Коррелограммы. 
Эконометрика

Знание автокорреляционной и частной автокорреляционной функций позволяет значительно облегчить процесс построения модели анализируемого временного ряда. Рассмотрим простейший временной ряд, содержащий только случайную компоненту, представляющую собой белый шум x (t) = Е (7). График такого временного ряда представлен на рис. 6.4, а.

Рис. 6.4. Белый шум (а) и графики его автокорреляционной (б) и частной автокорреляционной (в).

функций

Поскольку элементы данного временного ряда являются независимыми случайными величинами, то все значения автокорреляционных функций должны быть почти нулевыми. Этот факт подтверждается в результате построения коррелограмм (рис. 6.4, б, в).

Наличие сезонной или циклической компонент в структуре временного ряда также находит свое отражение в коррелограмме.

Пример. Рассмотрим динамику ежедневных продаж одного из супермаркетов [77] (рис. 6.5, а).

Рис. 6.5. Ежедневные объемы продаж супермаркета (а) и графики автокорреляционной (б) и частной автокорреляционной (в) функций их временного ряда.

Анализ графика позволяет предположить, что продажи подвержены недельным колебаниям: в будние дни наблюдаются спады, а в выходные — увеличения продаж. При этом не наблюдается никаких долгосрочных тенденций ни к увеличению, ни к уменьшению. Структуру такого временного ряда можно описать следующим образом:

Наличие сезонной компоненты свидетельствует о том, что все элементы временного ряда являются взаимосвязанными. Графическая интерпретация такой взаимосвязи отражена на коррелограммах (рис. 6.5 б, в).

На данном примере хорошо видна разница между автокорреляционной и частной автокорреляционной функциями. Анализ автокорреляционной функции позволяет предположить, что наиболее тесно связаны элементы ряда, разнесенные на 7, 14, 21 и т. д. дней. Однако при устранении влияния промежуточных элементов временного ряда становится очевидным, что взаимосвязи ограничиваются одной неделей (рис. 6.5, в).

Если в структуре временного ряда кроме ошибки присутствует трендовая компонента, то это также отражается на виде коррелограмм.

Пример временного ряда, обладающего четко выраженной тенденцией. Рассмотрим изменение численности населения города Новосибирска за период с 1940 по 2000 г. (рис. 6.6, а).

Структуру этого временного ряда можно описать следующим образом:

Практически постоянное возрастание значений временного ряда приводит к появлению ложных корреляций между его элементами, отстоящими друг от друга более чем на один момент времени, что хорошо видно на коррелограммах (рис. 6.6, б, в).

Пример временного ряда, обладающего хорошо выраженными тенденцией и сезонными колебаниями. Рассмотрим данные по ежеквартальным общим расходам на личное потребление на душу населения США за период с 1956 по 1975 г., тыс. долл., представленные на рис. 6.7, а [4].

Структуру такого временного ряда можно описать следующим образом:

Как и в двух предыдущих примерах, наличие возрастающей тенденции и периодических изменений приводит к тому, что элементы временного ряда оказываются сильно взаимосвязанными. Значения автокорреляционной функции (рис. 6.7, б) убывают быстрее,.

Рис. 6.6. Численность населения г. Новосибирска, тыс. человек, (а) и графики автокорреляционной (б) и частной автокорреляционной (в) функций ее временного ряда.

Рис. 6.7. Расходы на личное потребление на душу населения США, тыс. долл., (а) и графики автокорреляционной (б) и частной автокорреляционной (в) функций их временного.

ряда

чем в модели (6.6) и обладают заметной периодичностью (пики при т = 4, 8, 12,…), как и в модели (6.5). График частной автокорреляционной функции (рис. 6.7, в) также объединяет характерные признаки моделей тренда (6.6) и сезонности (6.5).