Учет неоднородности коэффициента линейного температурного расширения

Этот подпараграф посвящен исследованию влияния на напряженное состояние нагретого цилиндра зависимости коэффициента линейного температурного расширения от температуры в предположении, что модуль упругости материала остается постоянным. Пусть а_Г(Т) изменяется по линейному закону:

Такая аппроксимация в известной степени соответствует экспериментальным данным, приведенным на рис. 1.7 для случая длительного нагрева при температурах до 200 °C.

При стационарном температурном поле (3.19) уравнение (2.18) с константами (2.19) с учетом равенств Е= Е₀, v = v₀ и формулы (1.25) принимает вид.

Общее решение однородного уравнения соответствует классической задаче Ляме, а частное решение неоднородного уравнения можно получить, используя соотношение (2.47). В итоге получим.

где А =-^Е°^Т°.

(l-v₀)lnIn*.

а а

Константы С, и С₂, входящие в формулу (3.24), определяются из однородных граничных условий, а напряжения ст₀ — из первого равенства (2.16) при R = 0.

На рис. 3.19 показаны эпюры а₀, вычисленные как с учетом зависимости (3.22), так и для постоянного значения коэффициента линейного температурного расширения. Расчеты проводились при а_го = 0,3−10 ' 1/°С; k_T= 1,5−10 ⁸1/°С, остальные исходные данные такие же, как и в подпараграфе 3.4.1. Сравнение результатов двух расчетов показывает, что, несмотря на изменение а_т в рассматриваемом интервале температур более чем в два раза, влияние неоднородности, обусловленной зависимостью а_г(7), не столь существенно, как неоднородности, связанной с изменением модуля упругости. В рассмотренном примере наибольшие отличия между результатами, полученными для однородного и неоднородного материалов, немного превышают 20%. По-видимому, при более значительных изменениях коэффициента линейного температурного расширения в рассматриваемых интервалах температур разница в напряжениях может быть более существенна.

Рис. 3.19. Температурные напряжения в бетонном цилиндре:

сплошая линия — неоднородный цилиндр; пунктирная линия — однородный цилиндр По результатам расчетов, приведенных в этом и предыдущем параграфах, следует сделать два замечания.

Замечание 1. Решения задач о радиационных и температурных напряжениях в толстостенном цилиндре получены в предположении, что цилиндр достаточно длинный и в нем осуществляется плоское деформированное состояние, т. е.

Учитывая это равенство, из третьего соотношения (1.12) (при использовании цилиндрических координат) можно найти напряжения а;.

Однако на практике рассматриваемые конструкции имеют достаточно большую, но конечную длину, и условие (3.25) не соответствует действительности. Вычисленные указанным способом напряжения ст, не будут самоуравновешены, т. е. не будет выполняться интегральное уравнение равновесия, которое при отсутствии продольных усилий имеет вид.

Способ определения напряжений ст_г в задачах расчета цилиндра конечной длины указан в работе [331. Этот способ заключается в вычислении среднего напряжения.

где F = п (Ь² — а²) — площадь поперечного сечения цилиндра, а входящие в подынтегратьное выражение напряжения ст, вычисляются по формуле (3.26). После этого, вычитая из напряжений а, полученное значение ст_Л, можно найти распределение указанных напряжений в средних сечениях цилиндра.

Замечание 2. Уровень напряжений в рассмотренных выше примерах в некоторых случаях значительно превосходит пределы прочности бетона как на растяжение, так и на сжатие. Таким образом, приведенные расчеты следует рассматривать как предварительные, которые могут служить основанием для выбора способа и степени армирования бетона, а также предварительного напряжения проектируемых реальных конструкций.