Основные уравнения теории упругости

В этой главе рассматриваются основные уравнения теории упругости, которые не решаются в методе конечных элементов, но входят составной частью в математическое ядро этого метода.

Теория деформаций

Перемещение точки деформируемого твердого тела

Перемещение — изменение положения точки в пространстве. Выделим произвольный элемент тела и рассмотрим перемещение одной из точек этого элемента до деформации А и после деформации A_v В дальнейшем изложении в зависимости от удобства изложения материала будем использовать две различные системы обозначения осей координат: Обычную декартову (прямоугольную) систему, где оси координат обозначаются х, у, z индексную систему, где оси координат обозначаются х₇, х₂, х₃.

Индексная система предпочтительнее в компьютерных программах, так как путем перебора индексов позволяет одним оператором вычислить ряд выражений. Пример использования указанных систем координат приведен на рис. 20.1. Проекции перемещения и на оси координат х, у, z представляют собой разность координат точки до и после деформации:

или в индексной системе координат

Вектор перемещения й состоит из трех компонент и записан в виде матрицы-столбца.

Рассмотрим перемещение двух близлежащих точек А и В, расстояние между которыми dr (рис. 20.2). Точка А смещается в положение Л, (вектор смещения U), точка В — в положение /?, (вектор смещения и,). Перемещения двух близлежащих точек можно связать между собой путем разложения функции перемещения в ряд Тэйлора. В векторной форме

Для любого твердого тела деформации малы по сравнению с размерами тела. Перемещения точек тела в процессе деформации также малы. В этом случае можно ограничиться только линейными приращениями перемещений, т. е. отбросить все слагаемые ряда Тэйлора, содержащие производные порядка выше первого. Разложим вектор г по осям координат, учитывая только линейные приращения перемещений:

вектор и по осям координат:

Рис. 20.1. Перемещение точки в пространстве.

Рис. 20.2. Перемещение двух близлежащих точек.

Разложим вектор и по осям координат:

В дальнейшем используется понятие «тензор второго ранга». Тензором второго ранга называется матричный оператор, связывающий два физических вектора. В нашем случае уравнение (20.2) тензор градиентов смещения [ Т_и] связывает вектор dr с вектором смещения й_].