Статистические фильтры. 
Автоматизированные системы управления технологическими процессами на тэс

Передаточная функция статистического фильтра л-ro порядка имеет вид.

где b_f. ихпараметры настройки фильтра.

Статистический фильтр нулевого порядка Уравнение фильтра

При реализации алгоритма фильтрации на основе выражения (4.20) оценка фильтрации 7_Ф(г) будет являться смещенной, т. к. математическое ожидание этой оценки не будет равно т_х

Для получения несмещенной оценки необходимо прибавить к правой части (4.20) некоторую постоянную составляющую а, удовлетворяющую условию Ь₀ • т_х + а = т_х, откуда а = (1 —Ь₀)т_х.

С учетом требования несмещенности оценки выражение для у_ф (/) принимает вид где b₀ — параметр настройки фильтра, a z[t) = х (/) + .

Ошибка фильтрации (см. рис. 4.8) есть разность двух сигналов Уф (‘) и x (t)

С учетом (4.21).

Возводя правую и левую части этого выражения в квадрат и усредняя, получим выражение для дисперсии ошибки фильтрации.

Параметр настройки фильтра />₀, соответствующий состоятельности оценки д>_ф(/), найдем, применяя необходимое условие минимума дисперсии с1_ф как функции от Ь₍₎

Минимально возможное значение дисперсии погрешности фильтрации при оптимальном параметре настройки фильтра.

Следовательно, при оптимальной настройке, статистический фильтр нулевого порядка уменьшает дисперсию ошибки фильтрации в (1 + к) раз.

Формула программной реализации фильтра.

Статистический фильтр первого порядка Уравнение фильтра.

где Ь₀, Ь_х, т — параметры настройки фильтра.

Как и в предыдущем случае, нетрудно получить условие, при выполнении которого оценка полезного сигнала будет являться несмещенной. Это условие имеет вид

С учетом (4.23) уравнение фильтра приводится к виду

Для определения параметра оптимальной настройки фильтра Ь₀ последовательно определим ошибку фильтрации е_ф(/).

и дисперсию этой ошибки.

Оптимальное значение параметра настройки Ь₀ получим из условия.

• 8oj
• —— = 0.

дЬ₀

При программной реализации фильтра параметр настройки т выбирают равным интервалу опроса зашумленного сигнала z (/). При этом расчет сглаженного значения д>_ф(уТ) для очередного у'-го момента времени проводят по формуле.

Для оценки качества фильтрации используется коэффициент эффективности к_э = о^_ф jo]. Фильтр применяется при коэффициенте эффективности меньше единицы.

Сравнительный анализ фильтров по совокупности показателей (эффективности, трудоемкости, необходимому объему памяти и др.) показал [11], что при программной реализации фильтра лучше применять статистический фильтр первого порядка или экспоненциальный фильтр, а в случае аналоговой реализации — экспоненциальный.