Лингвистическая переменная. 
Нечеткие величины, числа и интервалы

Нечеткая переменная [12] определяется как кортеж (а, X, А}, где а — имя нечеткой переменной, X- универсум, являющийся областью определения нечеткой переменной, А = |лг, ju_A (x)J — нечеткое множество, определяющее возможные значения нечеткой переменной.

Например, нечеткая переменная «температура больного» определяется областью возможных значений и функцией принадлежности.

Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что се значениями являются не числа, а слова или словосочетания естественного языка, что более естественно для человека, чем числа.

Лингвистическая переменная определяется как кортеж (а, Г, X, G, М), где а — имя лингвистической переменной; Т — базовое терм-множество лингвистической переменной, или множество её значений (термов), каждое которых представляет собой наименование отдельной нечеткой переменной; X — область определения (универсум) нечетких переменных, входящих в терм-множество; G — синтаксическое правило, порождающее из базового терм-множества Т множество новых значений лингвистической переменной, имеющих смысл для конкретной ситуации; М — семантическое правило, которое ставит в соответствие каждому значению лингвистической переменной, получаемому с помощью правила G, некоторое нечеткое множество.

Например, для лингвистической переменной с именем «температура тела человека» терм-множество имеет вид:

Область определения X — это диапазон изменения температуры тела человека. G — правила формирования новых термов с помощью логических связок «И», «ИЛИ» и модификаторов типа «НЕ», «очень», «слегка». Например, «очень высокая температура». Модификатор «НЕ» задается с помощью операции дополнения (инверсии), модификатор «очень» задается с помощью операции концентрирования, модификатор «слегка» — операцией растяжения (см. раздел 1.5). Правила М задают на X нечеткие переменные — термы из множеств Т и правил G. Правила сводятся к формированию функций принадлежности с учетом логических связок и модификаторов. Лингвистические переменные кроме словесных значений могут принимать и численные значения.

Нечеткой величиной называется произвольное нечеткое множество А = [х, //Дх)}, заданное на множестве действительных чисел R. Если в качестве универсума взять подмножество неотрицательных действительных чисел R₊, то получим определение неотрицательной нечеткой величины А₊.

Нечетким интервалом называется нечеткая величина с выпуклой функцией принадлежности. Напомним, что функция J{x), определенная на некотором интервале, выпукла, если для любых двух значений аргументах, х₂ и любого числа а е [0,1] выполняется неравенство /(ax, +(la)x₂)2).

Если это неравенство является строгим для всех яге[0,1], функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх. График выпуклой дифференцируемой функции одной переменной лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

Нечетким числом называется такая нечеткая величина, функция принадлежности которой является выпуклой и унимодальной. Напомним, что функцияДх) называется унимодальной, если на заданном отрезке она имеет единственный максимум (минимум) У (х*), причем слева от х* функция монотонно возрастает (убывает в случае минимума), а справа — монотонно убывает (возрастает). График функции принадлежности нечеткого числа имеет единственный максимум, обычно равный единице. График функции принадлежности нечеткого интервала принимает максимальное значение на некотором интервале.

Так как нечеткие числа и интервалы представляют собой нечеткие множества, то для них справедливы все свойства и операции, определенные для нечетких множеств. Дополнительно выделяют понятия нечеткий нуль — нечеткое число с модальным значением (модой), равным нулю, и положительное (или отрицательное) нечеткое число, имеющее строго положительный (или строго отрицательный) носитель.

При выполнении операций над нечеткими числами и интервалами используется принцип обобщения Заде [6, 16, 24]. Пусть y = f (x_l, x₂,…, x") — четкая функция п переменных, заданных нечеткими числами X, Х₂,…, Х_/}. Тогда значением функции )^{; =} f{x,*2"•••"?*>,) называется нечеткое число У с функцией принадлежности.

где функция sup означает верхнюю грань, a supp — носитель нечеткого множества.

Вычисления по приведенной формуле достаточно громоздки и для нечетких чисел, заданных на дискретных носителях могут быть реализованы следующим образом [16, 24]:

Шаг 1. Зафиксировать значение функции у = у*.

Шаг 2. Найти все множества аргументов |x, V,x*_2j,…, х*₉ j = 1₉ Р₉ удовлетворяющие условиям.

Шаг 3. Значение функции принадлежности элемента у* нечеткому числу у вычислить по формуле.

Шаг 4. Если рассмотрены все элементы у*, то перейти к шагу 5, иначе выбрать новое значение у* и перейти к шагу 2.

Шаг 5. Конец.

Если функции принадлежности нечетких аргументов х., i = 1, /7 являются непрерывными функциями, то нечеткие аргументы дискретизируют [24], а непрерывную функцию принадлежности числа у получают в результате аппроксимации дискретной функции fly (у). Применение принципа обобщения Заде связано с большими вычислительными трудностями. Известны [16, 24] другие принципы обобщения, обладающие меньшей вычислительной сложностью.

Арифметические операции для нечетких чисел и интервалов могут быть определены с помощью принципа обобщения Заде. Пусть ieR и 5eR — произвольные нечеткие числа или интервалы с функциями принадлежности д,(х) и ИвУ), R — множество вещественных чисел. Причем множества А и В могут быть бесконечными.

Для операции получения противоположного нечеткого числа (интервала)-Л = С = jz, //_r(z)| функция принадлежности определяется по формуле.

