.

Если все стандартные неопределенности, оцененные по типу А, определялись на основании ряда наблюдений, количество которых менее 10, то распределение вероятностей результата измерения описывается распределением Стыодснта (/-распределением) с эффективной степенью свободы Уф В общем случае коэффициент охвата к выбирают в соответствии с формулой:

где /Д^") — квантиль распределения Стыодснта с эффективным числом степеней свободы Уф и уровнем доверия Р.

Эффективное число степеней свободы рассчитывается по формуле:

где V, = л -1 — число степеней свободы при определении оценки 1-ОЙ входной величины для оценивания неопределенностей по типу, А (/7 — число результатов измерений);

V = оо для определения неопределенности по типу В.

Значения коэффициента охвата, который равен квантилю распределения Стьюдента к = /_я(г^) можно найти в таблице 1.6.

Таблица 1.6 -Коэффициенты охвата к для различных степеней свободы у_е//

Когда вклад источника неопределенности входной величины, имеющей прямоугольное распределение, является доминирующим (в три и более раз, чем все остальные вместе взятые) к равно: 1,65 при р = 95%; 1,71 при Р = 99%.

7. Представление конечного результата измерений.

Если мерой неопределенности является суммарная стандартная неопределенность и_с(у), то результат может быть записан так: результат: у (единиц) при стандартной неопределенности и_с(у) (единиц).

Если мерой неопределенности является расширенная неопределенность ?/, то лучше всего указывать результат в виде: результат (у ± V) (единиц).

Таким образом, при вычислении неопределенности измерений следует придерживаться последовательности, изложенной выше и представленной на рисунке 1.11.