Для операции получения обратного нечеткого числа (интервала) /Г¹ = C = {z, //₍.(z)j функция принадлежности определяется по формуле.

Двуместные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) определены на декартовом произведении R х R.

Функция принадлежности операции сложения нечетких чисел (интервалов) А + В = С = {z, fi_c (z)j определяется по формуле.

Функция принадлежности операции вычитания нечетких чисел (интервалов) А — В = С = jz, ц_с (z)j определяется по формуле.

Функция принадлежности операции умножения нечетких чисел (интервалов) А • В = С = {z, ц_с (z)| определяется по формуле.

Функция принадлежности операции деления нечетких чисел (интервалов) А / В = С = lz, //_r(z)} определяется по формуле.

В формулах — справа от знака равенства функция супремум (supp), как следует из берется по каждому из множеств значений элементов универсума, которые в свою очередь являются результатом соответствующей обычной арифметической операции над численными значениями элементов области определения операции. Для конечных множеств А и В вместо операции супремум можно использовать операцию максимум.

Выполнение арифметических операций на основе принципа обобщения Заде весьма трудоемко. Практически наибольшее распространение получили операции над нечеткими числами и интервалами, представленными в виде так называемых (Ь-Я)-функций [12, 14, 17, 26]. Представление нечетких чисел и интервалов в форме (Ь-К)-функций возможно для нормальных чисел и интервалов. Практически используемые числа и интервалы обычно являются нормальными, поэтому это ограничение не является существенным.

(Ь-11)-функции — произвольные функции, заданные на множестве действительных чисел R и осуществляющие отображение R —>[0,1], не возрастающие на интервале [0, -и") и удовлетворяющие дополнительным условиям.

L (0)=/?(0) условие нормирования.

Примерами (Ь-Я)-функций являются треугольные и трапециевидные функции принадлежности, а также функции /(х) = е '.

(рис. 16), /(х) =—пт, где р> о 1 + |лг|.

Рис. 16 — График функции f (jc) = е ' при р — 2.

Нечетким числом (Ь-Я)-типа называется нечеткая величина А — {*, р_А (х)}, функция принадлежности которой может быть представлена в виде композиции некоторой L-функции (от англ, left — левый) и некоторой R-функцией (от англ, right — правый):

где а — модальное значение (мода) нечеткого числа, а > 0 и /? > Олевый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, нечеткое число (L-R)-rana при фиксированных функциях L и R определяется тройкой параметров (а, а, /?). Операции с нечеткими числами (L-R)-THna сводятся к операциям с этой тройкой параметров. Нечеткие числа (L-R)-THna часто обозначают как A_lr = (а, а, /?}.

Нечетким интервалом (L-R)-Tima называется нечеткая величина А = {х, /л_л (х)}, функция принадлежности которой может быть представлена в форме композиции некоторой L-функции и некоторой R-функции:

где а и b — нижнее и верхнее модальные значения (а <�Ь), определяющие ядро нечеткого множества; а> 0 и /? > О — левый и правый коэффициенты нечеткости.

Нечеткий интервал (Ь-Я)-типа при фиксированных функциях L и R определяется четверкой параметров (а, Ь, а_ур). Операции с нечеткими числами (L-R)-THna сводятся к операциям с этой четверкой параметров. Нечеткие интервалы (Ь-Я)-типа часто обозначают как A_LR = (а, b, а, /?).

Результат арифметических операций над нечеткими числами и интервалами (L-R)-Tnna точно или приближенно равен нечеткому числу или интервалу (L-R)-THna с теми же функциями L-типа и R-типа, а параметры функций вычисляются на основе параметров исходных чисел и интервалов. Пусть A_LR =(a_vb_v a_v Д) и B_LR =(я₂>^2> ^а2> Рг) — произвольные нечеткие числа (L-R)-rana, C_LR = (а, b, a, /?) — нечеткое число, являющееся результатом операции. Приведем без доказательства формулы для расчета параметров результатов арифметических операций над нечеткими числами (L-R)-THna [14] (табл. 2). Некоторые формулы, приведенные в [12], отличаются.

Таблица 2 — Параметры результатов арифметических операций над нечеткими числами (L-RJ-типа.

Сравнивая результаты арифметических операций, выполненных с использованием принципа обобщения и L-R-представления [14], видно, что результаты имеют одинаковые модальные значения и величины разброса и похожие, но не совпадающие функции принадлежности. При выполнении операций над нечеткими числами всегда получаются нечеткие числа. Поэтому разность двух одинаковых нечетких чисел А — А равна нечеткому нулю.

На практике широко используются треугольные нечеткие числа (L-R)-THiia и трапециевидные нечеткие интервалы (L-R)-THna. Сравнивая треугольную функцию принадлежности с функцией принадлежности нечеткого числа (L-R)-THna, получаем тройку, описывающую треугольное число (L-R)-THna (p, b-a, c-b^, где а, Ь и с — параметры треугольной функции принадлежности. Сравнивая трапециевидную функцию принадлежности с функцией принадлежности нечеткого интервала (L-R)-THna, получаем четверку, описывающую нечеткий интервал (L-R)-THna (b, c, b-a, d-с), где a, b, c, d — параметры трапециевидной функции принадлежности. Операции с треугольные нечеткие числа (L-R)-THna и трапециевидные нечеткие интервалы (L-R)-rana производятся в соответствии с правилами операций с нечеткими числами (L-R)-THna, но вычисления существенно упрощаются.